Geri Dön

Investigation of some nonlinear fractional differential equations

Bazı doğrusal olmayan kesirsel mertebeden denklemlerin incelenmesi

PDF İndir

  1. Tez No: 413554
  2. Yazar: MÜFİT ŞAN
  3. Danışmanlar: PROF. DR. KAMAL SOLTANOV
  4. Tez Türü: Doktora
  5. Konular: Matematik, Mathematics
  6. Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
  7. Yıl: 2015
  8. Dil: İngilizce
  9. Üniversite: Hacettepe Üniversitesi
  10. Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
  11. Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
  12. Bilim Dalı: Fonksiyonlar Teorisi ve Analiz Bilim Dalı
  13. Sayfa Sayısı: 88

Özet

Bu tez çalışmasında kesirsel türev operatörü ya da bu operatörün genelleşmesini içeren bazı Cauchy ve Dirichlet problemlerinin çözümlerinin uygun uzaylarda varlığı ve tekliği araştırılmıştır. Bu Cauchy problemlerinden biri, \begin{equation*} \begin{array}{rcl} D^{\alpha }u(z)&=& f\left(z,u(z)\right)\\ u(0) & = & 0, \end{array} \end{equation*} şeklindedir ve burada $02s$ ($s\in(0,1)$) olacak şekilde bir doğal sayı, $\Omega,$ sınırı Lipschitz sınıfından olan $\mathbb{R}^{n}$'de sınırlı bir bölge, $h$ genelleşmiş bir fonksiyon, $g:\Omega\times\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ ise aşağıdaki koşulu sağlayan bir Carath\'edory fonksiyonudur: Öyle bir $\mu>0$ ve $i=0,1$ i\c{c}in $a_{i}(x)\geq 0$ olacak şekilde $a_{i}\in L_{p_{i}}(\Omega)$ fonksiyonları vardır ki \begin{equation*} \left|g(x,t)\right|\leq a_{1}(x)\left|t\right|^{\mu}+a_{0}(x), \end{equation*} eşitsizliği hemen hemen her $x\in\Omega$ ve her $t\in \mathbb{R}$ i\c{c}in sağlanır. Bu problem, yukarıdaki eşitsizlikteki $\mu$ parametresinin bulunduğu $00,$ her $x\in\Omega$ ve her $t_{1},t_{2}\in\mathbb{R}$ için $$ \left(g(x,t_{1})-g(x,t_{2}) \right)(t_{1}-t_{2})>-k\left|t_{1}-t_{2}\right|^{2},$$ eşitsizliğini sağlaması durumunda problemin genelleşmiş çözünün mevcut ise tek olduğu gösterilmiştir. Belirtmek gerekir ki, yukarıdaki problemlerde yer alan kompleks değişkenli ve çok değişkenli fonksiyonlar için tanımlanan kesirsel integral ve türev tanımlarını da içeren kesirsel kalkülüsün tarihsel gelişiminden tezin birinci bölümünde bahsedilecektir. Bunu müteakiben, özellikle göz önüne aldığımız problemlerle yakından ilişkili ve daha önce çalışılmış kesirsel türevli denklem içeren Cauchy ve Dirichlet sınır-değer problemlerine yer verilmiştir. Göz ününe aldığımız problemlerde yer alan kompleks değişkenli fonksiyonlar için yapılmış farklı kesirsel türev tanımlarının arasındaki farkları, kesirsel Laplasyan ve $\mathcal{L}_{K}$ operatörünün özelliklerini, problemlerin çözümlerinin aranacağı fonksiyon uzaylarını ve özelliklerini, bu problemlerin çözümlerinin varlığını ve tekliğini göstermek için kullanılacak olan sabit nokta ve varlık teoremlerini içeren ön bilgilere ve bilinen gerçeklere ikinci bölümde değinilmiştir.

