Investigation of some nonlinear fractional differential equations
Bazı doğrusal olmayan kesirsel mertebeden denklemlerin incelenmesi
- Tez No: 413554
- Danışmanlar: PROF. DR. KAMAL SOLTANOV
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2015
- Dil: İngilizce
- Üniversite: Hacettepe Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Fonksiyonlar Teorisi ve Analiz Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.
Özet
Bu tez çalışmasında kesirsel türev operatörü ya da bu operatörün genelleşmesini içeren bazı Cauchy ve Dirichlet problemlerinin çözümlerinin uygun uzaylarda varlığı ve tekliği araştırılmıştır. Bu Cauchy problemlerinden biri, \begin{equation*} \begin{array}{rcl} D^{\alpha }u(z)&=& f\left(z,u(z)\right)\\ u(0) & = & 0, \end{array} \end{equation*} şeklindedir ve burada $0<\alpha<1,$ $\Omega,$ $\mathbb{C}$'de bir bölge olmak üzere $f:\Omega\times\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}$ kompleks değerli ve genellikle lineer olmayan bir fonksiyon, $D^{\alpha},$ tek değişkenli kompleks değerli fonksiyonlar için (2.6)'daki gibi tanımlanan kesirsel türev operatörüdür. Tezin üçüncü bölümünde yer verilecek olan bu problemin, $\mathbb{U}$ birim disk olmak üzere $\mathbb{U}$'nun kapanışı içindeki uygun bir diskin üzerinde sürekli ve içinde analitik olan çözümlerinin var olabilmesi için, f fonksiyonu üzerinde şu koşul elde edilmiştir: $\mathbb{D}=\left\{z\in\mathbb{U}:-\pi<\arg z\leq+\pi\right\}$ ve $\mathbb{D}^{*}=\left\{z\in\overline{\mathbb{U}}:-\pi<\arg z\leq+\pi\right\}$ olmak üzere, $f(z,t)$ fonksiyonu, $\mathbb{D}\times \mathbb{C}$'de analitik ve $\mathbb{D^{*}}\times \mathbb{C}$'de s\"{u}rekli ve $z^{\alpha}f(z,t)$ fonksiyonu ise $\mathbb{U}\times\mathbb{C}$'de analitik ve $\overline{\mathbb{U}}\times\mathbb{C}$'de süreklidir. Sonra yukarıda verilen koşul altında bu problemin, çözümleri bu problemin çözümleriyle aynı olan aşağıdaki integral denkleme denk olduğu gösterilmiştir: $$u(z)=\frac{1}{\Gamma \left( \alpha \right) } \int_{0}^{z}\frac{f\left( \zeta,u(\zeta) \right) }{\left( z-\zeta \right)^{1-\alpha }}d\zeta. $$ Daha sonra ise bu koşula ek olarak, $g,$ $\mathbb{U}$'da analitik ve $\overline{\mathbb{U}}$'da sürekli bir fonksiyon olmak üzere, $$\left \vert z^{\alpha}f\left(z,t\right) \right \vert \leq c\left|t \right|^{n_{0}}+\left|g(z)\right|, \ \ ((z,t)\in\overline{\mathbb{U}}\times \mathbb{C}, n_{0}\geq 1,c\geq 0),$$ eşitsizliğinin de sağlaması durumunda, Schauder sabit nokta teoremi ve Schwarz lemması kullanılarak bu integral denkleminin, dolayısıyla ilgili problemin, $\overline{\mathbb{U}}$ kapalı birim diski içindeki uygun bir diskin üzerinde sürekli ve içinde analitik olan en az bir çözümünün var olduğu gösterilmiştir. Ayrıca, yukarıda verilen ilk koşul ile birlikte $f(z,t)$ fonksiyonu, $z^{\alpha}f(z,0)|_{z=0}=0$ koşulunu ve Lipschitz tip koşulu: \begin{equation*} \left \vert f\left(z,\eta \right) -f\left(z,\nu \right) \right \vert <\frac{\kappa}{\left|z\right|^{\alpha}}\left \vert \eta -\nu \right \vert \ \ (0\leq\kappa<1), \ \ \end{equation*} sağlaması durumunda, yukarıdaki integral denklemin, dolayısıyla ilgili problemin, $\mathbb{U}$ içinde analitik ve üzerinde sürekli olan çözümünün tekliği Banach sabit nokta teoremi ve Schwarz Lemması yardımıyla gösterilmiştir. Buna ek olarak, bu koşullar ile ilk koşul yerine aşağıdaki koşul altında problemin $\mathbb{U}$ içinde analitik ve sınırlı olan çözümlerinin varlığı ve tekliği gösterilmiştir: $f(z,t)$ ve $z^{\alpha}f(z,t)$ fonksiyonlar{\i}, sırasıyla $\mathbb{D}\times \mathbb{C}$'de ve $\mathbb{U}\times\mathbb{C}$'de analitiktir. Bu çalışmada, daha önce Ibrahim ve Darus [15] tarafından $\mathbb{U}$'da birebir ve analitik çözümlerinin varlığı ve tekliği araştırılan bu Cauchy probleminin, varsaydıkları aşağıdaki koşul altında kötü} konulmuş bir problem olduğu gösterilmiştir : $f(z,t),$ $\mathbb{U}\times\mathbb{C}$'de analitik ve süreklidir ve $\left\|f\right\|\leq M$ olacak şekilde $0<M<\infty$ vardır. Bunun dışında, koydukları bu koşullar altında ilgili problemin birebir ve analitik çözümlerinin olamayacağını gösteren uygun bir örnek