Exact soliton solutions of cubic nonlineaar schrödinger equation with third order dispersion
Üçüncü mertebeden dispersiyon içeren kübik nonlineer schrödinger denkleminin soliton tipi çözümleri
- Tez No: 596387
- Danışmanlar: DOÇ. DR. İLKAY BAKIRTAŞ AKAR
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2019
- Dil: İngilizce
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 61
Özet
Pozitif bilimsel çeşitli yönlerle birbirleriyle ilişki içerisindedir. Matematiğin diğer bilimlerle olan ilişkisi incelendiğinde en çok paydanın diferansiyel denklemlerde olduğu görülmektedir. Son yıllarda nonlineer (doğrusal olmayan) dalga problemlerine olan ilgi oldukça artmıştır ve bu konu hakkında çeşitli bilimsel araştırmalar yürütülmektedir. Lineer olmayan dalga denklemleri kuantum, optik ve biyoloji gibi konularda doğayı anlamaya ve bu alanlarda inovatif yöntemler geliştirmeye yardımcı olur. Bu bilim dallarındaki doğrusal olmayan sistemlerin araştırılmasına öncelikli olarak kısmi türevli diferansiyel denklemin çözümünün elde edilmesiyle başlanır. Bu denklemlerin çözümlerinin bir kısmı soliton olarak adlandırılan doğrusal olmayan dalga tipindedir. Solitonlar quantum mekaniği, nonlineer optik, plazma fiziği gibi pek çok alanda elde edilen alan denklemlerinin çözümlerinde ortaya çıkmaktadır. Özellikle optik problemlerin çözümünde örneğin fiber optik kablolarda veri iletimi probleminde NLS denklemi ile bu denklemin bazı varyantları ve bunların soliton tipi çözümleri ortaya çıkmaktadır. NLS denklemi genellikle bir pikosaniyelik zaman ölçeğinde optik atımların doğrusal olmayan yayılımlarını modellemekte yaygın olarak kullanılmaktadır. NLS denklemi Erwin Schrödinger tarafından ortaya konmuştur ve standart formunda aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır: iu_z+u_xx+α|u|^2 u=0: (3) Literatürde, NLS denkleminin analitik ve sayısal çözümleri araştırılmıştır; ancak bu araştırmalar genellikle (3) denklemindeki gibi ikinci mertebeden dispersiyon terimi içermektedir. Daha yüksek mertebeden (üçüncü ve dördüncü mertebe dispersiyon) terimlerinin probleme katkısını inceleyen çalışmalar daha kısıtlı sayıdadır. Literatürdeki bazı çalışmalarda üçüncü mertebeden dispersiyon teriminin, kıtalar arası veri iletimine etkilerinden bahsedilmiştir. Dolayısıyla yüksek mertebeden dispersiyon terimlerinin etkisini araştırmak, nonlineer optikte veri iletimi problemleri için oldukça önemlidir. Dış potansiyeller, optik atımların kararlılı˘gına ve biçimlerine etki eden diğer bir faktördür. Parite-zaman (PT ) simetrisine sahip potansiyeller (kafes/latis), kuantum mekaniği ve nonlineer optik problemlerinde yaygın olarak kullanılmaktadır. Literatürde PT -simetrisine sahip dıp potansiyeller içeren çeşitli tipte NLS denklemlerinin çözümleri ve çözümlerinin kararlılığıyla ilgili çok sayıda çalışma bulunmaktadır. Bu çalışmada, kübik nonlineerite ve üçüncü mertebeden dispersiyon içeren doğrusal olmayan Schrödinger denkleminin bir PT -simetrisine sahip dış potansiyel altında soliton tipi çözümleri ve çözümlerin kararlılı˘gı incelenmişir. Bu model aşağıda verilmiştir: iu_z+u_xx+iβu_xxx α|u|^2 u+ V_PT=0 (4) Yukarıdaki denklemde u kompleks de˘gerli elektrik alanın yavaş değişen genliğini, u_xx kırınım terimini, β üçüncü mertebeden dispersiyonu modelleyen terimin katsayısını, z yayılım mesafesini, V_PT ise dış potansiyeli temsil etmektedir. Bu çalışmadaki PT -simetrisine sahip dış potansiyel aşağıdaki gibi belirlenmiştir: V_PT =V(x)+iW(x) = [V_0+V_1sech(x)+V_2sech2(x)+V_3sech3(x)] +i[W_2sech2(x) tanh(x)+W_1sech(x) tanh(x)+W_0 tanh(x)]: (5) Yukarıdaki