Üstel diofant denklemlerinde tam kare çarpım problemlerinin klasik ve p adik yöntemlerle incelenmesi
An analysis of perfect square products in exponential diophantine equations through classical and p adic approaches
- Tez No: 1024026
- Danışmanlar: PROF. DR. MURAT ALAN
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Cebirsel yöntem, Algebraic method
- Yıl: 2026
- Dil: Türkçe
- Üniversite: Yıldız Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Matematik Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.
Özet
Bu tez çalışmasında, sayılar teorisinin en köklü problemlerinden biri olan üstel Diofant denklemlerinin tam sayı çözümleri ve bu çözümlerin varlığı üzerine kullanılan klasik cebirsel yöntemler kapsamlı bir şekilde incelenmiştir. Çalışmanın temel motivasyonu, literatürde yaygın olarak çalışılan iki çarpan içeren yapılardan yola çıkılarak geliştirilen $(a^n - 1)(b^n - 1)(c^n - 1) = x^2$ ve $(a^n + 1)(b^n + 1) = x^2$ formundaki denklemler oluşturmaktadır. Çalışmanın üçüncü bölümünde, tabanları asal sayılardan oluşan üç terimli $(2^n - 1)(5^n - 1)(7^n - 1) = x^2$ denkleminin pozitif tam sayılar kümesinde çözümünün bulunmadığı, 2-adik valüasyon analizi ve LTE (Lifting The Exponent Lemma) kullanılarak ispatlanmıştır. Bu özel durumdan yola çıkılarak, belirli 2-adik valüasyon ve parite kısıtları altında genel denklemin çözümsüzlüğü üzerine teorik olarak genel bir çerçeve oluşturulmuştur.Ayrıca bu genellemeye uymayan $(2,3,5)$ tam sayı üçlüsü için modüler aritmetik kısıtlamalar ve Legendre sembolü yardımıyla karakter analizi yapılmış; denklemin $n \geq 2$ için $n \equiv 2\pmod 60$ dışında yalnızca $(n, x) = (2, 24)$ çözümünün olabileceği gösterilmiştir Tezin dördüncü bölümünde, işaret değişiminin etkilerini gözlemlemek amacıyla $(a^n + 1)(b^n + 1) = x^2$ formundaki denklemler ele alınmış ve $(2.3)$ tam sayı iklisi için çözümünün olmadığı belirlenmiş ve bu adımlardan yola çıkarak denklem için $a$ ve $b$ değerlerinin belirli modüler denkliklerde çözümünün olamayacağı gösterilmiştir. Ayrıca LTE lemması kullanılarak bu denklem üzerinde daha genel bir kısıt bulunmuştur. Elde edilen bulgular, üstel Diofant denklemlerinin analizinde klasik cebirsel yöntemlerin p-adik yaklaşımlarla birleştirilmesinin etkin sonuçlar verdiğini göstermekte ve bu alanda yapılacak gelecek çalışmalar için teorik bir temel oluşturmaktadır.
Özet (Çeviri)
In this thesis, integer solutions of exponential Diophantine equations, one of the most deep-rooted problems in number theory, and the classical algebraic methods used to determine the existence of these solutions are comprehensively analyzed. The primary motivation of the study is to explore more complex equations in the form of $(a^n - 1)(b^n - 1)(c^n - 1) = x^2$ and $(a^n + 1)(b^n + 1) = x^2$, expanding upon the widely studied structures in the literature that contain two factors. In the third chapter of the study, it is proven through 2-adic valuation analysis and the Lifting The Exponent Lemma (LTE) that the trinomial equation $(2^n - 1)(5^n - 1)(7^n - 1) = x^2$, with prime bases, has no solutions in the set of positive integers. Building upon this specific case, a general theoretical framework regarding the insolvability of the equation under certain 2-adic valuation and parity constraints is established. Furthermore, for the integer triple $(2,3,5)$ which does not fit this generalization, character analysis is performed using modular arithmetic constraints and the Legendre symbol; it is demonstrated that for $n \geq 2$, the equation can only have the solution $(n, x) = (2, 24)$, except for the case $n \equiv 2$. In the fourth chapter of the thesis, equations in the form of $(a^n + 1)(b^n + 1) = x^2$ are examined to observe the effects of sign changes. It is determined that the equation has no solution for the integer pair $(2,3)$, and based on these steps, it is shown that no solutions exist for $a$ and $b$ values under specific modular congruences. Additionally, a more general constraint for this equation is derived using the LTE. The findings obtained indicate that combining classical algebraic methods with p-adic approaches yields effective results in the analysis of exponential Diophantine equations and provides a theoretical foundation for future studies in this field.
Benzer Tezler
- Üstel diofant denklemler ve terai sanısı
Exponential diophantine equations and the terai conjecture
TUBA ÇOKOKSEN
Yüksek Lisans
Türkçe
2024
MatematikYıldız Teknik ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. MURAT ALAN
- Fibonacci ve lucas sayılarını içeren bazı üstel diyofant denklemlerinin çözümleri
Solutions of some exponential diophantineequations including the Fibonacci and Lucas numbers
FATİH ERDUVAN
Doktora
Türkçe
2021
MatematikSakarya ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. REFİK KESKİN
PROF. DR. ZAFER ŞİAR
- Randomization of certain operators in harmonic analysis
Harmonik analizdeki bazı operatörlerin rastsallaştırılması
CİHAN SAHİLLİOĞULLARI
Doktora
İngilizce
2024
Matematikİzmir Yüksek Teknoloji EnstitüsüMatematik Ana Bilim Dalı
DR. ÖĞR. ÜYESİ FARUK TEMUR
- Lebesgue-Nagell dıophantıne denklemlerinin çözümleri
Solutions of Lebesgue-Nagell diophantine equations
SALİH KILIÇLI
Yüksek Lisans
Türkçe
2014
MatematikOndokuz Mayıs ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. ŞENOL EREN
- Bazı üstel diofant denklemler ve çözüm yöntemleri
Some exponential diophantine equations and solution methods
RUHSAR GİZEM BİRATLI
Yüksek Lisans
Türkçe
2021
MatematikYıldız Teknik ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. MURAT ALAN