Sobolev ve logaritmik sobolev eşitsizlikleri
Sobolev and logarithmic sobolev inequalities
- Tez No: 14131
- Danışmanlar: PROF.DR. CEVDET KOÇAK
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 1990
- Dil: Türkçe
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: 62
Özet
ÜZET Bu çalışmada, klasik Sobolev ve Gross logaritmik Sobolev eşitsizlikleri ve bu eşitsizliklerde ortaya çıkan en iyi sabitler incelenmiştir. Gross logaritmik Sobolev eşitsizliği bir teoremle genelleştirilmiş ve en genel uzaylar için en iyi sabitler konjektürü olarak bilinen bir konjektür için bazı yaklaşımlar önerilmiştir. Tez altı bölümden oluşmaktadır. Giriş bölümünde konu ile ilgili bazı önemli çalışmalar bir literatür taraması olarak kısaca tanıtılmıştır. İkinci bölümde Sobolev uzayları tanımlanmış ve Sobolev eşitsiz likleri ile yakından ilgili olan Sobolev daldırma teoremleri verilmiştir. Üçüncü bölümde klasik Sobolev eşitsizlikleri ve bu eşitsizliklerde ortaya çıkan en iyi sabitler incelenmiştir. Dördüncü bölümde Gross logaritmik Sobolev eşitsizlikleri ele alınmış, Nelson hiper kontraktif eşitsizliğine denkliği gösterilmiştir. Beşinci bölümde Adams ve Clarke tarafından geliştirilen ispat tekniği uygulanarak Gross logaritmik Sobolev eşitsizliği genelleş tirilmiş ve bu eşitsizliğe ilişkin en iyi sabit elde edilmiştir. Son bölümde ise en genel logaritmik Sobolev eşitsizliklerinde en iyi sabitler konjektürünün ispatı için literatürdeki çalışmalar gözönünde bulundurularak bazı öneriler verilmiştir.
Özet (Çeviri)
SOBOLEV AND LOGARITHMIC SOBOLF.V INEQUALITIES SUMMARY This thesis is concerned with standard Sobolev inequalities and a special class of inequalities called logarithmic Sobolev inequali ties which play a very important role in quantum field theory. This inequalities could be candidates for inclusion in some future successor to the classical work of Littlewood-Hardy-Polya [ 21 ;].. Another problem on which we focus our attention will.be about' best constants arising in these inequalities. In the case of logarithmic Sobolev inequality in R^ we are led to examine an open problem of proving uniqueness of solutions of some semilinear partial differen tial equations in Rn. We call any inequality expressing the boundedness of a map from L to L^ a Sobolev type inequality or more precisely, INIlV),c|1vu||lV) (1) where q= np/ n-p, l n * -X / |vu| dx (2) The constant appearing in (2) is the best possible. For the general case l|P dx.»/ |*|P lnlol dx- ||ç^i|Pjp ln|||lnjP Rn Rn (5) ? k ||l by adapting the method of Adams and Clarke. Unfortunately, the induction method fails to generalize when p^2. We have the following theorem: Let u: R -*? C be a continuously differentiable function. Then for p>l p-Vlu'lP dx * /|u|p ln|u| dx - 1{U|1P ln ||u|| *k ||u||p (6) R R IXwhere k = -U 1+ln ( (p-Dİ/P-L-rc-i^))] p p p p is the best possible constant. The equality holds in (6) if u has the form u(x) = xexp {-_l_|x+ujq } where p and q are pairs of conjugate indices, i.e. p + q » 1 9 2 1/? and A and y are positive constants and |x| * (x, + + y£ ). The last chapter concentrates on the investigation of the tricky uniqueness problem of the positive, radial solutions of the equation: A u ¥ up_1 (plnu + 1) r 0 (7) r A u being the p- Laplacian of u defined by V.div(|Vu|P-2vu) and u is a symmetric rearrangement. This is needed in order to complete the proof of conjectured best constants in logarithmic Sobolev inequalities. At the moment this remains an open problem. Even with p=2 in which case Au + u(2 Inu + 1) = 0, A being the usual Laplace-operator, it is still very hard to prove the uniqueness of solutions which would show the existence of the unique mininizer. The p-2 case has recently been worked out by several researchers [ 6,7,8,17,18,23,26, 28 j. Relying on a paper by Kttong[22] who proves the uniqueness of positive, radial solutions of Au ? u^ - u r C (p>l) it seems quite possible that the method of Kwong's proof can be applied to ensure the uniqueness for our particular problem replacing polynomial function up - u (p>l) by the logarithmic function u(2 Inu + 1). In recent years a remarkable nura&er of -importantpapers [ 12 ] have been published concerning the existence and.nonexistence of solutions of p-Laplace equations. But the general uniqueness problem in A u +? u^" (plnu + 1) ; 0 is still unsolved. This would lead us to the best constants in (5), consequently we would get the sharp form of the logarithmic Sobolev inequality in l-P (Rn, dx) with dx Lebesgue measure in Rn. XI
Benzer Tezler
- Yarıgrup teorisi ile evolüsyon denklemlerin çözümleri
Solutions of evolution equations with the semigroup theory
ERKAN SANCAR
- Logaritmik kaynak terimli evolüsyon denklemlerinin çözümleri
Solutions of evolution equations with logarithmic source term
RUKEN AKSOY
- Logaritmik kaynak terimli parabolik tipten denklemin çözümlerinin global varlığı
Global existence of solutions of parabolic type equation with logarithmic source terms
ZÜLEYHA BİRTANE KAYA
- Regularity of monge potentials and hedging in a degenerate market
Monge potensiyellerinin düzenliliği and yoz pazarda riskten korunma
İHSAN DEMİREL
Doktora
İngilizce
2021
MatematikKoç ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. MİNE ÇAĞLAR
PROF. ALİ SÜLEYMAN ÜSTÜNEL
- Frequency independent evaluation of highly oscillatory integrals
Yüksek frekanslı integrallerin frekanstan bağımsız olarak hesaplanması
RIDVAN ÖZDEMİR
Yüksek Lisans
İngilizce
2018
MatematikBoğaziçi ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DR. ÖĞR. ÜYESİ FATİH ECEVİT