verilmiştir. Buna ek olarak, $z^{\alpha}f(z,0)|_{z=0}=0$ koşulu koyulmaksızın da problemin yukarıda verilen integral denkleme denk olduğu iddiasının doğru olmadığı} ispatlanmıştır [Proposition 3.1.11]. Ayrıca, verdikleri varlık teoreminin ispatında [15, Theorem 4.1] yapılan hatalara yer verilmiştir [Subsection 1.2]. Bu problemde $f(z,t)$ fonksiyonunun $\mathbb{U}\times\mathbb{C}$'de analitik olması durumunda, analitik bir çözümünün var olabilmesi için yukarıda verilen Cauchy probleminin nasıl modifiye edilmesi gerektiği düşünülmüş ve $D^{\alpha }\circ z^{\alpha},$ (2.11)'de verilen modifiye kesirsel türev operatörü olmak üzere, \begin{equation*} \begin{array}{rcl} (D^{\alpha }\circ z^{\alpha})u(z)&=& f\left(z,u(z)\right)\\ u(0) & = & 0, \end{array}% \end{equation*} şeklindeki Cauchy problemi göz önüne alınmış ve incelenmiştir. Bu problem için de uygun koşullar elde edilmiş ve bu koşullar altında problemin yukarıda bahsedilen tipteki çözümlerinin var ve tek olduğu ispatlanmıştır. Çok değişkenli fonksiyonlar için tanımlı kesirsel türev operatörünün bir genelleşmesi olan ve (1.8) verilen $\mathcal{L}_{K}$ operatörünü içeren, \begin{equation*} \left \{ \begin{array}{lll} &-\mathcal{L}_{K}u+g(x,u)=h(x) \ & x\in\Omega \ \ \\ &u=0 \ & x\in\mathbb{R}^{n}\backslash \Omega, \\ \end{array} \right. \end{equation*} şeklindeki Dirichlet problemine tezin dördüncü} bölümünde yer verilmiş olup bu problemde $n>2s$ ($s\in(0,1)$) olacak şekilde bir doğal sayı, $\Omega,$ sınırı Lipschitz sınıfından olan $\mathbb{R}^{n}$'de sınırlı bir bölge, $h$ genelleşmiş bir fonksiyon, $g:\Omega\times\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ ise aşağıdaki koşulu sağlayan bir Carath\'edory fonksiyonudur: Öyle bir $\mu>0$ ve $i=0,1$ i\c{c}in $a_{i}(x)\geq 0$ olacak şekilde $a_{i}\in L_{p_{i}}(\Omega)$ fonksiyonları vardır ki \begin{equation*} \left|g(x,t)\right|\leq a_{1}(x)\left|t\right|^{\mu}+a_{0}(x), \end{equation*} eşitsizliği hemen hemen her $x\in\Omega$ ve her $t\in \mathbb{R}$ i\c{c}in sağlanır. Bu problem, yukarıdaki eşitsizlikteki $\mu$ parametresinin bulunduğu $0<\mu<1,$ $\mu=1$ ve $1<\mu$ aralıklarına göre sırasıyla lineer altı, lineer ve lineer üstü ve $0<\mu<\frac{n+2s}{n-2s},$ $\mu=\frac{n+2s}{n-2s},$ ve $\frac{n+2s}{n-2s}<\mu$ aralıklarına göre ise sırasıyla kritik altı, kritik ve kritik üstü olarak adlandırılacak olan durumlarda incelenmiştir. Bu durumlar dikkate alınarak yukarıdaki koşullarda yer alan $p_{i}$ sayıları ve ekstra koşullar elde edilip Teorem 2.6.11 ile verilen varlık teoremi ve Lemma 2.6.9 yardımıyla problemin genelleşmiş çözümünün varlığı gösterilmiştir. $\mathcal{L}_{K}$ operatörü, kesirsel Laplasyanın bir genelleşmesi oldu\u{g}undan, elde edilen bu sonuçlar hemen hemen aynı koşullar altında $\mathcal{L}_{K}$ operatörü yerine kesirsel Laplasyan içeren yukarıdaki problem için de geçerli olduğu gösterilmiştir. Bunlara ek olarak, $g$ fonksiyonunun uygun bir $k>0,$ her $x\in\Omega$ ve her $t_{1},t_{2}\in\mathbb{R}$ için $$ \left(g(x,t_{1})-g(x,t_{2}) \right)(t_{1}-t_{2})>-k\left|t_{1}-t_{2}\right|^{2},$$ eşitsizliğini sağlaması durumunda problemin genelleşmiş çözünün mevcut ise tek olduğu gösterilmiştir. Belirtmek gerekir ki, yukarıdaki problemlerde yer alan kompleks değişkenli ve çok değişkenli fonksiyonlar için tanımlanan kesirsel integral ve türev tanımlarını da içeren kesirsel kalkülüsün tarihsel gelişiminden tezin birinci bölümünde bahsedilecektir. Bunu müteakiben, özellikle göz önüne aldığımız problemlerle yakından ilişkili ve daha önce çalışılmış kesirsel türevli denklem içeren Cauchy ve Dirichlet sınır-değer problemlerine yer verilmiştir. Göz ününe aldığımız problemlerde yer alan kompleks değişkenli fonksiyonlar için yapılmış farklı kesirsel türev tanımlarının arasındaki farkları, kesirsel Laplasyan ve $\mathcal{L}_{K}$ operatörünün özelliklerini, problemlerin çözümlerinin aranacağı fonksiyon uzaylarını ve özelliklerini, bu problemlerin çözümlerinin varlığını ve tekliğini göstermek için kullanılacak olan sabit nokta ve varlık teoremlerini içeren ön bilgilere ve bilinen gerçeklere ikinci bölümde değinilmiştir.
