Lattice solitons in cubic-quintic media
Kübik-kuintik ortamlarda kafes solitonları
- Tez No: 467261
- Danışmanlar: DOÇ. DR. İLKAY BAKIRTAŞ AKAR, PROF. DR. NALAN ANTAR
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2017
- Dil: İngilizce
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: 123
Özet
Solitonlar; doğrusal olmayan dalga yayılımı, biyolojik sistemler ve doğrusal olmayan optik gibi matematiğin uygulama bulduğu alanlarda ortaya konulan modellerin çözümlerinde elde edilen kararlı yapılar olarak karşımıza çıkarlar. Bulundukları sistemdeki doğrusalsızlığın (nonlineerliğin) ve ayrılmanın (dispersiyonun) dengelenmesiyle oluşan bu dalgalar - solitonlar - ilerlerken kendi yapılarını korurlar ve birbirleriyle olan etkileşimleri elastiktir. Schrödinger denklemi, dalga-parçacık ikiliği gibi kuantum etkilerinin geçerli olduğu, atom ve atom altı parçacıklardan oluşan kuantum sistemlerdeki fiziksel sistemin zamana bağlı değişimini tarif eden bir matematiksel denklemdir. İsmini denklemi ortaya koymuş olan ve bu alandaki çalışmalarından ötürü Nobel Fizik Ödülü'ne layık görülen Erwin Schrödinger'den alan bu diferansiyel denklem, klasik mekanikteki Newton'un İkinci Yasası'nın kuantum mekaniğindeki karşılığı olarak düşünülebilir. Doğrusal olmayan Schrödinger (NLS) denklemi ise, Schrödinger denkleminin teorik fizikteki doğrusal olmayan çeşididir ve optik kablolarda veya dalga kılavuzlarında ışığın yayılması gibi doğrusal olmayan, ayırgan (dispersif) ortamlarda yavaşça değişim gösteren tek renkli (monokromatik) dalgaların ilerlemesini betimleyen evrensel bir denklemdir. Hem üçüncü dereceden (kübik) hem de beşinci dereceden (kuintik) doğrusal olmayan terim içeren Schrödinger (CQNLS) denklemi, birçok fiziksel durumu betimler ve özellikle de optikte karşımıza çıkar. Doğrusal olmayan optikte CQNLS denklemi, elektromanyetik dalganın ışık kıran (fotorefraktif) maddelerde yayılımını betimler. Kübik-kuintik doğrusalsızlığın nedeni madde içindeki öz rezonanstır. İki boyutlu kübik NLS denkleminin soliton tipi çözümlerinin patladığı yani çözümün genliğinin, sonlu zamanda ya da mesafede sınırsızca büyümeye başladığı bilinmektedir. Fiziksel problemlerin çözümünde en temel sorunlardan biri çözümlerin kararlılığıdır. Optik problemlerinde bu, veri iletiminin uzun mesafelere sağlıklı olarak yapılabilmesi bağlamında önem taşır. Son on yılda literatürde, iki boyutlu NLS denkleminin çözümlerinin patlamasını engelleyecek yöntemler tartışılmaktadır. Gösterilmiştir ki, NLS denklemine eklenen bir potansiyel terimi, ki bu fiziksel ortamda düzeneğe eklenecek olan bir kafes (latis) ile karşılamaktadır, belli parametreler rejiminde dalga tipi çözümün kararlı hale gelmesini mümkün kılmaktadır. Bunun yanı sıra, sisteme eklenen potansiyel, dalganın biçiminde, genliğinde ve iletim süresinde değişiklikler yapabilmektedir. Dolayısıyla, fiziksel sistem düzeneğinde çeşitli yollarla oluşturulabilen kafeslerin optik problemlerinin çözümünde ve çözümlerin kararlılığı ve yapısının ayarlanması bağlamında önemli uygulama alanları vardır. Her ne kadar tek boyutlu NLS denkleminin çözümleri kararlı olsa da tek boyutlu çözümlerin yapısı ve özellikleri de iki boyutta olduğu gibi, sisteme eklenecek olan kafesler ile ayarlanabilir. Bu kafesler laboratuvar ortamında lazer ışınlarının birbiriyle etkileştirilmesi veya düzeneğe eklenecek olan kristal ya da yarı kristaller ile oluşturulmaktadır. Bu tezde, kübik-kuintik doğrusalsızlık barındıran ortamlarda temel kafes solitonların varlığı ve özellikleri incelenmiştir. Bu amaçla ele alınan fiziksel model, aşağıdaki CQNLS denklemidir: i u_z + Delta u + alpha |u|^2 u + beta |u|^4 u + V u = 0 . Burada u karmaşık değerli fonksiyonu, x (veya xy) düzleminde olup z ekseni boyunca yayılan alanın