Reaksiyon-difüzyon denklem sistemlerinin B-spline sonlu elemanlar yöntemi ile nümerik çözümleri
Numerical solutions of the reaction-diffusion systems with B-spline finite element method
- Tez No: 244493
- Danışmanlar: PROF. DR. İDRİS DAĞ
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2009
- Dil: Türkçe
- Üniversite: Eskişehir Osmangazi Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 145
Özet
Bu tez çalışmasının temel amacı, birçok bilim dalında bazı fiziksel olayları modellemek için kullanılan, reaksiyon-difüzyon denklem sistemlerinin nümerik çözümlerini elde etmektir. Bu amaç doğrultusunda, diferensiyel denklemlerin nümerik çözümlerinde yaygın olarak kullanılan sonlu elemanlar yöntemi kullanılmıştır.Nümerik yöntemin uygulanışında, ilk olarak, Crank-Nicolson formülleri yardımıyla denklem sisteminin zaman ayrıştırması yapıldı. Daha sonra denklem sistemindeki lineer olmayan terimler lineerleştirilerek sonlu elemanlar yöntemi uygulandı. Sonlu elemanlar yönteminde, konum ayrıştırması için problemin çözüm bölgesi eşit uzunluklu alt aralıklara bölündü ve bu aralıklar üzerinde ağırlık fonksiyonu olarak dirac-delta fonksiyonu, taban fonksiyonu olarak da sırasıyla kuadratik, kübik, kuartik ve kuintik B-spline taban fonksiyonları seçildi. Böylece, reaksiyon-difüzyon denklem sistemi, katsayı matrisleri her satırında belirli sayıda sıfırdan farklı eleman bulunduran blok band matrisler olan matris denklemine dönüştürüldü. Elde edilen bu matris denkleminin çözümleri için ise Thomas algoritmaları ve Gauss eliminasyon yöntemi kullanıldı.Farklı derecelerdeki B-spline fonksiyonlarının kullanımı ile ortaya konan nümerik yöntemler, farklı problemler üzerinde test edildi. Yöntemlerin doğruluğu araştırılırken lineer problem için L2 ve Loo hata normları, lineer olmayan bazı problemler için ise bağıl hata kullanıldı. Bu sayede, elde edilen çözümler, gerek birbirileri ile gerekse de literatürde yer alan diğer bazı çalışmalarla karşılaştırılarak, önerilen yöntemlerin avantaj ve dezavantajları tartışıldı.Seçilen test problemlerinin karakterine göre ortaya çıkan konumsal desenler, reaksiyon-difüzyon denklem sisteminde yer alan bağımlı değişkenlere ait yoğunluk değişimlerinin konum ve zaman ekseni üzerindeki izdüşüm grafikleriyle oluşturuldu.
Özet (Çeviri)
The main purpose of this thesis is to obtain the numerical solutions of the reaction-diffusion systems which are used for some physical facts in various disciplines. For this purpose, the finite element method that used widely in numerical solutions of differential equations is employed.In the application of the numerical method, firstly, the time discretization of the equation system is achieved by the help of Crank-Nicolson formulae. Then, the resulted system is linearized and the finite element method is applied. In the finite element method, a uniform partition of the solution domain is considered for the space discretization. Over the mentioned mesh, dirac-delta function is taken as the weighted function and respectively, quadratic, cubic, quartic and quintic B-spline functions are chosen as the basis functions. Thus the reaction-diffusion system turns into a matrix equation such that the coefficient matrices are bloc matrices containing the certain number of non-zero elements in each row. The Thomas algorithms and the Gauss elimination method are used for the solutions of the obtained matrix equations.The present methods given by the usage of B-splines in several degrees are tested on different problems. To investigate the accuracy of the methods, L2 and Loo error norms are employed for the linear problem and the relative error is used for some nonlinear problems. By this means, the obtained results are compared with either in each other or some other works from the literature. Then the advantages and the disadvantages of the present methods are discussed.Subject to the character of the test problems, the occurring spatial patterns are formed by the trajectories of the concentrations of the dependent variables in the reaction-diffusion system.
Benzer Tezler
- Reaksiyon-difüzyon denklem sistemlerinin çözümleri için trigonometrik B-spline kolokasyon algoritmaları
Trigonometric B-spline collocation algorithms for the solutions of reaction-diffusion equation systems
AYSUN TOK ONARCAN
Doktora
Türkçe
2020
Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve KontrolEskişehir Osmangazi ÜniversitesiElektrik-Elektronik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DR. ÖĞR. ÜYESİ NİHAT ADAR
- Bazı kısmi türevli diferansiyel denklemlerin Taylor Kolokeyşin-Genişletilmiş kübik B-spline fonksiyonlar ile sayısal çözümleri
Numerical solutions of some partial differential equations using the Taylor Collocation-Extended cubic B-spline functions
ABDULLAH MURAT AKSOY
Doktora
Türkçe
2012
MatematikEskişehir Osmangazi ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. İDRİS DAĞ
- Bazı kısmi diferensiyel denklem sistemlerinin üstel kübik B-spline kolokeyşın çözümlerinin üretilmesi
Generation of the exponential cubic B-spline collocation solutions for some partial differential equation systems
ÖZLEM ERSOY HEPSON
Doktora
Türkçe
2015
MatematikEskişehir Osmangazi ÜniversitesiMatematik Bilgisayar Ana Bilim Dalı
PROF. DR. İDİRİS DAĞ
- Numerical and synchronizational behaviors of some evolution equations
Bazı evolüsyon denklemlerinin nümerik ve senkronizasyonal davranışları
SHKO ALI TAHIR
- Painleve analysis and lie symetries of some nonlinear partial differential equations
Başlık çevirisi yok
ABULGASİM ALİ MOHAMMAD
