Geri Dön

Mekanizmalarda yörünge sentezi

Synthesis of path-generating machanism

  1. Tez No: 142650
  2. Yazar: MUSTAFA ÇOLAK
  3. Danışmanlar: DOÇ. DR. VAHİT MERMERTAŞ
  4. Tez Türü: Yüksek Lisans
  5. Konular: Mimarlık, Architecture
  6. Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
  7. Yıl: 2003
  8. Dil: Türkçe
  9. Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
  10. Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
  11. Ana Bilim Dalı: Makine Mühendisliği Ana Bilim Dalı
  12. Bilim Dalı: Makine Dinamiği, Titreşimi ve Akustiği Bilim Dalı
  13. Sayfa Sayısı: 55

Özet

mekanizmalarda yörünge sentezi ÖZET İstenilen hareketleri gerçekleyen mekanizmanın tasannu sanayileşme sürecinin başlangıcından itibaren ihtiyaç olmuştur. Bu nedenle 1950 yıllarına kadar grafik metotlar kullanılmış, yüzyılın ikinci yarısından itibaren analitik ve sayısal yöntemler önem kazanmıştır. Analitik metotlar iki guruba ayrılırlar. Birinci gurup, belirli sayıdaki konumun tam olarak sağlanması problemidir ve hassas noktalar yaklaşımı olarak adlandırılır. İkinci gurup ise, daha çok sayıda istenen konumu en az hata ile gerçekleyen optimum sentez problemidir. Optimizasyon probleminde amaç fonksiyonu olarak, verilen ve üretilen koordinatlar arasındaki hatanın kareleri toplamı.kullamlır. r- Wr -Zr +Zr cosctk + Wr cosp\ -Zj sinak -' ^WiSinPk-(8rX n-I k=ı f - W; - Z; + Z; cos ak + W; cos p\ + Zr sin ak +\ Bu ifadede (5r)k ve (8i)k verilen koordinatların yatay ve düşey bileşenleridir. Toplam ifadesinde n ise verilen noktaların sayısıdır. Yörünge sentezi probleminde yukarıdaki hata fonksiyonunu mekanizmaya göre değişen bağ şartlan altında minimum yapan optimum mekanizma boyutlan aranmıştır. Dört-çubuk mekanizması için bağ şartlarının meydana getirdiği eşit kısıtlar vııh. = -Wr + W*r -Z*r +Z*r cosak + Wr cospk - W*r cosp\ -Z*i sin ak - Wi sinPk+W*isinp*k hj+1 = -^ + W*. -Z'i +Z*i cosak +W; cosPk - W*i cos0\ +Z\ sinak + Wr sinPk-W*rSinp\ şeklindedir. Krank-biyel mekanizması için ise, bu denklemler aşağıda görülmektedir. üj = -Wr + W*r - pk W*r - Z*r + Z*r COS0tk + Wr COSpk - Z*i SUİ ttk - WiSinpk hj+1 = -Wj + W*i -pk Wi -Z*i +Z\ cosak +Wt cospk + Z*r sinak + Wrsinpk Hata fonksiyonun, minimum problemi Lagrange-Newton denklemleri kullanılarak çözülmüştür. Serbest minimum probleminde, f amaç fonksiyonu için, bu fonksiyonun değişkenlerine göre kısmi türevlerinden oluşan satır matris gradiyent tanımlanır. Minimum için gerek şart, aşağıda verilen bu gradiyentin sıfıra eşit olmasıdır. {Vf}=. m m dx, '5x2 '" af = {o}T Amaç fonksiyonunun ikinci türevlerinden oluşan simetrik Hessian matrisi kullanılarak yeterlilik şartı tanımlanır. Gerek şartı sağlayan stasyoner noktanın bir minimum nokta olabilmesi için aşağıda verilen