Factorization of ideals in commutative domains and some generalizations of dedekind domains

Değı̇şmelı̇ halkalarda ı̇deallerı̇n faktorı̇zasyonu ve dedekı̇nd bölgelerı̇n bazı genellemelerı̇

PDF İndir

Tez No: 415213
Yazar: AKİF VURAL
Danışmanlar: DOÇ. DR. BÜLENT SARAÇ
Tez Türü: Yüksek Lisans
Konular: Matematik, Mathematics
Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
Yıl: 2015
Dil: İngilizce
Üniversite: Hacettepe Üniversitesi
Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
Sayfa Sayısı: 116

Özet

Değişmeli halkalar teorisi cebirsel geometri ve kompleks analitik geometri gibi alanların temellerinin oluşturulmasında önemli bir yere sahip olmakla beraber, analiz topoloji, homolojik cebir ve cebirsel sayılar teorisi gibi matematiğin birçok alanı ile de çesitli bağlantılara sahiptir. Z tamsayılar halkasının sıfırdan farklı her elemanının asal sayıların (sıra gözetmeksizin) tek türlü çarpımı olarak yazılması, bu halkayı önemli bir halka sınıfı olan tek türlü çarpanlara ayırma bölgeleri içinde görmemizi sağlamaktadır. En temel değişmeli halka diyebileceğimiz Z halkasının bazı özellikleri, 1828 yılında Gauss tarafından Z[i] halkası kullanılarak bulunmuş, ve böylece ele alınan halkanın bazı özelliklerinin daha geniş halkalar içinde daha kolay elde edilebileceği görülmüştür. Ancak bu genişlemeler içindeki“tamsayı”adı verilen elemanların çarpanlarına tek türlü olarak ayrılamadığı 1844 yılında Kummer tarafından farkedilmiştir. Dedekind 1871 yılında ideal kavramını ortaya atarak eleman bazında tek türlü asal çarpanlara ayrılma özelliği bulunmayan bazı halkaların ideallerinin asal ideallerinin çarpımı şeklinde tek türlü yazılabildiğini göstermiş ve günümüzde son derece önemli kabul edilen Dedekind halkalarının temellerini oluşturmuştur. Tezin giriş kısmında, gerekli tanımlar ve bazı notasyonlardan bahsedildi. İkinci kısımda Prüfer ve Dedekind bölgeler ile ilgili karakterizasyon vermek amacıyla, değerlendirmeler ve bu değerlendirmeler tarafından tanımlanan değerlendirme halkaları incelendi. Uyumlu bir tam sıralama bağıntısıyla donatılmış tam sıralı abel grupların ve izole altgruplarının tanımlarının verilmesinin ardından, G bir değerlendirmenin değer grubu ve V bu değerlendirmenin tanımladığı değerlendirme halkası olmak üzere; G'nin izole altgrupları ile V 'nin asal idealleri arasında var olan birebir karşılık gelme gösterildi. Daha sonra integral eleman tanımı verilerek integrallik özellikleri incelendi. Kesirsel ideallerin tanım ve bazı özelliklerinin verilmesinin ardından ikinci bölümün sonunda sırasıyla sonlu üretilmiş tüm ideallerinin tersinir olmasıyla tanımlanan Prüfer bölgeler ve tüm ideallerinin asal ideallerin çarpımı olarak yazılabilmesiyle tanımlanan Dedekind bölgeler karakterize edildi ve ideallerine ait özellikler çalışıldı. Dedekind bölgelerin karakterizasyonu aşağıdaki gibidir: Theorem. R bir Noether tamlık bölgesi olmak üzere aşağıdakiler denktir: • R bir Dedekind bölgedir. • R integral kapalıdır ve sıfırdan farklı her asal ideali maksimaldir. • R'nin iki eleman ile üretilmiş sıfırdan farklı tüm idealleri tersinirdir. • A,B,C R'nin idealleri olmak üzere A ̸= 0 ve AB = AC ise B = C'dir. • Her M maksimal ideali için RM bir değerlendirme halkasıdır. • A, B, C R'nin idealleri olmak üzere, A(B ∩ C) = AB ∩ AC sağlanır. • A, B R'nin idealleri olmak üzere, (A + B)(A ∩ B) = AB sağlanır. • A ve B R'nin A ⊆ B koşulunu sağlayan idealleri ise A = BC olacak şekilde R'nin bir C ideali vardır. • A,B,C R'nin idealleri olmak üzere, 􏰁(A+B) : C􏰂 = (A : C)+(B : C) sağlanır. • A,B,C R'nin idealleri olmak üzere􏰁C:(A∩B)􏰂=(C:A)+(C:B)sağlanır. • A,B,C R'nin idealleri olmak üzere A∩(B+C)=(A∩B)+(A∩C)sağlanır. • Her P maksimal ideali için P 2 ⊂ I ⊂ P olacak şekilde I ideali yoktur. • Her P maksimal ideali için P-primary idealler P'nin bir kuvvetidir. • Her P maksimal ideali için P -primary idealler kümesi tam sıralıdır. • R'nin her üsthalkası (overring) flat üsthalkadır. • R'nin her üsthalkası integral kapalıdır. Bu bölümde verdiğimiz önemli bir sonuç ise bir Dedekind bölgenin kesirler cisminin sonlu genişlemesi içindeki