Geri Dön

Local cohomology and radically perfect ideals

Yerel kohomoloji ve radikal olarak mükemmel idealler

PDF İndir

  1. Tez No: 537837
  2. Yazar: TUĞBA YILDIRIM
  3. Danışmanlar: PROF. DR. VAHAP ERDOĞDU
  4. Tez Türü: Doktora
  5. Konular: Matematik, Mathematics
  6. Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
  7. Yıl: 2018
  8. Dil: İngilizce
  9. Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
  10. Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
  11. Ana Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
  12. Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Bilim Dalı
  13. Sayfa Sayısı: 72

Özet

Yerel kohomoloji teorisi ilk olarak 1961 yılında Alexander Grothendieck tarafından tanımlanmış olup tanımlandığı zamandan bu yana cebirsel geometri, cebirsel topoloji ve değişmeli cebir alanlarında çalışan pek çok araştırmacının ilgisini çekmiş, bu alanlardaki bir çok problemin çözümünde kullanılmıştır. Ayrıca, bu teori günümüzde hala tam olarak doğrulanamayan önemli homolojik sanılarla alakalı çalışmalara da uygulanmıştır. Yerel kohomoloji modüllerinin Grothendieck tarafından verilen orjinal tanımı cebirsel geometrideki kavramlar kullanılarak ifade edilmiş olsa da bazı özel varsayımlar altında bu tanım değişmeli cebir kavramlarıyla aşağıdaki şekilde ifade edilebilir: R bir halka, I da R'nin bir ideali olsun. R üzerindeki herhangi bir M modülü için \Gamma_I(M)={x\in M: I^nx=0: n∈N}, I-torsiyon fonktörü tanımlanabilir. Bu şekilde tanımlanan \Gamma_I(−) toplamsal, kovaryant, sol tam fonktördür ve dolayısıyla bu fonktörün sağ türetilmiş fonktörleri mevcuttur. Bu sağ türetilmiş fonktörlere M nin I idealine göre yerel kohomoloji modülleri denir ve H^{i}_{I}(M) = \mathcal{R}^i\Gamma_I(M) ile gösterilir. Yerel kohomoloji modülleri ile değişmeli cebirdeki birçok önemli kavramın (aritmetik rank, yükseklik vb.) hesaplanmasında kullanılan bazı yeni değişmezler tanımlanmıştır. Bu değişmezlerin en önemlilerinden biri de kohomolojik boyuttur. Herhangi bir M modülünün I idealine göre kohomolojik boyutu, cd(I,M), aşağıdaki şekilde tanımlanabilir: $cd(I,M):= sup { i \in\mathbb{N} | {H}^i_I(M)\neq 0 }$ Özel olarak M = R olması durumunda I idealinin yüksekliğinin, ht(I), kohomolojik boyut için bir alt sınır, aritmetik rankının, ara(I), ise bir üst sınır olduğu bilinmektedir. Bir idealin kümesel tam arakesit ideali olması da ancak cd(I,R) = ht(I) = ara(I) eşitliğinin sağlanması ile mümkün olduğundan kümesel tam arakesit ideal kavramı ile kohomolojik boyut dolayısıyla yerel kohomoloji kavramları arasında çok yakın bir ilişki olduğu söylenebilir. Bir idealin kümesel tam arakesit ideali olup olmadığının belirlenmesi değişmeli cebirin ve cebirsel geometrinin temel araştırma konularından biridir. Bu alanda önemli pek çok sonuç elde edilmiş olmasına rağmen, klasik problemlerden biri olan“Karakteristiği sıfır olan bir K cismi üzerindeki K[X,Y,Z] polinom halkasının, yüksekliği iki olan tüm asal idealleri kümesel tam arakesit midir?”sorusuna halen tam olarak bir cevap verilebilmiş değildir. K cisminin karakteristiğinin pozitif olduğu durumda, bu sorunun cevabının olumlu olduğu, 1978 yılında Cowsik ve Nori tarafından ispatlanmıştır. Ancak 1994 yılında Erdoğdu ve McAdam tarafından yapılan ortak çalışmada karakteristiğin