yavaşça değişen genliğine, Delta u kırınıma, V ise dış potansiyele (yani kafese) karşılık gelmektedir. alpha ve beta sırasıyla kübik ve kuintik doğrusalsızlık katsayılarıdır ve bunların pozitif olması odaklanmaya, negatif olması ise odaktan sapmaya karşılık gelmektedir. Tezde ilk olarak, gerekli fiziksel altyapı oluşturulup Maxwell denklemlerinden yola çıkılarak kullanılacak esas denklem olan CQNLS denklemi türetilmiştir. Ardından temelini kuantum mekaniğinden alan parite-zaman (PT) simetrisi kavramı açıklanmıştır. Kuantum mekaniğinde bir sistemin toplam enerjisi Hamiltonyen operatörüyle ifade edilebilir. Hermisyen olmadıkları halde, PT simetrisine sahip bazı Hamiltonyenlerin de tüm özdeğerlerinin gerçel olabildiği gösterilmiştir. Bu açıdan, PT simetrisi son zamanlardaki araştırmalarda sıkça yer almaktadır. Tezde, N=4'e karşı gelen V_N(x,y)= ... 2 boyutlu periyodik potansiyel, V_PT(x)= ... ile tanımlanan PT simetrisine sahip 1 boyutlu potansiyel ve V_PT(x,y)= ... ile tanımlanan PT simetrisine sahip 2 boyutlu potansiyel ele alınmıştır. Burada V_i (i=0,1,2) ve W_0 katsayıları potansiyellerin sırasıyla gerçel ve karmaşık kısımlarının derinliklerini temsil etmektedir. Son potansiyelin özel (kasıtlı) olarak bu şekilde seçilmesiyle; tek başına integre edilebilir olmayan (2+1) boyutlu CQNLS denkleminin, bu potansiyel altında analitik çözümleri elde edilebilmiştir. Ayrıca yapılan çalışmada, doğada kristallerin yukarıdaki matematik modellemenin aksine tam simetrik olmadıklarından, yani atomik boyutta da olsa bazı kusurlar içerebileceklerinden, kafes yapısındaki bu kusurları modelleyen bir yapı da kullanılmıştır. Analitik çözüm elde edilemeyen durumlarda, tez kapsamında geliştirilmiş olan 'Spektral Yeniden Normalleştirme' ve 'Sözde Spektral Yeniden Normalleştirme' yöntemleri kullanılarak sayısal çözümler aranmıştır. Temelde bir Fourier yinelemesi olan bu yöntemlerde, çözümler u = f e^(i mu z) dönüşümü sonrası Fourier uzayında gerçekleştirilen bir özyinelemenin yakınsamasıyla elde edilmektedir. Tezde sırasıyla potansiyelsiz (1+1) boyutlu CQNLS denkleminin mu > 0 yayılma sabiti olmak üzere u(x,z)= ... yapısındaki, PT simetrisine sahip potansiyelli (1+1) boyutlu CQNLS denkleminin u(x,z)= ... yapısındaki ve PT simetrisine sahip potansiyelli (2+1) boyutlu CQNLS denkleminin u(x,y,z)= ... yapısındaki analitik çözümleri elde edilmiştir. Öte yandan potansiyelsiz (1+1) boyutlu CQNLS denkleminin, PT simetrisine sahip potansiyelli (1+1) boyutlu CQNLS denkleminin, potansiyelsiz (2+1) boyutlu CQNLS denkleminin, periyodik potansiyelli (2+1) boyutlu CQNLS denkleminin, PT simetrisine sahip potansiyelli (2+1) boyutlu CQNLS denkleminin, PT simetrisine sahip ancak kusur içeren potansiyelli (2+1) boyutlu CQNLS denkleminin ve son olarak da PT simetrisine sahip ancak kusur içeren potansiyelli (2+1) boyutlu kübik doyurulabilir NLS denkleminin çözümleri yukarıda bahsedilen sayısal yöntemlerle elde edilmiştir. Elde edilen sayısal çözümlerle analitik çözümlerin uyum sağladığı görülmüştür. Sonrasında, elde edilen solitonların kararlılıkları incelenmiştir. Doğrusal kararlılık için, probleme karşılık gelen doğrusallaştırılmış operatörün özdeğerlerinin incelendiği doğrusal spektrum analizi ve küçük bir sarsım (pertürbasyon) ile birlikte çözümün doğrusallaştırılıp ilerletilmesinin incelendiği doğrusal evrim analizi yapılmıştır. Doğrusal olmayan kararlılık için ise küçük bir sarsım ile birlikte çözümün ilerletilmesinin incelendiği doğrusal olmayan evrim analizi yapılmıştır. Her iki evrim analizi için de parçalı-adımlı (split-step) Fourier yöntemi geliştirilip kullanılmıştır. Bazı durumlarda ise elde edilen solitonların güçleri (enerjileri) hesaplanıp bunların değişiminden yola çıkılarak kararlılık hakkında yorumlar yapılmıştır.