integral kapanışının yine bir Dedekind bölge olduğudur. Tezin üçüncü kısmında bütün maksimal ideallerindeki yerelleştirmeleri Dedekind bölge olan hemen hemen Dedekind bölgeleri ve ideal yapısı incelendi. Bölüm sonunda Dedekind bölgeler için gördüğümüz bir teoremin hemen hemen Dedekind bölgeler için de sağlandığını söyledik: Theorem. D hemen hemen Dedekind bölge, K D'nin kesirler cismi, L K'nın sonlu cisim genişlemesi ve D′ D'nin L içindeki integral kapanışı ise, D′ hemen hemen Dedekind bölgedir. Dördüncü kısımda değişmeli halkalarda sadeleştirme kurallarından bahsedildi. R bir halka ve A,B ve C idealler olmak üzere AB = AC olması B = C olmasını AB ̸= 0 koşulu altında gerektiriyorsa, R'ye“kısıtlanmış sadeleştirme kuralını (RCL) sağlar”denir. Bahsi geçen gerektirme A ̸= 0 koşulu altında sağlanıyorsa R'ye“sadeleştirme kuralını (CL) sağlar”denir. AB = AC eşitliği, B = C eşitliğini A ̸= 0 ve A sonlu üretilmiş olduğunda gerektiriyorsa, R'ye“sonlu sadeleştirme kuralını (FCL) sağlar”denir. Bu bölümde kısıtlanmış sadeleştirme kuralını sağlayan halkaların bir karakterizasyonu verildi. Ayrıca sonlu sadeleştirme kuralını sağlayan bir tamlık bölgesinin integral kapalı olduğu sonucu verildi. Daha önceki bölümde özelliklerini incelediğimiz hemen hemen Dedekind bölgelerin bir karakterizasyonu da bu bölümde aşağıdaki gibi yer aldı: Theorem. D bir tamlık bölgesi olsun. Bu durumda D'de sadeleştirme kuralı sağlanır, ancak ve ancak D bir hemen hemen Dedekind bölgedir. Tamlık bölgelerinde ideallerin tek türlü çarpanlara ayrılması hususunda Dedekind'in sonucunun geliştirilemeyeceğine dair aşağıdaki sonuca da bu kısımda yer verildi: Theorem. S bir halka ve S , S'nin idealerinin öyle bir ailesi olsun ki, S'nin her ideali S 'nin sonlu sayıda elemanının çarpımı olarak tek türlü ifade edilsin. Eğer S bir tamlık bölgesi ise, bu durumda S bir Dedekind bölge ve S, S'nin asal ideallerinin kümesidir. Yine bu kısımda tüm idealleri radikal ideallerin bir çarpımı olarak yazılabilen SP- bölgeler tanımlandı ve hemen hemen Dedekind bölgeler sınıfında karakterize edildi. Ve son olarak SP-bölgelerin hemen hemen Dedekind olduğuna dair Vaughan ve Yeagy'nin sonucuna yer verildi. Theorem. R bir hemen hemen Dedekind bölge olmak üzere aşağıdakiler denktir: • R bir SP-bölgedir. • R'nin sıfırdan farklı her I öz ideali J1 ⊆ ... ⊆ Jn koşulunu sağlayan Ji,i =1, . . . , n radikal idealleri için I = J1 . . . Jn olarak tek türlü ifade edilebilir. Theorem (Vaughan and Yeagy). Her SP-bölge bir hemen hemen Dedekind bölgedir. Beşinci kısımda, vereceğimiz bir hemen hemen Dedekind bölge örneği için gerekli altyapıyı sağlamak amacıyla kısmen sıralı abel gruplar ile latis sıralı abel gruplar incelendi. G latis sıralı abel grup, S G'nin bir altkümesi olmak üzere, • S ⊂ G+, • S filtredir, yani x∈S, y∈G ve y>x ise y∈S sağlanır, • x,y ∈ S ise inf{x,y} ∈ S özelliklerini sağlarsa, S'ye G'nin bir segmenti denir. x, y ∈ G+ \ S durumunda x + y ∈ G+ \ S oluyor ise, S'ye bir asal segment denir. G latis sıralı abel grup olsun. S G+'nın G+\S filtre olacak şekildeki bir alt yarıgrubu olsun. HS = {g1 − g2|g1, g2 ∈ S} şeklinde tanımlansın. P G'nin bir asal segmenti ve S = G+ \ P olduğu durumda G/Hs bölüm grubu GP ile gösterilir ve G'nin P asal segmentindeki yerelleştirmesi olarak adlandırılır. Bütün sonlu üretilmiş idealleri temel ideal olan tamlık bölgelerine Bezout bölge denir. Bu kısımda Bezout bölgeler ile latis sıralı abel gruplar arasındaki ilişkiye yer verildi. Öncelikli olarak bir Bezout bölgenin bölünebilirlik grubunun latis sıralı abel grup olduğunu söyledik. Daha sonra R bir Bezout bölge ve G R'nin bölünebilirlik grubu ise, R'nin öz idealleri ile G'nin segmentleri arasnda sıralamayı, asallık ve maksimallik ilişkilerini koruyan birebir karşılık gelmenin varlığı gösterildi. Kısım sonunda aşağıdaki teoreme yer verildi: Theorem (Krull-Kaplansky-Jaffard-Ohm). G latis sıralı bir abel grup ise, bölünebilirlik grubu G'ye latis izomorf olan bir Bezout bölge vardır. Son kısımda ise tez boyunca altyapısını oluşturduğumuz iki hemen hemen Dedekind bölge örneğine yer vererek tezi tamamladık.