pozitif olduğu durumun, karakteristiğin sıfır olduğu durumdan farklı davrandığı gösterilmiştir. Söz konusu çalışmada elde edilen sonuçlara paralel olarak Erdoğdu, ele alınan sanının karakteristiğin sıfır olduğu durumda doğru olmayacağı tezini savunmuş ve sonraki çalışmalarında bu tezi desteleyen çok sayıda önemli sonuç elde etmiştir. Hatta kümesel tam arakesit olma tanımını Noether olmayan halkalara da genişleterek“radikal olarak mükemmel ideal”tanımını literatüre kazandırmış ve böylelikle konuyu daha geniş bir perspektifle ele alabilmiştir. Yaptığı çalışmalar sırasında elde ettiği gözlemler neticesinde de“ R (Noether olmak zorunda olmayan) karakteristiği sıfır olan bir cisim içeren bir tamlık bölgesi ve R[X ] de R üzerinde her asal ideali radikal olarak mükemmel olan bir polinom halkası ise R'nin boyutu bir midir?”sorusunu gündeme getirmiştir. Birçok durumda bu sorunun cevabının olumlu olduğu gösterilmiş olsa da, henüz tüm durumları kapsayan genel bir çözüm bulunabilmiş değildir. Erdoğdu'nun sorusuna öngörüldüğü gibi olumlu cevap verilebildiği taktirde pek çok araştırmacının yüzyıllardır üzerinde çalıştığı sanının çok daha genel halinin karakteristiğin sıfır olması durumunda olumsuz cevaba sahip olduğu gösterilecek olup bu durumda yapılacak çalışma literatüre geçecek boyutta olacaktır. Fakat var olan metotlar böyle bir sonuca ulaşmada yetersiz kalmaktadır. Bundan dolayıdır ki, bilindiği üzere, şimdiye kadar bu tip alanlarda çalışan araştırmacılar disiplinler arası ilişkilerden yararlanarak yeni metotlar geliştirmiş ve bir takım önemli sonuçlara ancak bu şekilde ulaşabilmişlerdir. Kümesel tam arakesit idealleri dolayısıyla radikal olarak mükemmel idealler ile ilişkili teorilerden biri de, yukarıda da değinildiği üzere, yerel kohomoloji teorisidir. Hellus, bu alanlar arasındaki ilişkiden yararlanarak Noetheryen yerel halkalar üzerinde bir idealin kümesel tam arakesit ideali olabilmesi için gerekli ve yeterli bir koşul vermiştir. Aynı zamanda bu koşul, kümesel tam arakesit idealleri ile yerel kohomoloji modüllerinin Matlis duallerinin ilgili asal idealleri arasında da kuvvetli bir ilişki olduğunu ortaya koymuştur. Dolayısıyla da bu sonuçtan aldığı motivasyonla Hellus, yerel kohomoloji modüllerinin Matlis duallerinin ilgili asal idealleri üzerinde de çalışmalar yapmış ve pek çok önemli sonuç elde edebilmiştir. Ancak uzun yıllardır birçok araştırmacı yerel kohomoloji modüllerinin yapıları üzerine çalıştığı halde yine de bu yapılar halen tam olarak çözülebilmiş değildir. Dolayısıyla bu modüllerin Artin modüller olup olmadığı, ne zaman sıfırlandığı (diğer bir ifadeyle, kohomolojik boyut için aşikar olmayan alt-üst sınırlar belirlenip belirlenemediği), bu modüller üzerindeki sonluluk özelliklerinin belirlenmesi (örneğin; ilgili asal idealler kümesinin veya desteğinin(support) sonlu elemana sahip olup olmadığı; Bass sayıları, injektif boyut gibi değişmezlerin sonlu sayı olup olmadığı vb. belirlenmesi) yerel kohomoloji teorisinin günümüzde halen aktif olarak çalışılan konulardandır. Yerel kohomoloji modüllerinin yapısının bu denli karmaşık ve anlaşılamaz olmasının en önemli nedenlerinden biri, bu modüllerin çoğu durumda R üzerinde sonlu eleman tarafından üretilememesi yani R- modül olarak Noetheryen olmamasıdır. Bu durum göz önünde