Hessian matrisin bu noktada pozitif- belirli olması gerekir. [H] = d2f d2f Amaç fonksiyonu, serbest minimum probleminin tanımladığı gerek şart üzerinden ikinci mertebe türevleri ile seriye açılabilir. Aşağıda elde edilen denklemle [H]k tersi vıııalınabilir bir matris olması kabulü ile {x}r+i minimum noktalan iteratif olarak bulunabilir. {xL = R-[Hnvf£ Bu metot, iterasyon sırasında herhangi bir {x}k değerinde Hessian matris, pozitif- belirli değilse kararsız olur. Bu durumda, söz konusu Hessian matrisini pozitif-belirli yapacak bir düzeltme işlemi uygulamak gerekir. Çeşitli düzeltme teknikleri vardır. Bunlardan bir tanesi de Cholesky ayrıştırmasıdır. Bu yöntemde önce, [H] matrisi aşağıda görüldüğü gibi köşegen üzerindeki terimleri 1 olan alt üçgen matris [L] ve köşegen matris [D] kullanılarak üç matrisin çarpımı şeklinde elde edilir. [h]=[l][d][lF Matrisler üzerinde işlem tamamlandıktan sonra, köşegen elemanları pozitif sayılar olan \E] matrisi oluşturularak, pozitif-belirli [HJ matrisi elde edilir. [h]=[h]+[e] Çok değişkenli bağlı ekstremum problemi aşağıdaki şekilde ifade edilir. min f(xj,x2xa) h1=h,(x1,x2-xj=0 h2=h2(x!,x2xj = 0 hm=hm(Xl»X2*n)=°. Ekstremum probleminde stasyoner noktaların belirlenmesi için {X} lagrange çarpanları ile tammlanan Lagrangian fonksiyonu L = f + {X}T{h} w= IXşeklindedir. Bağlı ekstremum probleminde minimum noktalar için {Vf}T+{Vh}T{X}={0} {h}={0} matris denklemleri ile verilen Karush-Kuhn-Tucker (KKT) şartlarının sağlanması gerekir. Bu şartlar minimum noktalar için gerekli olup, yeterli değildir. İkinci mertebe yeterlilik şartı, kısıt yüzeyine teğet bölge içinde kalan noktalar için Lagrangian denkleminin Hessian matrisinin pozitif-belirli olmasıdır. KKT şartlarına uyan minimum noktalar, Lagrange-Newton denklemleri kullanılarak iteratif olarak elde edilirler. Bu denklemlerde, {x} ve {X} aşağıda verilen denklemlere uyan şekilde düzeltilir. M, [o] [Ml f-W IML-Fl-W M, İk+I Bu denklemdeki [W]k alt matrisi [wL=[h]+z i=l o {X}T (i. row) 0 9xj9x; OXjOX; 5xnöXi şeklinde tammlanır. Yukandaki denklemlerin minimum noktaya yakmsaması için iterasyon anında tanımlı [W]k matrisinin pozitif-belirli olması gerekir. Bu şartın sağlanmadığı durumlarda serbest minimum problemindeki düzeltmeler bu problem için de geçerlidir. Metot, dört-çubuk ve krank-biyel mekanizmaları için1. Bir bölümü doğru parçası olan biyel eğrisi 2. Simetrik biyel eğrisi 3. Bir bölümü çember parçası olan biyel eğrisi 4. Kesişen biyel eğrisi gibi farklı özellikteki biyel eğrilerini elde etmek için kullanılmıştır. Lagrange- Newton denklemleri ve Cholesky ayrıştırma yöntemi kullanılarak bulunan mekanizma boyutları ile istenilen eğrilere yakın sonuçların elde edildiği yapılan yörünge çizimleri ile görülmektedir. xı

