Doğal sayı ayrışımlarının sayma yöntemleri: Rank, Crank ve SPT
Combinatorial methods of partitions of natural nnumbers: Rank, Crank and SPT
- Tez No: 392687
- Danışmanlar: PROF. DR. ALİ BÜLENT EKİN
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2015
- Dil: Türkçe
- Üniversite: Ankara Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: 61
Özet
Bir n pozitif tamsayısının n = a_1+a_2+ +a_r; (a_1>=a_2>=...>=a_r>= 0) şeklinde yazımına n sayısının bir ayrışımı ve a_i lere de ayrışımın parçaları denir. n nin bütün ayrışımlarının sayısı (sıra farkı gözetmeksizin) p(n) ile gösterilir. p(n) sayısı matematiğin değişik alanlarında karşımıza çıkmaktadır. Beş bölümden oluşan tezin giriş kısmında üreteç fonksiyonu, çarpımsallık ve ayrışım arasındaki ilişki, ferrer grafiği, rank, vektör ayrışım, crank, spt tanımlarından bahsedilmiştir. Ramanujan tarafından 1919 yılında verilen kongrüanslar ayrışım teorisinin gelişmesinde önemli bir yer tutmaktadır. Bu kongrüanslarla beraber Hardy ve Ramanujan tarafından p(n) için bulunan asimptotik formül tezin ikinci bölümündedir. Euler beşgen sayı teoremi ve bu teorem yardımıyla p(n) için bulunan recursive formül de bu bölümde yer almaktadır. Ramanujan'ın kongrüanslarını kombinatoral yollarla ispatlayabilmek için Dyson tarafından verilmiş rank tanımı tezin üçüncü bölümünde yer almaktadır. Bu bölümde ayrıca rank ile ilgili birçok eşitlik verilmiş ve Ramanujan'ın p(11n+6)=0(mod11) kongrüansının rank tansif yöntemiyle elde edilemeyeceği gösterilmiştir. Dyson tarafından ismi verilen fakat tanımlanmayan crank tanımı tezimizin dördüncü bölümünde yer almaktadır. Garvan tarafından tanımlanan vektör ayrışım ve bu ayrışım yardımıyla tanımlanan crank bu bölümde ayrıntısıyla incelenmiş ve birçok sonuca yer verilmiştir. Daha sonra herhangi bir ayrışım için crank tanımı verilmiştir.Son bölümde ise pozitif bir sayının ayrışımlarının sayısı ile pozitif bölen sayısı arasındaki ilişkiden bahsedilmiştir. Sonra spt tanımı ve spt ile ilgili kongrüanslar verilmiştir.
Özet (Çeviri)
The writing in the form of a positive integer n = a_1+a_2 +...+a_r; (a_1>=a_2>=...>=a_r>=0) is called a partition of n and the terms a_i called parts of the partition. Number of partitions of n is shown by p(n) (regardless of sequence difference). The number p(n) is encountered in different areas of mathematics. Five sections of the thesis in the introduction consists of generating functions, the relationship between additive and multiplicative, ferrer graph, rank, vector partitions, crank and spt definitions are discussed.Congruences given by Ramanujan in 1919 holds an important place in the development of the theory of parititions. With this congruence the asymptotic formula for p(n) found by Hardy and Ramanujan is in the second part of the thesis.Euler's pentagonal number theorem and the recursive formulas of p(n) which found with the help of theorem are also included in this section.The definition of rank given by the Dyson for proving Ramanujan's congruence with combinatoral methods is located on the third part of the thesis.This section also given many equality about rank and shown Ramanujan's last congruence p(11n+6)=0(mod11) can not be achieved with the rank method.Crank called by the Dyson but not defined by him is located in the fourth chapter of this thesis.Vector partitions defined by Garvan and crank defined using this partition were examined in detail in this chapter and have been given many results.Then crank definition is given for any partition.In the last section given the relationship between the number of partitions of any positive number and the number of positive divisors. Then thedefinition of spt and congruences related to spt are given.
Benzer Tezler
- Doğal sayı kümeleri için sonsuzlukta üst porosity ve uygulamaları
Upper porosity for sets of natural numbers at infinity and its applications
MAYA ALTINOK
- 𝑆̂_𝜆 ve [𝑉̂,𝜆] uzayları ile ilgili bazı kapsama bağıntıları
Some inclusion relations related to spaces 𝑆̂_𝜆 and [𝑉̂,𝜆]
TUBA DİNÇ
- İlkokul dördüncü sınıf öğrencilerinin doğal sayı problemlerinin çözümünde kullandıkları sayı hissi stratejilerinin belirlenmesi
Determining the number sense strategies used by fourth grade students in primary school to solve natural number problems
AYŞEGÜL KARADUMAN
Yüksek Lisans
Türkçe
2023
MatematikYozgat Bozok ÜniversitesiTemel Eğitim Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. GÜRSEL GÜLER
- Toplamsal aritmetik yarı gruplarda bağımsız rastgele değişkenlerin toplamları
Sums of independent random variables on additive arithmetical semigroups
ERDENER KAYA