denklemde V (x) çift fonksiyon özelliği gösteren reel kısmı, W (x) ise tek fonksiyon özelliği gösteren sanal kısmı temsil etmektedir. Bölüm 1'de, solitonların tanımından ve diğer bilim dalları ile ilişkisinden bahsedilmiştir. NLS denklemi tanıtılmış ve tarihsel gelişimine değinilmiştir. Yüksek mertebeden dispersiyon teriminin NLS denklemindeki önemine değinilmiştir. Bu çalışmada kullanılan PT -simetrisine sahip bir dış potansiyel ve üçüncü mertebeden dispersiyon terimi içeren NLS denklemi tanıtılmıştır. Bu bölümde sırasıyla tezin amacı, literatür araştırması ve tezin hipotezine değinilmiştir. Bölüm 2'de, tezdeki problemi modelleyen denklemin sayısal çözümünde kullanılan Spektral Renormalizasyon metodu anlatılmıştır. Temelde bir Fourier iterasyon yöntemi olan ve daha sonra Ablowitz ve Musslimani tarafından geliştirilen Spektral Renormalizasyon metodu açıklanarak model denkleme uygulanmı¸stır. Spektral Renormalizasyon yöntemi ile çözüm elde etmek için aşağıdaki Gaussian başlangıç koşulu kullanılmıştır : w_0 = e^(〖-x〗^2 ) (6) Burada 10^-12 mertebesinde yakınsama elde edilmiştir. Spektral Renormalizasyon yöntemi ile PT -simetrisine sahip bir dış potansiyel ve üçüncü mertebeden dispersiyon terimi içeren NLS denklemi için soliton tipi sayısal çözüm elde edilmiştir. Bölüm 3'te, PT -simetrisine sahip bir dış potansiyel ve üçüncü mertebeden dispersiyon terimi içeren NLS denkleminin analitik çözümü araştırılmıştır. PT -simetrik potansiyelin yapısı bu bölümde ayrıntılı olarak türetilmiştir. Bu potansiyelde dayalı analitik çözüm üretebilmek için aşağıdaki çözüm önerisi uygulanmıştır: u(x; z) = f (x)^e^i(mz+g(x)) (7) Burada f (x) ve g(x) yapısı henüz belli olmayan reel değerli fonksiyonları ifade etmektedir. Bu bölümde, yukarıdaki çözüm önerisi kullanılarak alan denkleminin kesin çözümleri ve PT -simetrik potansiyelin yapısı elde edilmiştir. Kompleks potansiyelin reel kısmı V(x) =V_0+V_1sech(x)+V_2sech^2(x)+V_3sech^3(x) (8) olarak hesaplanmıştır. Bu fonksiyonun çift fonksiyon özelliği taşıdığı gösterilmiştir. Kompleks potansiyelin sanal kısmı ise, W(x) =W_0 tanh(x)+W_1sech(x) tanh(x)+W_2sech2(x) tanh(x): (9) olarak hesaplanmış olup bu fonksiyonun tek fonksiyon özelliği taşıdığı gösterilmiştir. Bölüm 2'de elde edilen sayısal çözüm ile bu bölümde elde edilen analitik çözüm üst üste çizdirilerek çözümlerin üst üste düştüğü gözlenmi¸stir. Dolayısıyla hem Bölüm 2'de kullanılan SR yönteminin bu tip denklemlerin çözümüne uygunluğu gösterilmiş, hem de bulunan kesin çözümün sayısal çözüm ile uyumlu olduğu ispatlanmıştır. Bölüm 4'te, tezin model denklemi olan PT -simetrik bir potansiyel ve üçüncü mertebe dispersiyon terimi içeren NSL denkleminin kararlılık (stabilite) analizi incelenmiştir. Öncelikle elde edilmiş olan solitonların lineer olmayan (nonlineer) stabilite özelliklerini incelemek için kullanılacak olan Ayrık-Adımlı Fourier metodu anlatılmıştır. Daha sonra bu yöntem PT -simetrik bir potansiyel ve üçüncü mertebe dispersiyon içeren model NLS denklemine ana hatları aşağıda gösterildiği biçimde uyarlanmıştır. Öncelikle u_z terimi çözülürse model denklem aşağıdaki formda ifade edilebilir: u_z = iau_xx-(βu_xxx)+iα|u|^2 u+iV_PT u (10) Buarada a¸sa˘gıdaki operatörler tanımlanmı¸stır: M = i(αδ_xx+iβδ_xxx) N = i(α|u|^2+V_PT ) (11) Önce u_z = Mu kısmı Fourier dönüşümü kullanılarak çözülmüş daha sonra u_z = Nu parçası çözülmüş ve model NLS denkleminin çözümü Ayrık-Adımlı Fourier yöntemi kullanılarak elde edilmiştir. Kısaca özetlenen bu yöntem kullanılarak elde edilmiş olan soliton tipi çözümlerin çeşitli potansiyel derinliklerinde kararlılık