Painleve analysis and lie symetries of some nonlinear partial differential equations
Başlık çevirisi mevcut değil.
- Tez No: 55513
- Danışmanlar: PROF.DR. MEHMET CAN
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 1996
- Dil: İngilizce
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: 85
Özet
BAZI LİNEER OLMAYAN KISMÎ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN PAİNLEVE ANALİZİ VE LİE SİMETRİLERİ ÖZET Burada incelenen türden lineerimsi parabolik denklemler, ya da lineer olmayan reaksiyon-difüzyon sistemleri, fizik, kimya, biyoloji ve diğer uygulamalı bi limlerde incelenen çeşitli olayların modellenmesi aşamasında ortaya çıkarlar. Bu çalışmada Lie gruplarının teorisi ile diferansiyel denklemlerin tekillik a- nalizi birleştirilerek iki tür kompleks modifiye Korteweg-de Vries (KMKdV- I ve KMKdV-Il) denklemi ile Hirota-Satsuma denklemi dediğimiz lineer ol mayan kısmî diferansiyel denklem sisteminin integre edilebilirliği hakkında fikir veren Painleve testini geçip geçmedikleri araştırılmaktadır. Denklem KMKdV-I denkleminde olduğu gibi Painleve testini geçmese bile, test sonu cunda elde edilen bilgilerden yararlanarak denklemin bazı özel çözümlerini bul mak mümkün olmaktadır. Testi geçen denklemler için ise daha zengin yapı özelliklerine ulaşılabilmekte, denklemin sonsuz Lie simetrileri, Lax çifti ve 11i- rota bilineer biçimi elde edilebilmektedir. Lie nokta simetrileri denklemlerin adî diferansiyel denklemlere indirgenmesini mümkün kılmakta ve böylece benzerlik çözümleri hakkında bazı değerli bilgiler elde edilmektedir. Birinci Bölüm: Temel Kavramlar Tezin birinci bölümü yöntemlerin tanıtılmasına ayırılmıştır. Tekillik analizi ve Painleve Özelliği M. J. Ablowitz ve onunla beraber çalışanlar [2] integre edilebilen kısmî dife ransiyel denklemler benzerlik indirgemeleri ile adî diferansiyel denklemlere in- dirgenebildiklerinde, bu adî diferansiyel denklemlerin Painleve özelliği denilen hareketli tekilliklerinin en fazla kutup tipi tekillik olması özelliğine sahip olduk-^ larını ileri sürmüşlerdi. Onların iddiaları şöyle ifade edilebilir (the Painleve tahmini ): Tam integre edilebilen bir kısmî diferansiyel denklemin benzerlik in dirgemeleri olarak ortaya çıkan adî diferansiyel denklemlerin Painleve özelliği vardır. Yöntem tamamen hesaplamaya yönelik olduğu halde bazen elle hesaplanması viimkansız olabilecek ağırlıkta hesap yükü getirmektedir. Ancak son zamanlarda bilhassa Mathematica, Macsyma, Maple ve Reduce gibi bilgisayar cebiri paket leri içinde yer alan sembollerle hesap programları sayesinde bu hesap yükünü bilgisayarlara aktarma imkanı buluyoruz. Painleve özelliklerini araştırırken Mathematica ile etkileşimdi olarak çalıştık. Kısmî Diferansiyel Denklemlerin Painleve Analizi Yukarıda da bahsedildiği gibi [2] 'de ifade edilen ARS tahminine göre ters saçınım yöntemiyle çözülebilen lineer olmayan kısmî diferansiyel denk lemlerden tam indirgemeyle elde edilen her adî diferansiyel denklem Painleve özelliğine sahiptir. Bu tahmin böylece verilen kısmî diferansiyel denklemin tam integre edilebilirliği için bir gerek şart temin edecektir. Bu özelliği ortaya çıkarmak için iki şeye ihtiyaç duyulacaktır: önce verilen kısmî diferansiyel denklemin bütün benzerlik indirgemelerini elde etmeye imkan vere cek bir yöntem bulunmalı sonra da bu adî diferansiyel denklemlerin Painleve özelliğine sahip olduklarını göstermeye bir yol aranmalıdır. Lie grup anali zi benzerlik indirgemelerinin hiç olmazsa bir kısmını bulma imkanı verecek bir gereçtir. Diğer taraftan P. A. Clarkson ve M. D. Kruskal [6] Lie grup yöntemiyle elde edilemeyen bazı yeni benzerlik indirgemelerini doğrudan elde etmeye yarayacak bir algoritma