Multidimensional geometry of entangled qudit quantum states
Dolaşık qudit kuantum durumlarının çok boyutlu geometrisi
- Tez No: 1025450
- Danışmanlar: PROF. DR. OKTAY PASHAEV
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2026
- Dil: İngilizce
- Üniversite: İzmir Yüksek Teknoloji Enstitüsü
- Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.
Özet
Bu tezde, iki parçalı kuantum sistemleri için kuantum dolanıklığının geometrik tasviri incelenmiştir. Kuantum sistemlerine matris operatörü yaklaşımı ve sistemin saf (pure) veya karışık (mixed) olmasını belirleyen basit bir kriterin varlığı üzerinde yoğunlaştık. Yoğunluk matrisinin karesinin izinin (trace) birim değerden sapması, karışık durumun saf duruma olan uzaklığını karakterize etmektedir. Bu uzaklık, doğrusal entropi (linear entropy) rolünü oynamaktadır. Karışık durumun bu özelliğinin, concurrence (uyuşum) adı verilen pozitif bir sayı ile ifade edilebileceğini gösterdik. Saf durumlar için concurrence sıfır olurken, karışık durumlar için sıfırdan farklıdır. Daha sonra, yoğunluk matrisi karesinin izinin doğal geometrik bir tasviri olarak Frobenius normunu kullanarak, saf ve karışık durumların bu norm aracılığıyla geometrik yorumunu elde ettik. Saf durumların, yoğunluk matrisinin özdeğerleri uzayındaki birim yarıçaplı Frobenius küresine ait olduğu gösterilmiştir. Karışık durumlar ise Frobenius yuvarının (ball) içinde yer almaktadır. Bu noktalar üzerinde, normalizasyon hiperdüzleminden ve karışıklığın (mixedness) maksimum değerinden kaynaklanan kısıtlamalar bulduk. Karışık durumların bu geometrik tasvirini, iki parçalı kuantum durumlarının indirgenmiş yoğunluk matrisine (reduced density matrix) uyguladık. Eğer matris karışık bir durumu tanımlıyorsa, orijinal iki parçalı durumun dolanık (entangled) durum olduğu gösterilmiştir. Bu sayede, saf iki parçalı kuantum durumlarının dolanıklığını geometrik bir tablo ile karakterize edebildik. Böylece, ayrılabilir (separable) durumlar Frobenius küresi üzerindeki noktalarla karakterize edilirken, dolanık durumlar Frobenius yuvarının içinde yer alır. Açıklayıcı örnekler olarak hesaplamalarımızı, kübit-kütrit (qubit-qutrit) gibi belirli iki parçalı durumlara uyguladık. Kübit-kübit durumu için concurrence değerinin yalnızca katsayı matrisinin 2x2 determinantına eşit olduğu; daha genel durumlar için ise katsayı matrisinden elde edilen 2x2 minörlerin kareleri toplamına eşit olduğu gösterilmiştir. Ardından, concurrence formüllerini, yüksek boyutlardaki alanlar için geçerli olan Pisagor teoremine benzer bir biçimde yeniden formüle ettik.
Özet (Çeviri)
In the present thesis we have studied the geometrical description of quantum entanglement for bipartite quantum systems. We have concentrated on the matrix operator approach to quantum systems and existence of a simple criterion for the system to be pure or mixed. Deviation of the trace of squared density matrix from the unit, characterizes the distance of the mixed state to the pure one. This distance plays the role of the linear entropy. We show that this characteristics of the mixed state can be implemented by the positive number, called the concurrence. For pure states the concurrence vanishes, while for the mixed states it is non zero. Then, by using the Frobenius norm, as the natural geometric description of squared density matrix trace, we found geometrical interpretation of pure and mixed states by this norm. It was shown that the pure states belong to the unit radius Frobenius sphere in space of eigenvalues of the density matrix. And the mixed states are located inside of the Frobenius ball. We found restriction on these points, coming from normalization hyperplane and the maximal value of the mixedness. We applied our geometrical description of mixed states to the reduced density matrix of the bipartite quantum states. It is shown that if the matrix describes a mixed state, then the original bipartite state is the entangled states. This way we were able to characterize entanglement of pure bipartite quantum states by geometrical picture. So that, the separable states are characterized by points on the Frobenius sphere, while the entangled states belong to the Frobenius ball. As illustrative examples we applied our calculations for specific bipartite states, as two qubit, qubit-qutrit, qubit-ququad, qutrit-quqad and ququad ququad states. It was shown that while the concurrence for the qubit-qubit state is equal just to the 2x2 determinant of the coefficient matrix, for more general states it is equal to the sum of squares of 2x2 minors of the coefficient matrix. This allows us to interpret formulas for the concurrence in the form similar to the Pythagoras theorem for areas in higher dimensions.
Benzer Tezler
- Gelişimsel origami eğitim programının okulöncesi dönem çocuklarının çok boyutlu gelişimlerine etkilerinin incelenmesi
Influences of developmental origami education program onto multidimensional development of preschool children
MUSTAFA KAVİCİ
Yüksek Lisans
Türkçe
2005
Eğitim ve ÖğretimHacettepe Üniversitesiİlköğretim Ana Bilim Dalı
PROF. DR. BELMA TUĞRUL
- Multidimensional modeling of homogeneous charge compression ignition engines
Homojen karışımlı sıkıştırmalı ateşlemeli motorların çok-boyutlu modellenmesi
ALPER KUTLUATA
Yüksek Lisans
İngilizce
2002
Makine Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiOtomotiv Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. CEM SORUŞBAY
- Comparison of various combustion models within a multidimensional framework applied to heavy duty CI engine
Çok boyutlu modelleme kullanılarak bir ağır iş dizel motor için çeşitli yanma modellerinin karşılaştırılması
HASAN KÖTEN
Yüksek Lisans
İngilizce
2009
Mühendislik BilimleriMarmara ÜniversitesiMakine Mühendisliği Bölümü
PROF. DR. M. ZAFER GÜL
- Ortaokul matematik öğretmen adaylarının geometri sorularına verilen yanıtları değerlendirme yaklaşımlarının incelenmesi
An examination of preservice middle school mathematics teachers' approaches to evaluate answers to geometry questions
MİNE KESERCİ
Yüksek Lisans
Türkçe
2025
Eğitim ve ÖğretimAmasya ÜniversitesiMatematik ve Fen Bilimleri Ana Bilim Dalı
DR. ÖĞR. ÜYESİ NİDA EMÜL