Özet (Çeviri)

SYNTHESIS OF PATH-GENERATING MECHANISM SUMMARY The need for mechanism producing prescribed motion dates back to the beginning of industrialization. Since then, many methods have been invented and used for mechanism synthesis: from graphical methods, prior to the 1950s, to analytical and numerical methods, in the second half of this century. Analytical methods may be grouped into two families. One tries to satisfy exactly a set of a necessarily few prescribed configurations, and is known as the precision point approach. The other tries to minimize the difference between specified and produced motions over the full range of operation, and is known as optimal synthesis. The objective function used in the optimization is the sum of the squares of x and y differences between the given and the one generated by the mechanism: n-l r-Wr -Zr + Zr cosak +Wr cosp\ -Z; sinak k=i (- W; - Z; + Z; cosak + W; cos3k + Zr sin ak + ^sinp.-fo),, where (5r)k and (8i)k are the coordinates of points along the given curve while the other terms correspond to points along the generated curve. The quantity n designates the number of points selected along the desired curve. xnSynthesis of path-generating four-bar and slider-crank mechanisms is considered as an optimization problem under equality constraints. For the four-bar mechanism the constraints used in the optimization are: h. = -Wr + Wr -Z*r +Z*r cosak +Wr cospk - Wr cosg'k -Z*i sinak -“ WjSinj3k+W*isinP*k. ”hj+1 = -Wj + W*i -Z*t +Z*i cosak +Wt cospk - W*t cosp*k +Z% sinak + Wrsinpk-W*rsmp\ For the slider-crank mechanism the constraints used in the optimization are: h: = -Wr + Wr - Pk Wr - Z*r + Z*r COSttk + Wr COSpk - Z*i SU1 Clk - Wj sinPk hj+1 = -Wj + Wi -pk Wi -Z*i +Z*i cosak +W; cosPk +Z% sinak + Wrsinpk The minimization of the error function is based on Lagrange-Newton's method. We define the gradient vector, Vf to be the row vector of the first partial derivatives off. Suppose that f has a minimum the gradient { ' WdK2>SxJ w that is, all partial derivatives must be zero. We define the Hessian matrix H of f to be the square, symmetric matrix of the second derivatives off: [H] = d2î e2f The second order sufficiency condition for an unconstrained minimum is that the Hessian matrix of f is positive definite. xmLet us approximate the function with a quadratic one using the Taylor expansion. The minimizer {x}k+i can be found the stationarity condition. Assuming that [H]k is invertible, we can write Mk+I=Wk-[H],;1{vf| Newton's method will usually fail if the Hessian is not positive-definite at point {x}k during the iteration. So we need a compromise that retains some of the efficiency of the second-order approximation while remaining stable and avoiding nonoptimal points. We can do this by constructing matrix [E]. The method based on Cholesky factorization of [H]k. The Cholesky factorization of a symmetric matrix [H] is the product [H]=[L][D][Lr where [L] is a lower triangular matrix with unit diagonal elements and [D] is a diagonal matrix. When the process is completed, we get a matrix W=[H]+[E] where [Hj is positive-definite and [E] is a nonnegative diagonal matrix. The boundary optima problem is stated as minf(xl3x2xj h,=h1(x1,x2xn) = 0 h2=h2(x“x2xn) = 0 hm = hm(x1,x2xn) = 0 The stationarity condition is expressed in terms of a special function, the Lagrangian function defined by xivw= where {X} is vector of variables called Lagrange multipliers. The necessary condition, known as the Karush-Kuhn-Tucker (KKT) conditions are A point that satisfies the KKT conditions is called KKT point and may not be a minimum since the conditions are not sufficient. Second-order information is necessary to verify the nature of a KKT point. If a KKT point exists, such that the Hessian of the Lagrangian on the subspace tangent to the equality constraints is positive-definite, then is a minimum. We may choose to solve KKT conditions using Lagrange-Newton method to update {x} and {X}. Using the Taylor expansion to first order does this. M [o]J iwu”i-ttj Solving equation iteratively, we obtain the iterates Mm ={4+ M ML, where xv[wL = [H]+Z i=l 0 {X}T (i. row) 0 OXjSX; dxldK1 8k18kİ dx"dx; A solution exists if [W]k is positive-definite, a condition implicit in equation for stability of Lagrange-Newton method. Two different mechanisms, a four-bar and slider-crank were used to generate given path. There were eleven given points used along the desired curve and crank angle corresponding to the first position. In order check the applicability and accuracy of the formulation, various problems are solved and results are in good agreement with given points of desired path. Example problems solved as follows: 1. Coupler path with straight line 2. Symmetrical motion path 3. Coupler path with circular arc 4. Intersection path The synthesis process using this optimization Lagrange-Newton method with Cholesky factorization is illustrated by the way of two realistic mechanism and four different type path examples. From the examples presented in this work, it was found that the method is well suited for many different classes of problems in synthesis of mechanisms. xvi

Benzer Tezler

  1. Tez No

    215895

    Düzlemsel kol mekanizmalarının fonksiyon ve yörünge sentezi için etkileşimli bir bilgisayar paket programının geliştirilmesi

    Developing an interactive computer packet program for function and path-generation synthesis of planar linkage mechanisms

    SEDAT KARLIDAĞ

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2007

    Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve KontrolMersin Üniversitesi

    Makine Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    Y.DOÇ.DR. HÜSEYİN MUTLU

  2. Tez No

    167240

    Kinematic synthesis of spatial mechanisms using algebra of exponential rotation matrices

    Üstel dönme matrisleri aracılığı ile uzaysal mekanizmaların sentezi

    FARİBORZ SOLTANİ

    Yüksek Lisans

    İngilizce

    İngilizce

    2005

    Makine MühendisliğiOrta Doğu Teknik Üniversitesi

    Makine Mühendisliği Bölümü

    PROF.DR. ERES SÖYLEMEZ

    PROF.DR. KEMAL ÖZGÖREN

  3. Tez No

    55230

    Görüntü tanıma yöntemleriyle biyel eğrilerinin tasarımı ve sınıflandırılması

    Başlık çevirisi yok

    AHMET ÖZDEMİR

    Doktora

    Türkçe

    Türkçe

    1996

    Makine MühendisliğiGazi Üniversitesi

    PROF.DR. ERES SÖYLEMEZ

  4. Tez No

    45441

    Genetik algoritma tekniğinin düzlemsel mekanizmalarının kinematik sentezinde kullanılması

    Başlık çevirisi yok

    MEHMET SİNAN KONURALP

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    1995

    Makine MühendisliğiZonguldak Karaelmas Üniversitesi

    PROF.DR. MEHMET DİLMAÇ

  5. Tez No

    891419

    Mekanizma tasarımında kinematik sentez ile bütünleşik yazılım geliştirilmesi

    Integrated software development with kinematic synthesis in mechanism design

    ÖMER OĞUZ TEMEL

    Doktora

    Türkçe

    Türkçe

    2024

    Makine MühendisliğiMersin Üniversitesi

    Makine Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    DOÇ. DR. HÜSEYİN MUTLU

Geri Dön