Geri Dön

İzdüşel doğrusal grupların sonlu altgrupları üzerine

On the finite subgroups of projective linear groups

  1. Tez No: 179717
  2. Yazar: DUYGU IRMAK
  3. Danışmanlar: DOÇ. DR. ABDULLAH MUHAMMED ULUDAĞ, DOÇ. DR. MERAL TOSUN
  4. Tez Türü: Yüksek Lisans
  5. Konular: Matematik, Mathematics
  6. Anahtar Kelimeler: İzdüşel doğrusal grup, Doğrusal kesirli dönüşüm, Platonik cisimler, Riemann küresi, Projective linear group, Linear fractional transformation, Platonic solids, Riemann sphere
  7. Yıl: 2008
  8. Dil: Türkçe
  9. Üniversite: Yıldız Teknik Üniversitesi
  10. Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
  11. Ana Bilim Dalı: Matematik Bölümü
  12. Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
  13. Sayfa Sayısı: 75

Özet

1-boyutlu izdüşel doğrunun [x:y] elemanı ile genişletilmiş karmaşık düzlemin bir x/y elemanı eşleşir. C, karmaşık sayılar kümesi olmak üzere determinantı sıfırdan farklı 2×2 boyutlu karmaşık katsayılı matrislerin oluşturduğu grup genel doğrusal GL(2,C) grubu karmaşık düzlem üzerine matris çarpımı ile etkir. 1-boyutlu izdüşel doğru ile genişletilmiş karmaşık düzlem arasında bilinen özdeşliği kullanarak 1-boyutlu izdüşel doğru üzerindeki bu etkinin genişletilmiş karmaşık düzlem üzerindeki doğrusal kesirli dönüşümlerin etkisi ile aynı olduğunu görürüz.Doğrusal kesirli dönüşümler bileşke altında bir grup oluşturur. Bu grup GL(2,C)/Z(GL(2,C)) bölüm grubudur. Burada GL(2,C)'nin merkezidir ve GL(2,C)/Z(GL(2,C)):=PGL(2,C)'dir. Başka bir deyişle, genişletilmiş karmaşık düzlem üzerindeki doğrusal kesirli dönüşümlerin grubu, ki bu gruba Möbiüs grubu denir, PGL(2,C)'ye izomorftur. PGL(2,C) aynı zamanda Riemann küresinin otomorfizmalar grubudur.Öte yandan 3-boyutlu gerçel uzayda küre içine köşeleri küre üzerinde olacak şekilde düzgün konveks çokyüzlüler çizilebilir; bu çokyüzlüler Platonik cisimlerdir. Öklit uzayında Platonik bir P cismini koruyan izometriler, SO(3)'ün sonlu bir altgrubunu verir ve bu gruplar küre üzerine de etkir. Stereografik izdüşüm altında küreyi genişletilmiş karmaşık düzleme gönderirsek aynı grubun 1-boyutlu izdüşel doğru üzerine de etkidiğini, yani Platonik cisimlerin simetri gruplarının sonlu birer Möbiüs grubu olduğu sonucuna varırız. Bu amaçla karmaşık katsayılı doğrusal kesirli dönüşümlerin Möbiüs grubunun, yani PGL(2,C)'nin herhangi bir altgrubunun, kürenin simetrilerinin sonlu bir grubuna, yani n boyutlu devirli gruba, n boyutlu dihedral gruba ya da sırasıyla düzgün dörtyüzlünün, kübün ya da düzgün yirmiyüzlünün 4.dereceden alterne gruba, 4. dereceden simetrik gruba ve 5. dereden alterne gruba izomorf olduğu anlatıldı.Daha sonra doğrusal kesirli dönüşümler aynı zamanda sabit noktaları cinsinden yazılabileceği için doğrusal kesirli bir dönüşümünün sabit noktaları bulundu ve bu noktalar geometrik olarak yorumlandı. Son olarak 3-boyutlu gerçel uzayda Platonik bir cisminin bir simetrisinin bu cismi değişmez bırakan 3-boyutlu gerçel uzayın direkt bir izometrisi olduğu ve bu cismin tüm simetrilerinin bir grup oluşturduğu anlatıldı ve tüm Platonik cisimlerin Möbiüs grupları verildi.

Özet (Çeviri)

Any element of 1-dimensional complex projective line [x:y] and any element of the extended complex plane x/y corresponds. We denote complex numbers by C. The general linear group of 2×2 complex matrices GL(2,C) acts on the complex plane by matrix multiplication and we see that this act on 1-dimensional complex projective line is the same act on the extended complex plane by linear fractional transformation using usual relation between 1-dimensional complex projective line and the extended complex plane.Linear fractional transformations form a group under composition. This group is the quotient group GL(2,C)/Z(GL(2,C)) where Z(GL(2,C)) is the center of GL(2,C) and we have GL(2,C)/Z(GL(2,C)):=PGL(2,C). In other words, the group of linear fractional transformations on the extended complex plane which is called Möbiüs group is isomorphic to PGL(2,C). On the other hand, PGL(2,C) is the automorphism group of the Riemann sphere.Regular convex polyhedras can be inscribed in the sphere in 3-dimensional real space such that their vertices are on the sphere. These regular convex polyhedras are Platonic solids. In Euclidean space, the isometries preserving a Platonic solid P is a finite subgroup of SO(3) and these groups act on the sphere. If we send sphere to the extended complex plane under stereographic projection, we see that the same group acts on 1-dimensional complex projective line. In other words, a group of symmetries of Platonic solids are finite Möbiüs groups. By this aim, in this work it is explained that the Möbiüs group of linear fractional transformations with complex coefficients, any subgroup of PGL(2,C), is isomorphic to a finite group of the symmetries of the sphere, in other words these finite subgorups are n dimensional cyclic group, n dimensional dihedral group, 4. dimensional alternating group, 4. dimensional symmetric group and 5. dimensional alternating group.Moreover, since the linear fractional transformations can also be expressed by their fixed points, the fixed points of any linear fractional transformation are found, then these points are interpreted geometrically.Finally, we consider that any symmetry of a Platonic solid in 3-dimensional real space is a direct isometry of 3-dimensional real space that leaves it invariant. It is said that all symmetries of this Platonic solid form a group and the Möbiüs groups of all Platonic solids are given.

Benzer Tezler

  1. Basics of symplectic manifolds

    Simplektik çokkatlıların temelleri

    KARATUĞ OZAN BİRCAN

    Yüksek Lisans

    İngilizce

    İngilizce

    2014

    MatematikKoç Üniversitesi

    Matematik Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. BURAK ÖZBAĞCI

  2. Çeşitli bilardo sınıflarındaki yörüngelerin incelenmesi

    Investigation of trajectories in various classes of billiards

    ALİ DENİZ

    Doktora

    Türkçe

    Türkçe

    2005

    MatematikAnadolu Üniversitesi

    Matematik Ana Bilim Dalı

    Y.DOÇ.DR. ANDREİ RATİU

  3. Dağılım uzaylarında fourier dönüşümleri

    Başlık çevirisi yok

    HAŞMET GÜRÇAY

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    1986

    MatematikHacettepe Üniversitesi

    Matematik Ana Bilim Dalı

    PROF.DR. AHMET ABDİK

  4. Classical Zariski pairs with nodes

    Düğümlü klasik Zariski çiftleri

    AYŞEGÜL AKYOL

    Yüksek Lisans

    İngilizce

    İngilizce

    2008

    Matematikİhsan Doğramacı Bilkent Üniversitesi

    Matematik Bölümü

    DOÇ. DR. ALEXANDER DEGTYAREV