geliştirdiler. M. J. Ablowitz, A. Ram ani ve H. Segur [7] da bir adî diferansiyel denklemin Painleve özelliğine sahip olup olmadığını ortaya çıkaracak bir analiz ortaya koydular. Aslında ARS analizi, bir adî diferansiyel denklemin (veya bir adî diferansiyel denklem sisteminin) cebirsel ya da logaritmik türden hareketli dallanma nok talan olup olmadığın] ortaya çıkarmaya yöneliktir. Ancak bu yolla hareketli esas tekilliklerin varlıklarının ortaya çıkarılamayacağı da hatırda tutulmalıdır. Ancak verilen bir kısmî diferansiyel denklemin integre edilebilir olup olmadığını araştırmak için ARS iddiasının bu ilk şeklini kullanabilmek için verilen kısmî diferansiyel denklemin bütün benzerlik indirgemelerini bulmak gibi başarılması imkansız bir işi bitirmek gerekmektedir. Oysa çoğu kere bulunabilen indirge meler ilginç bilgilere bizi ulaştırabilmekten uzak basit indirgemelerdir. Bereket versin Weiss ve birlikte çalışanlar bu alanda bir ilerleme kaydederek, benzer lik indirgemelerine bakmadan, Painleve özelliğini doğrudan kısmî diferansiyel denklemin kendisinde aramaya imkan veren bir yöntem keşfettiler [11]. Weiss'm analizi dört adımlıdır; egemen davranışları ortaya çıkarmak, çözüm dallarını bulmak, rezonansları ve rezonanslardaki uygunluk koşullarını incele mek [8]. Diferansiyel Denklemlerin Lie Simetrileri Bu tezde bazı lineer olmayan kısmî diferansiyel denklem sistemlerinin, S. Lie [3] tarafından geliştirilmiş olan ve sonsuz küçük dönüşümlerin Lie grubu yöntemi adı verilen teknikle klasik simetrilerini bulunmaktadır. Daha sonra klasik Lie simetrileri kullanılarak denklemlerin bazı benzerlik idirgemeleri bulunup viionların Painleve özelliğine sahip olup olmadıklarına bakılmaktadır. Yöntem tamamen hesaplamaya yönelik olduğu halde bazen elle hesaplanması imkansız olabilecek ağırlıkta hesap yükü getirmektedir. Bereket versin son zamanlarda bilhassa Mathematica, Macsyma ve Reduce gibi bilgisayar cebiri paketleri içinde sembollerle hesap programları yer almıştır da biz bu hesap yükünü bil gisayarlara aktarma imkanı bulmuşuzdur. Burada da klasik Lie simetrilerini bulmak için REDUCE içindeki SPDE hazır programını kullandık. Elde edilen benzerlik indirgemelerinin Painleve özelliklerini araştırırken de Mathematica ile etkileşimli olarak çalıştık. F(t,x,u,v) = 0, G{t,x,u,v) = 0 (1) lineer olmayan kısmî diferansiyel denklem sistemini gözönüne alalım. Şimdi (x,t,u,v) değişkenlerinin bir (e) parametresine bağlı x* = x + e£ı(x,t,u, v) + 0(e2), t* = t + e£2(x,t,u,v) + 0(e2), ^ u* = u + ei]ı(x,t,u,v) + ö(e2), * ^ v* = v + ei]2(x,t,u,v) + 0(e2) Lie nokta dönüşümlerini ele alacağız, (l)'deki sistemin bu nokta dönüşümü altında değişmez kalması için onun,, d d d d X - sı“5~~ + £2^7 + Vı -zr + V2-5- ox ot au ov, d. d d Ö,, d, d +&Ö - + s2^- + 7lâ~- +T2”5- + C1110 +7ııiâ \6) oux öut ovx ov t ouxxx avxxx operatörünün etkisi altında değişmeden kalması gerekmektedir. Burada 6, 6, Vu 7?2 (4) esas bilinmeyenlerdir. Cı, C2, 7ı, 72, Cm, 7nı (5) ise bu asıl bilnmeyene bağlı fonksiyonlardır. Denklemin değişmez kalması koşulu kullanılınca bu dört temel bilinmeyen fonksiyon cinsinden, denklemi ne göre yaklaşık yüz tane kadar lineer kısmî diferansiyel denklemden oluşan ve kendisine belirleyici denklem denilen bir aşırı belirlenmiş sistem elde edilir [4]. Dört saat kadar zaman harcayarak bu sistemi elle çözmek mümkün ise de biz bu işi REDUCE içindeki SPDE programı ile 15 saniyede bitirdik ve (1) sisteminin kabul ettiği Lie dönüşümler grubunun üreticilerini bulduk. vmikinci Bölüm: KMKdV-I Denkleminin Painleve Analizi ve Lie Simetrileri Tezin ikinci bölümü, giriş kısmında tanıtılan yöntemlerin KMKdV-I denklemi dediğimiz wt -f- a{\w\2w)x + {3wxxx = O (6) lineer olmayan kısmî