bulundurularak, yerel kohomoloji modüllerinin yapısını daha iyi kavramada geliştirilen stratejilerden biri de bu modüllerin“daha küçük”olduğu yani sonlu eleman tarafından üretilebildiği yapılar inşa etmektir. Bu bağlamda Lyubeznik, 1993 yılında yaptığı bir çalışmasında D- Modül teorisini yerel kohomolojiye uygulayarak hem bu teoriyi değişmeli cebire uygulayan ilk kişi olmuş, hem de yerel kohomoloji modüllerinin sonluluk özellikleri ile alakalı pek çok önemli sonuç elde etmiştir. Daha sonra 1997 yılında da F-modül tanımını literatüre kazandırarak karakteristiğin pozitif olduğu durumda da benzer sonuçları elde edebilmiştir. Yerel kohomoloji modülleri D ve F-modül yapılarına sahip olduğundan, ve bu yapılar üzerinde sonlu eleman tarafından üretilebildiğinden, sonuçları elde etmek nispeten daha kolay olmaktadır. Bu çalışmanın temel amacı, yerel kohomoloji teorisini kullanarak radikal olarak mükemmel idealler ile ilgili sonuçlar elde etmektir. Bu bağlamda ilk olarak Hellus'un çalışmalarından elde ettiği sonuçlardan alınan motivasyonla, Lyubeznik ve Yıldırım tarafından“Noetheryen regüler yerel halkalar üzerinde sıfırdan farklı herhangi bir ideal için tüm yerel kohomoloji modüllerinin, H^{i}_{I}(R)> 0, Matlis duallerinin ilgili asal idealler kümesinde sıfır ideali daima bulunmakta mıdır, yani daima 0\in Ass(D(H^{i}_{I}(R))) olmak zorunda mıdır?”sorusu ortaya atılmış ve bu sorunun halkanın karakteristiğinin pozitif olması durumunda olumlu cevaba sahip olduğu ispatlanmıştır. Bu sonucun ispatında F-modül teorisindeki tekniklerden yararlanılmıştır. Daha sonra kohomolojik boyut kavramı ele alınmış ve kohomolojik boyut için aşikar olmayan alt-üst sınırlar belirlenmiştir. Ayrıca elde edilen sonuçlar kullanılarak, eğri (catenary) olmayan Noether tamlık bölgelerinde kümesel tam arakesit olmayan en az bir asal idealin varlığı gösterilmiştir. Eğri olmayan Noether tamlık bölgelerinin Krull boyutunun en az üç olması gerektiği gerçeği R[X] de her idealin radikal olarak mükemmel olması için R nin boyutunun en fazla bir olması gerektiğini perçinleyen bir sonuçtur. Tüm bunların yanısıra“Verilen bir halka üzerinde radikal olarak mükemmel asal idealler zinciri bulunabilir mi?”sorusundan hareketle cd(I,M) = c > 0 koşulunu sağlayan herhangi bir I ideali ve herhangi bir M modülü için cd(I_i,M) = i, 0\leq i \leq c, olacak şekilde bir $I=I_c\supsetneq I_{c-1}\supsetneq \cdots \supsetneq I_0$ azalan idealler zincirinin var olduğu kanıtlanmıştır. Son bölümde ise bir önceki bölümlerde elde edilen sonuçların da yardımıyla yerel kohomoloji modüllerinin yapısal özellikleri ile ilgili sonuçlar elde edilmiştir. Bu bağlamda ilk olarak boyutu en fazla üç olan asal ideallere ayrılış bölgelerinde üst yerel kohomoloji modüllerinin $H^{cd(I,R)}_I(R)$ Artinyen olabilmesi için gerek ve yeter koşul verilmiştir. Ardından daha yüksek boyutlarda bu modüllerin Artinyenliği incelenmiştir. Son olarak da sonlu uzunluktaki modüller ele alınmış; yerel kohomoloji modüllerinin ne zaman sonlu uzunlukta olabileceği ile ilgili sonuçlar elde edilmiştir ve aynı zamanda“Grothendieck'in Sıfırlanmama Teoremi”olarak da bilinen sonuca alternatif bir ispat verilmiştir. Bu çalışmada tüm halkalar değişmeli ve birim elemana sahip halkalar olup, boyut ile de her zaman Krull boyutu kastedilmektedir.