Özet (Çeviri)

In this study, we take into consideration the initial value problems for the fractional diff erential equations in the complex plane and the Dirichlet boundary problems derived by the fractional Laplacian called as Riesz fractional derivative of functions of several variables, and its generalization. In the first chapter we dwell on the historical developments and motivations related to the problems which we deal with in chapters 3 and 4. In the second chapter, some well-known facts and primarily results related to the next two chapters are introduced to make the next chapters more understandable. In Section 3, we investigate the existence and uniqueness of the solutions of initial-value problems for two diff erent nonlinear complex fractional diff erential equations, one of which involves the fractional derivative and a second which involves a modifi cation of fractional derivative. At rst, the conditions for the nonlinear term of the fractional di fferential equations mentioned above are obtained to make the problems well-posed. In the sequel, we find the sufficient conditions for the nonlinear terms to be able to show the local existence of the solutions in the certain spaces. Moreover, by imposing extra conditions, such as Lipschitz condition, we prove the uniqueness of the solution in the appropriate spaces. i In the last chapter, the existence and uniqueness of the generalized solution of the Dirichlet boundary problems involving fractional Laplacian and, more generally, its generalization in the appropriate space are investigated. This investigation is made in sublinear, linear and superlinear cases by depending on nonlinear part of this problem. By obtaining some sufficient conditions related to nonlinear part of the problem considered according to these three cases we give some existence results for generalized solution of this problem. Furthermore, we establish uniqueness of the generalized solution for the considered problem.

Benzer Tezler

  1. Tez No

    886875

    Lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemlerin analitik çözümleri için yöntemlerin araştırılması

    Investigation of methods for analytical solutions of nonlinear partial differential equations

    NAGEHAN ÖZDEMİR

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2024

    MatematikYıldız Teknik Üniversitesi

    Matematik Ana Bilim Dalı

    DR. ÖĞR. ÜYESİ AYTEN ÖZKAN

  2. Tez No

    574740

    Dickson ve graph-matching polinomlarinin temel matris özellikleri ve fonksiyonel i̇ntegro-diferansiyel denklemlere uygulamalari

    The fundamental matrix properties of Dickson and Graph-Matching polynomials and their applications to functional integro-differential equations

    ÖMÜR KIVANÇ KÜRKÇÜ

    Doktora

    Türkçe

    Türkçe

    2019

    MatematikManisa Celal Bayar Üniversitesi

    Matematik Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. MEHMET SEZER

    DOÇ. DR. ERSİN ASLAN

  3. Tez No

    519846

    Kesir mertebeli türev içeren bazı kısmi türevli diferansiyel denklemlerin doğuran çekirdekli hilbert uzayı metodu ile nümerik çözümlerinin incelenmesi

    Investigation of numerical solutions by reproducing kernel hilbert space method for some partial differential equations with fractional derivative

    ONUR SALDIR

    Doktora

    Türkçe

    Türkçe

    2018

    MatematikVan Yüzüncü Yıl Üniversitesi

    Matematik Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. FEVZİ ERDOĞAN

    DOÇ. DR. MEHMET GIYAS SAKAR

  4. Tez No

    606279

    Investigations of the exact and numerical solutions of some nonlinear partial differential equations

    Bazı lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemlerin tam ve sayısal çözümlerinin incelenmesi

    TUKUR ABDULKADIR SULAIMAN

    Doktora

    İngilizce

    İngilizce

    2019

    MatematikFırat Üniversitesi

    Matematik Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. HASAN BULUT

    DOÇ. DR. HACI MEHMET BAŞKONUŞ

  5. Tez No

    335715

    Yerel olmayan bazı sınır değer problemleri için green veya genelleştirilmiş green fonksiyonelinin inşası

    Construction of green or generalized green's functional for some nonlocal boundary value problems

    KEMAL ÖZEN

    Doktora

    Türkçe

    Türkçe

    2013

    Matematikİstanbul Teknik Üniversitesi

    Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    DOÇ. DR. KAMİL ORUÇOĞLU

Geri Dön