diferansiyel denklemine uygulanmasından oluşmaktadır. Çalışmada bu denklemin eşdeğeri olan ut + a[(u2 + v2)u]x + fiuxxx = 0, vt + a[(u2 + v2)v]x + Şvxxx = 0 (7) sisteminin «-*-'E Ujft, J=0 oo v = -1J2vJ(i>J ' (8) i=o şeklinde, , u0, u3, t>3, u$ gibi beş keyfî fonksiyona bağlı bir seri çözüme sahip olduğu gösterilmiştir. Bu çözümün bir genel çözüm olması için altı keyfî fonksiyona bağlı bir seri çözüm gerektiğinden KMKdV-I denklemi Painleve testini geçememektedir. Ancak bu durum bizi bu analizin sonuçlarından yararlanmaktan alıkoyama- maktadır. Gerçekten denklemin u = - + Ut 9 v=^ + vr (9) 9 şeklinde bir sonlu seri çözümü elde edilebilmiş, buradaki tekillik manifoldu fonksiyonunun S={,x} = olmak üzere (10) invaryaııt denklemini sağladığı, U = ^, V = ^ fonksiyonlarının da 3pUxx + (pS ~C)U = 0 3ŞVXX + {ŞS~C)V = 0 (11) denklemlerinin çözümleri oldukları bulunmuştur. u\, ı>ı ise (7) sisteminin her hangi bir çözümüdür. ixBöylece (10) denkleminin her çözümü, (ll)'den bulunacak u0, Uo'Iarla bir likte (9) aracılığıyla, (7) sisteminin uı, uj çözümünü yine aynı sistemin yeni u, v çözümüne dönüştüren oto-Bâcklund dönüşümleri sağlamaktadır. Tezde (10) denkleminin bazı özel çözümlerinden yararlanılarak KMKdV-I denklemi nin bazı özel çözümleri elde edilmiştir. ikinci bölümde ayrıca KMKdV-I denkleminin Lie nokta simetrileri ve bu si metrilere karşılık olan ftf“ + «\f\2f=n (12) ve /?/”- l 1Ş^«İ^,> 3=0 oo 3=0 şeklinde, , u0, «ı, «3, «4, «5 gibi altı keyfî fonksiyona bağlı bir seri çözüme sahip olduğu gösterilmiştir. Bu çözümün bir genel çözüm olması için zaten altı keyfî fonksiyona bağlı bir seri çözüm gerektiğinden KMKdV-11 denklemi Painleve testini geçmektedir. Burada da denklemin u0 U = -r + U\ v = ^ + v1. (17)şeklinde bir sonlu seri çözümü elde edilebilmiş, buradaki tekillik manifoldu fonksiyonunun in varyant denklemini sağladığı, u0 ve v0 fonksiyonlarının da & bu denklemden çözüldükten sonra u0 = a x, vo = Ş x (19) ifadelerinden elde edilebilecekleri bulunmuştur. ut, vt ise (15) sisteminin her hangi bir çözümüdür. Böylece (18) denkleminin her çözümü, (19)'dan bulunacak u0, u0'larla birlikte (17) aracılığıyla, (15) sisteminin u\, vı çözümünü yine aynı sistemin yeni u, v çözümüne dönüştüren oto-Bâelund dönüşümleri sağlamaktadır. Tezde (15) denkleminin bazı özel çözümlerinden yararlanılarak KMKdV-II denkleminin bazı özel çözümleri elde edilmiştir. Bu bölümde ayrıca KMKdV-II denkleminin Lie nokta simetrilerinin dört bo yutlu çözülebilen bir Lie cebiri oluşturduğu ve bu simetrilerden kaynaklanan W“ ~ \W\2W = 0 (20) ve -3W'”+ (ÇW)' + 18\W\2W = 0 (21) benzerlik indirgemelerinin Painleve özelliği gösterdiğ de burada kanıtlanmıştır. Aynı bölümde Painleve analizinden elde edilen bilgiler kullanılarak KMKdV-II denkleminin Hirota bilineer biçimi ve Lax çifti de elde edilmiştir. Dördüncü Bölüm: Hirota-Satsuma Denkleminin Painleve Analizi ve Lie Simetrileri Bu son bölümde, giriş kısmında tanıtılan yöntemler ut = uxxx/2 -f 3uux - 3vvx vt = -vxxx - 3uvx (22) ile verilen Hirota-Satsuma (H-S) denklemine uygulanmaktadır. Tezde (22) sisteminin oo 3=0 oo v = riJ2v^ (23) şeklinde, , uu «2, «4, «e, ve gibi altı keyfî fonksiyona bağlı bir seri çözüme sahip olduğu gösterilmiştir. Bu çözümün bir genel çözüm olması için zaten xıaltı keyfî fonksiyona bağlı bir seri çözüm gerektiğinden H-S denklemi Painleve testini geçmektedir. Burada da denklemin d2 u = -^-j İn + u2 v = ^ + v2 (25) şeklinde bir sonlu seri çözümü ekle edilebilmiş, buradaki tekillik ınaııifoldu fonksiyonunun sağladığı in varyant denklemin bazı özel çözümleri için (22) Hirota-Satsuma denkleminin bazı özel çözümleri elde edilebilmiştir. Bu bölümde ayrıca H-S denkleminin Lie nokta simetrileri ve bu simetrilerden kaynaklanan w'CI'l + (c - 3tüı)«/, - 3ıo2w2 = 0,,, v < + (c-3«;ı)'2 =0 K } ve w'{'/'2 + (3toı - z)w[ - 3w2w'2 + 2ıoi/3 = 0 (27) w'2" + (3uH+z)w2-2w2/3 = 0 { ' benzerlik indirgemeleri de elde edilmiştir. xıı