Özet (Çeviri)
In this study, we take into consideration the initial value problems for the fractional diff erential equations in the complex plane and the Dirichlet boundary problems derived by the fractional Laplacian called as Riesz fractional derivative of functions of several variables, and its generalization. In the first chapter we dwell on the historical developments and motivations related to the problems which we deal with in chapters 3 and 4. In the second chapter, some well-known facts and primarily results related to the next two chapters are introduced to make the next chapters more understandable. In Section 3, we investigate the existence and uniqueness of the solutions of initial-value problems for two diff erent nonlinear complex fractional diff erential equations, one of which involves the fractional derivative and a second which involves a modifi cation of fractional derivative. At rst, the conditions for the nonlinear term of the fractional di fferential equations mentioned above are obtained to make the problems well-posed. In the sequel, we find the suffi cient conditions for the nonlinear terms to be able to show the local existence of the solutions in the certain spaces. Moreover, by imposing extra conditions, such as Lipschitz condition, we prove the uniqueness of the solution in the appropriate spaces. i In the last chapter, the existence and uniqueness of the generalized solution of the Dirichlet boundary problems involving fractional Laplacian and, more generally, its generalization in the appropriate space are investigated. This investigation is made in sublinear, linear and superlinear cases by depending on nonlinear part of this problem. By obtaining some su fficient conditions related to nonlinear part of the problem considered according to these three cases we give some existence results for generalized solution of this problem. Furthermore, we establish uniqueness of the generalized solution for the considered problem.
Benzer Tezler
- Kesir mertebeli türev içeren bazı kısmi türevli diferansiyel denklemlerin doğuran çekirdekli hilbert uzayı metodu ile nümerik çözümlerinin incelenmesi
Investigation of numerical solutions by reproducing kernel hilbert space method for some partial differential equations with fractional derivative
ONUR SALDIR
Doktora
Türkçe
2018
MatematikVan Yüzüncü Yıl ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. FEVZİ ERDOĞAN
DOÇ. DR. MEHMET GIYAS SAKAR
- Lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemlerin analitik çözümleri için yöntemlerin araştırılması
Investigation of methods for analytical solutions of nonlinear partial differential equations
NAGEHAN ÖZDEMİR
Yüksek Lisans
Türkçe
2024
MatematikYıldız Teknik ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DR. ÖĞR. ÜYESİ AYTEN ÖZKAN
- Bazı kesirsel mertebeden türevlerin ve integrallerin özelliklerinin incelenmesi
Investigation of properties of some derivatives and integrals of fractional order
SİNAN SERKAN BİLGİCİ
Yüksek Lisans
Türkçe
2021
MatematikÇankırı Karatekin ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DR. ÖĞR. ÜYESİ MÜFİT ŞAN
- Bazı kısmi türevli diferansiyel denklemlerin integrallenebilirliği ve tam çözümleri
The integrability of various partial differential equations and their exact solutions
NURSENA GÜNHAN AY
Doktora
Türkçe
2025
MatematikBursa Uludağ ÜniversitesiUygulamalı Matematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. EMRULLAH YAŞAR
- Dickson ve graph-matching polinomlarinin temel matris özellikleri ve fonksiyonel i̇ntegro-diferansiyel denklemlere uygulamalari
The fundamental matrix properties of Dickson and Graph-Matching polynomials and their applications to functional integro-differential equations
ÖMÜR KIVANÇ KÜRKÇÜ
Doktora
Türkçe
2019
MatematikManisa Celal Bayar ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. MEHMET SEZER
DOÇ. DR. ERSİN ASLAN