Özet (Çeviri)

Local cohomology theory was first introduced by Alexander Grothendieck in 1961 and since then it has been used as a powerful tool to solve many problems in both algebraic geometry and commutative algebra. Basically, local cohomology functors are defined as the right derived functors of a certain torsion functor: For any module M over a commutative ring R, set \Gamma_I(M)= {x\in M :there exists an n\in \mathbb{N} such that I^nx=0 }. The i^{th} local cohomology of M with respect to the ideal I is the i^{th} cohomology module of the sequence obtained by applying the left exact functor \Gamma_I(-), which is defined above, to an injective resolution of M and this module is denoted by H^{i}_{I}(M). Local cohomology theory has been applied to the study of several conjectures in commutative algebra one of which is related to radically perfect ideals. An ideal I of a commutative (not necessarily Noetherian) ring R is said to be radically perfect if the minimal number of elements of R which generates I up to radical is finite and equals to the height of I. Clearly, when R is Noetherian, the terms radically perfect and set theoretic complete intersection coincide. One of the classical and long-standing problem in commutative algebra and algebraic geometry is to determine whether each height two prime ideal of the polynomial ring K[X,Y,Z] over the field K is set theoretic complete intersection (radically perfect). Although it is shown by Cowsik and Nori that this conjecture has an affirmative answer when K is of characteristic p>0, it still remains as an open problem in the characteristic zero case. But, based on the observations from his several results, Erdo\u{g}du has a foresight that this problem would fail to be true when K is of characteristic zero. Furthermore he raised another conjecture that“If R is a commutative domain (not necessarily Noetherian) containing a field of characteristic zero, then each prime ideal of R[X] is radically perfect implies R is of Krull dimension one.”which was proved to be so in many cases but the exact answer of this conjecture is also not known in general. The main purpose of this thesis is to understand certain structures of local cohomology modules and determining their relationship with set theoretic complete intersection ( radically perfect ) ideals and our motivation is suggested by the well-known fact that if I is an ideal of a Noetherian ring R of height n, and if there exists some R-module M such that H^i_I(M)\neq 0 for i>n, then I is not a set theoretic complete intersection. Moreover, Hellus showed the relation between set theoretic complete intersection ideals and Matlis duals of local cohomology modules by proving the fact that if {H}^i_I(R)=0 for all i\neq c and \textbf{\em x}= \{x_1,x_2,...,x_c\} is a regular sequence in I, then I= \sqrt{x_1,x_2,...,x_c} if and only if x_i form a {D}({H}^c_I(R))-regular sequence. In this thesis, motivated by Hellus' result, we first deal with the set of associated prime ideals of Matlis duals of local cohomology modules and show that over a Noetherian regular local ring of characteristic p>0, for any non-zero ideal I of R and for i>0, zero ideal is in the set of associated prime ideals of Matlis dual of any non-zero local cohomology module H^i_I(R). We then determine conditions under which a given positive integer t is a lower bound for the cohomological dimension$cd(I,M):= sup { i \in\mathbb{N} | {H}^i_I(M)\neq 0 }$ of any module M with respect to an ideal I of a Noetherian ring R, and use this to conclude that non-catenary Noetherian integral domains contain prime ideals that are not radically perfect (i.e. set theoretic complete intersection). Bearing in mind that non-catenary rings are of Krull dimension >2, this result is in partial support with Erdo\u{g}du's conjecture. Furthermore if I is any ideal of R and M is any R- module with \operatorname{cd}(I,M)=c>0, we show the existence of a descending chain of ideals $I=I_c\supsetneq I_{c-1}\supsetneq \cdots \supsetneq I_0$ of R such that for each 0\leq i\leq c, cd(I_i,M)=i. In the last chapter of this thesis, we examine the structures of local cohomology modules and show that over a Noetherian unique factorization domain of dimension at most three, top local cohomology module $H^{cd(I,R)}_I(R)$ is Artinian only in the trivial case when \operatorname{cd}(I,R)=\dim R. We then obtain several results on the Artinianness of top local cohomology modules in more general cases. Finally, our study is concerned around the modules of finite length and, in this regard, we first present necessary and sufficient conditions for various modules to be of finite length. We then use our results to give an alternative proof of the well-known result that if R is a Noetherian local ring with maximal ideal \mathfrak{m} and M is a finitely generated R- module of dimension d, then $\operatorname{H}^{d}_{\mathfrak m}(M)$ is finitely generated if and only if d=0. Throughout, R will always denote a commutative ring with identity, the dimension of a ring R will always mean its Krull dimension.

Benzer Tezler

  1. Tez No

    355381

    Generalized local cohomology modules

    Genelleştirilmiş yerel kohomoloji modüller

    CİHAT ABDİOĞLU

    Doktora

    İngilizce

    İngilizce

    2014

    MatematikGebze Yüksek Teknoloji Enstitüsü

    Matematik Ana Bilim Dalı

    DOÇ. DR. MUHAMMET TAMER KOŞAN

  2. Tez No

    351957

    On weakly laskerian and weakly cofinite modules

    Zayıf laskerian ve zayıf eşsonlu modüller

    SERAP ŞAHİNKAYA

    Doktora

    İngilizce

    İngilizce

    2014

    MatematikGebze Yüksek Teknoloji Enstitüsü

    Matematik Ana Bilim Dalı

    DOÇ. DR. MUHAMMET TAMER KOŞAN

  3. Tez No

    367635

    Basics of symplectic manifolds

    Simplektik çokkatlıların temelleri

    KARATUĞ OZAN BİRCAN

    Yüksek Lisans

    İngilizce

    İngilizce

    2014

    MatematikKoç Üniversitesi

    Matematik Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. BURAK ÖZBAĞCI

  4. Tez No

    184039

    Pseudosimplisel cebir

    Pseudosimplicial algebra

    SEDAT PAK

    Doktora

    Türkçe

    Türkçe

    2006

    MatematikEskişehir Osmangazi Üniversitesi

    Matematik Ana Bilim Dalı

    Y.DOÇ. İBRAHİM İLKER AKÇA

  5. Tez No

    150374

    Divided power algebras and Schubert calculus in the integral cohomology ring of the infinite flag manifolds LG/T and ΩG for affine group A2

    Bölünmüş kuvvet cebirleri ve sonsuz flag manifoldlar LG/T ve ΩG'nin A2 grubu için tam sayı kohomoloji halkasında Shubert kalkulus

    MERYEM GÜLEÇ

    Yüksek Lisans

    İngilizce

    İngilizce

    2004

    MatematikAbant İzzet Baysal Üniversitesi

    Matematik Ana Bilim Dalı

    Y.DOÇ.DR. CENAP ÖZEL

Geri Dön