Özet (Çeviri)
SUMMARY Quasilinear parabolic equations, or nonlinear reaction- diffusion systems arise in the modelling of phenomena in physics, chemistry, biology and other applied sciences. The complex modified Korteweg-de Vries-I equation (CMKdV-I) wt + a(\w\2w)x + j3wxxx = 0, the complex modified Korteweg-de Vries-II equation (CMKdV-II) wt - oli/;!2^ + wxxx = 0, and the Hirota-Satsuma (H-S) equation ut = uxxxj1 + 3uux - 3vvx vt = -vxxx - 3uvx are amoung them. Since the formulation of the Painleve tests, there has been considerable inter est in using the Painleve property as a means of determining whether given equations, both partial and ordinary differential equations, are integrable. The CMKdV-I equation does not pass the Painleve test while CMKdV-II and H- S equations do. The H-S equation is classified as a soliton equation by B. Fuchssteiner.'-"' To search for the Painleve property, the singular manifold expansion of Weiss. Tabor and Carnevale '. have been successfully applied to the partial differen tial equations above as well as their similarity reductions. The analysis yield information such as Lax pairs, Bâcklund transformations, Hirota bilinear forms and special solutions. On the other hand several recent developments have made the application of group theory to the solution of the differential equations more powerful then ever. More recently Gibbon et. al. ) revealed interrelations between the Painleve property and Hirota's bilinear method. And W. Strampp [-''] have shown that symmetries and recursion operators for an integrable nonlinear partial differential equation can be obtained from Painleve expansion. In this thesis work the classical method of infinitesimal transformations due to Lie is used for finding similarity reductions of given partial differential equa tions. Though the method is entirely algorithmic, it often involves a large amount of tedious algebra and auxiliary calculations which are virtually un manageable manually. Recently symbolic manipulation programs have been developed, especially in Mathematica, Macsyma and Reduce. In order to fa cilitate the determination of the associated similarity reductions we used the package SPDE in the computer algebra system REDUCE.
Benzer Tezler
- Bazı özel 1+1- ve 2+1-boyutlu evrim tipi denklemlerde integre edilebilme ve simetriler
Integrability and symmetries of some special evolutionary type equations in 1+1- and 2+1-dimensions
CİHANGİR ÖZEMİR
Doktora
Türkçe
2012
Matematikİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. FARUK GÜNGÖR
- 2+1 boyutlu Kübik Schrödinger denkleminin grup-değişmez çözümleri
Group-invariant solutions of 2+1 dimensional Cubic Schrödinger equation
CİHANGİR ÖZEMİR
Yüksek Lisans
Türkçe
2005
Matematikİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. FARUK GÜNGÖR
- Lineer olmayan diferensiyel denklemlerin Painleve analizi ve integre edilebilme yönleri
Painleve analysis and integrability aspects of nonlinear differential equations
SEFA YILDIZ
- Painlevé analizi ve Backlund dönüşümü yardımıyla lineer olmayan kısmi türevli denklemlerin incelenmesi
Analysis of nonlinear partial differential equations by Painlevé analysis and Bäcklund transformation
ARZU ÖĞÜN
- Painleve analizi ile bazı lineer olmayan kısmi türevli denklemlerin integrallenebilirliği ve soliton çözümleri üzerine
On the integrability of some nonlinear partial differential equations with Painleve analysis and soliton solutions
FİGEN KANGALGİL