analizleri araştırılmış ve üçüncü mertebeden dispersiyon teriminin katsayısı olan β'nın değişen değerleri için stabil ve stabil olmayan bölgeler belirlenmi¸stir. Daha sonra lineer spektrum kullanılarak elde edilen solitonların lineer stabilite özellikleri de incelenmiş ve β katsayısının farklı değerleri için lineer spektrumlar karşılaştırılmıştır. Bölüm 5'te, önceki bölümlerde elde edilen çözümler ve bu çözümlerin stabilite özellikleri özetlenmiş ve ileride yapılabilecek çalışmalar tartışılmıştır. β katsayısının farklı değerleri için incelenen nonlineer stabilite analizi yapılmış ve lineer spektrumlar MATLAB bilgisayar programı ile çizilen grafikler ile yorumlanmıştır. Bu tezde MATLABR2018b bilgisayar programı kullanılmış ve bütün çözümler bu program ile elde edilmiştir.
Özet (Çeviri)
Positive sciences are related to each other in several ways. It can be seen that the relation between mathematics and the other scientific areas is mostly about differential equations. In recent years, there has been considerable interest in nonlinear wave problems. Nonlinear optical wave equations guide to understand nature in various disciplines such as quantum mechanics, nonlinear optics and biology; moreover, these equations are useful for improvement of innovative methods. Solitons are localized nonlinear waves which are used for understanding of complex nonlinear systems. The shape of wave is kept stable after collision. Solitons are related to several scientific fields such as quantum mechanics, nonlinear optics, plasma physics etc. Since soliton theory is an interdisciplinary topic, there has been noticeable studies about optical solitons in the last decades. Nonlinear Schrödinger (NLS) equation is used for modelling nonlinear propagations of optical pulses in one picosecond. In recent years, there has been considerable interest in the solutions of NLS equation. The analytical and numerical solutions of the cubic NLS equation were investigated in literature. Third-order dispersion term has considerable effects on inter-continent data transmission. Therefore, the investigations of these effects are significant for improvement of data transmission. External potentials affect stabilities and shapes of optical pulses. The potentials (lattices) which have parity-time symmetry (PT -symmetry) are used in quantum mechanics and nonlinear optics problems frequently. In literature, there are various investigations about stability of NLS equations with PT -symmetry. In this study, soliton solutions and stabilities of a N¸SS equation which has cubic nonlinearity and third order dispersion is investigated in external potential withPT -symmetry. The model is given below: iu_z+u_xx+iβu_xxx+α|u|^2 u+ V_PT=0 (1) Here, u refers to a differentiable complex-valued, slowly varying amplitude, uxx refers to diffraction, z is a scaled propagation distance, b refers to coefficient of third order dispersion term and VPT refers to external potential. In this study, external potential withPT -symmetry is identified as: V_PT =V(x)+iW(x) = [V_0+V_1sech(x)+V_2sech^2(x)+V_3sech^3(x)] +i[W_2sech^2(x) tanh(x)+W_1sech(x) tanh(x)+W_0 tanh(x)] (2) Here, V (x) corresponds to the real part which is an even function, W (x) corresponds to the imaginary part which is a odd function. xvii In Chapter 1, definition of soliton and its relation to the other disciplines are briefly discussed. NLS equation is introduced and some developments about NLS equation are expressed. The importance of higher order dispersion terms in NLS equation is explained. NLS equation with PT -symmetry and third order dispersion term is introduced. Purpose of this thesis, literature review and hypothesis are stated respectively. In Chapter 2, Spectral Renormalization Method which is the numerical method for solving NLS equation with third order dispersion and PT -symmetric potential is explained. Spectral Renormalization Method is essentially a Fourier iteration method. In this chapter, this method is modified to our problem. Numerical solutions are obtained for NLS equations with PT -symmetric potential and third order dispersion term. In Chapter 3, exact solutions of NLS equation with PT -symmetric potential and third order dispersion term are investigated. The structure of PT -symmetric potential is defined. In order to produce analytical solutions, the solution ansatz u(x; z) = f (x)e^i(mz+g(x)) is suggested. f (x) and g(x) show two real-valued functions. The structure of used PT -symmetric potential is substituted in the equation with this solution ansatz and then the exact form of this potential is identified. It is verified that the real part of the potential is an even function and the imaginary part is an odd function. The exact solution and the numerical solution are plotted in order to compare the numerically obtained solution to the exact solution. It is seen from the related figure that SR method is an effective method for obtaining solutions for these type of equations. Moreover, it is also proved that the exact and the numerical solutions are in very good agreement. In Chapter 4, stability analysis of NLS equation with PT -symmetric potential and third order dispersion term is investigated. Firstly, Split-Step Fourier method has been modified to our equation to analyse the nonlinear stability properties of obtained solitons. Also, linear stability analysis is investigated by linear spectrum. Linear spectrums are compared for various values of b. In Chapter 5, obtained results are summarized. Furthermore, possible future studies are briefly discussed. In this thesis, MATLAB2018b computer programme is used and all of the results are produced by the use of this programme.
Benzer Tezler
- Exact soliton type solutions of higher order dispersive cubic-quintic nonlinear schrödinger equation with apt -symmetric potential
Pt-simetrik bir potansiyel içeren yüksek mertebedendispersif kübik-kuintik nonlineer schrödınger denklemininsoliton tipi kesin çözümleri
HANDENUR ESEN
Yüksek Lisans
İngilizce
2019
Matematikİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. İLKAY BAKIRTAŞ AKAR
- Optiksel soliton lineer olmayan kesirli diferansiyel denklemlerin çözümleri
Solution of optical soliton nonlinear fractional differential equations
SİBEL ŞEHRİBAN ATAŞ
- Optical solitons for the higher-order cubic-quintic nonlinear Schrödinger equation with a PT-symmetric potential
PT-simetrik bir potansiyel içeren doğrusal olmayan yüksek mertebe kübik-kuintik Schrödinger denkleminde optik solitonlar
AYŞE ŞEBNEM YAR
Yüksek Lisans
İngilizce
2017
Matematikİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. İLKAY BAKIRTAŞ AKAR
- B-spline fonksiyonlar yardımıyla sonlu elemanlar yönteminin bazı uygulamaları
Some applications of finite element method with B-spline functions
IŞIL ÖZGE KILINÇ
Yüksek Lisans
Türkçe
2021
MatematikKütahya Dumlupınar ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. AHMET BOZ
- Raman-induced solitons in optical potentials
Optik potansiyeller altında raman etkili solitonlar
MERVE KURT
Yüksek Lisans
İngilizce
2019
Matematikİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. NALAN ANTAR