Özet (Çeviri)
Solitons are localized nonlinear waves and occur in many branches of physics. Their properties have provided fundamental understanding of complex nonlinear systems. There has been considerable interest in studying solitons in lattices that can be generated in nonlinear optical materials. In nonlinear optics, the propagation of electromagnetic waves in photorefractive materials with intrinsic nonlinear resonance can be modelled by the nonlinear Schrödinger (NLS) equation containing both cubic and quintic terms. Recently, particular attention is drawn to nonlinear waves in parity-time (PT) symmetric potentials. In this thesis, the existence and stability properties of optical solitons on periodic and certain PT-symmetric lattices are investigated. The governing equation for the physical model is the cubic-quintic nonlinear Schrödinger (CQNLS) equation with an external potential: i u_z + Delta u + alpha |u|^2 u + beta |u|^4 u + V u = 0 . Here, u corresponds to the complex-valued, slowly varying amplitude of the electric field in the x (or xy) plane propagating in the z-direction, Delta u corresponds to diffraction, V is an external optical potential (i.e. lattice), alpha and beta are coefficients of the cubic and quintic nonlinearities, respectively. First, solutions to the CQNLS equation with two dimensional periodic potential V_N for N=4 V_N(x,y)= ... , one dimensional PT-symmetric potential V_PT(x)= ... and two dimensional PT-symmetric potential V_PT(x,y)= ... are obtained analytically whenever possible. Then, numerical solutions are calculated by means of the 'Spectral Renormalization Method' or 'Pseudo-Spectral Renormalization Method'. It is observed that the numerical solutions are in good agreement with the analytical solutions. Next, the stability properties of the obtained solitons are investigated. Linear stability analysis is conducted by linear spectrum analysis and linear evolution, whereas nonlinear stability analysis is conducted by nonlinear evolution. A split-step Fourier method is used for both evolutions.
Benzer Tezler
- Exact soliton solutions of cubic nonlineaar schrödinger equation with third order dispersion
Üçüncü mertebeden dispersiyon içeren kübik nonlineer schrödinger denkleminin soliton tipi çözümleri
CANAN SİMGE TOKATLI
Yüksek Lisans
İngilizce
2019
Matematikİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. İLKAY BAKIRTAŞ AKAR
- Sıvı kristallerde smetrik a-smetrik C* faz geçişinin klasik ve genelleştirilmiş landau modelleri ile incelenmesi
Classical and extended landau models introduction
SUMRU BELLİCİ
Yüksek Lisans
Türkçe
1997
Fizik ve Fizik Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiFizik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. HAMİT YURTSEVEN
- Fundamental lattice solitons in Davey Stewartson systems
Davey Stewartson sisteminde temel kafes solitonları
MAHMUT BAĞCI
Doktora
İngilizce
2016
Matematikİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. NALAN ANTAR
DOÇ. DR. İLKAY BAKIRTAŞ AKAR
- Nonlinear lattice solitons in saturable media
Doyurulabilir ortamlarda doğrusal olmayan kafes solitonları
İZZET GÖKSEL
Yüksek Lisans
İngilizce
2011
Matematikİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. NALAN ANTAR
YRD. DOÇ. DR. İLKAY BAKIRTAŞ AKAR
- Fundamental solitons in complex two dimensional lattices
İki boyutlu kompleks kafes (latis) içinde temel solitonlar
MAHMUT BAĞCI
Yüksek Lisans
İngilizce
2010
Matematikİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. NALAN ANTAR
YRD. DOÇ. DR. İLKAY BAKIRTAŞ AKAR