Özet (Çeviri)

This thesis consists of six chapters. In the first chapter we give some conventions as well as some basic definitions and facts. In the second chapter we investigate Prüfer and Dedekind domains. In order to give a well-known characterization of Prüfer domains in terms of their localizations at prime ideals, as a preparation, we start chapter 2 with the concept of valuations and rings defined by valuations (called valuation rings). Besides the characterization of Prüfer domains using localizations we give many other equivalent conditions for a domain to be a Prüfer domain. Then we define Dedekind domains as Noetherian Prüfer domains and give a number of characterizations of them in a similar way as we do for Prüfer domains. Thus one can compare the properties determining Prüfer domains and Dedekind domains and see which properties of Dedekind domains can be transferred if the domain lacks of Noetherian condition. In the end of the second chapter, we prove that integral closures of a Dedekind domain R in any finite extension of the field of fractions is again a Dedekind domain. This result will be given analogously for almost Dedekind domains. In the third chapter we give definition and important properties of almost Dedekind domains. Since almost Dedekind domains are defined as generalizations of Dedekind domains, we seek properties of Dedekind domains that remains valid for almost Dedekind domains. In the next chapter we continue the study of almost Dedekind domains and give an investigation of this class of rings with the perspective of multiplication cancellation of ideals. Also we consider the factorization of ideals into radical ideals (instead of prime ideals as we consider in the case of Dedekind domains) and give a number of equivalent conditions for an almost Dedekind domain to have the radical factorization property. In fact, we deduce that the class of rings in which the radical factorization is possible lies in the class of almost Dedekind domains. In Chapter 5, we study partially ordered abelian groups and rings which can be produced from ordered abelian groups. Moreover, we study some correspondences between a certain kind of subsets (called segments) of a lattice ordered abelian group and the ideals of the ring induced by the group. We see that such correspondences can give us ideas to construct some rings with specified properties. Among these rings, Bezout domains are of particular importance in our study of almost Dedekind domains. Thus we give a method for constructing a Bezout domain from a lattice ordered abelian group. In the last chapter, we use this method for a special lattice ordered abelian group to give the first example of an almost Dedekind domain. In this chapter we give one more example of an almost Dedekind domain with a different character.

Benzer Tezler

Tez No
79209
Değişmeli halkalarda tek türlü çarpanlara ayrılabilme
Unique factorization in commutative rings
ALİ ŞAHİN
Yüksek Lisans
Türkçe
1998
Matematik Yıldız Teknik Üniversitesi
Matematik Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. A. GÖKSEL AĞARGÜN
Tez No
537837
Local cohomology and radically perfect ideals
Yerel kohomoloji ve radikal olarak mükemmel idealler
TUĞBA YILDIRIM
Doktora
İngilizce
2018
Matematik İstanbul Teknik Üniversitesi
Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. VAHAP ERDOĞDU
Tez No
85051
L-bulanık öklid idealleri
L-fuzzy euclidean ideals
AYTEN KOÇ
Doktora
Türkçe
1999
Matematik Yıldız Teknik Üniversitesi
Matematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. EROL BALKANAY
Tez No
93755
Değişmeli halkalarda tek türlü çarpanlara ayrılma
Unique factorization in commutative rings
SEZGİN CIRIT
Yüksek Lisans
Türkçe
2000
Matematik Yıldız Teknik Üniversitesi
Matematik Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. A. GÖKSEL AĞARGÜN
Tez No
57471
Değişmeli halkalarda tek türlü çarpanlara ayrılabilme
Başlık çevirisi yok
İSMAİL CAN
Yüksek Lisans
Türkçe
1996
Matematik Yıldız Teknik Üniversitesi
Matematik Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. A. GÖKSEL AĞARGÜN

Geri Dön