The Hardy-Ramanujan-Rademacher expansion for the partition function and its extensions
Sonlu cisimler üzerindeki indirgenemez polinomların bazı alt sınıfları üzerine
- Tez No: 470655
- Danışmanlar: DOÇ. DR. KAGAN KURSUNGOZ
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2017
- Dil: İngilizce
- Üniversite: Sabancı Üniversitesi
- Enstitü: Mühendislik ve Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: 63
Özet
Tamsayı parçalanışları teorisi Euler'den beri bilinmesine rağmen son yüzyılda daha yoğun ¸calışılmıştır. Bunun sebebi sadece kombinatorik veya klasik analizden beslenmekle kalmayıp modüler fonksiyonların bu alana farklı ve derin uygulamalarını sayı teorisyenlerinin farketmeleri ile olmuştur. Bu tezde bazı parçalanış fonksiyonlarının kesin formülleri üzerine ¸calıştık. Her biri için öncelikle bir modüler dönüşüm formülü ispatlamamız gerekti, ve sonrasında Farey ayrışımı kullanarak ürete¸c fonksiyonların esas tekilliklerinden kaçındık. Bundan sonra Cauchy integral formülünden türeyen integrallerin büyümesini kontrol ettik veya değerlerini tahmin ettik. Bu ¸sekilde, ilk önce adi parçalanış sayıları için bir kesin formül üzerinde ¸calıştık. Bu formül Ramanujan, Hardy ve Rademacher'ın bir sonucudur. Bunun yanısıra yine iyi bilinen bir sonuç olan, Hao'nun tek kısımlara parçalanış sayısını veren kesin formülü üzerine ¸calıştık. Euler'in tamsayı parçalanış özdeşliğine göre bu aynı zamanda farklı kısımlara par¸calanış sayısıdır. Burada üreteç fonksiyon modüler bir fonksiyondur ve intregrallerin hesaplamak için Kloosterman'ın tahminleri gerekir. Bundan sonra, kısımları 10t±a veya 2t+1 olan renkli parçalanışlarla ilgili bir sonuç ortaya attık. Bu, eldeki sonuçları simetrik denklik sınıflarından kısımlara parçalanışları ele alan, yakın zamandaki araştırmaların devamı niteliğindedir. Son olarak, ¸ceşitli diğer parçalanış fonksiyonlarına kesin formüller bulmak için ileride yapılabilecek ¸calışmalardan bahsettik.
Özet (Çeviri)
Partition theory has been studied more extensively during the last century, athough it has been around since Euler. It is not only because its combinatorial or classical analytical aspects, but also because of the opportunities number theorists saw in applications of modular forms in a different and deep view. In this thesis, we study exact formulas for the number of various partitions. For each one, we need to prove a modular transformation formula, and use Farey dissection to avoid the essential singularities of the generating functions. After that, we need to control or estimate the resulting integrals which are rooted from Cauchy integral formula. In this way, we first study an exact formula for the number of ordinary partitions of any given integer. This formula is a famous result by Ramanujan, Hardy, and Rademacher. Also, we studied another well-known result by Hao, which gives an exact formula for the number of partitions into odd parts. This partition can also be considered for the partitions with distinct parts, thanks to Euler's partition identity. The generating function is a modular form which needs Kloosterman's estimates to handle the integrals. Next, we propose a result which is aimed at the colored partitions with parts of the form 10t±a or 2t±1. This is a continuation of recent works to generalize to partitions into parts in certain symmetric residue classes modulo a given integer. Finally, we will explain about possible future plans to find exact formulas for various other partition functions.
Benzer Tezler
- Doğal sayı ayrışımlarının sayma yöntemleri: Rank, Crank ve SPT
Combinatorial methods of partitions of natural nnumbers: Rank, Crank and SPT
ESER OĞUZ
Yüksek Lisans
Türkçe
2015
MatematikAnkara ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. ALİ BÜLENT EKİN
- Emergence of Hindu Bhakti movement and the influence of Islam
Hindu Bhakti hareketinin ortaya çıkışı ve İslamın etkisi
MOHAMMED HANEEFA THOTTY
Doktora
İngilizce
2022
DinMarmara ÜniversitesiFelsefe ve Din Bilimleri Ana Bilim Dalı
PROF. DR. İSMAİL TAŞPINAR
- Hardy-Littlewood maksimal operatörünün değişken üslü lebesgue uzayında sınırlılığı
The boundedness of the Hardy-Littlewood maximal operator in the variable exponent lebesgue space
MÜBERRA DİKMEN
Yüksek Lisans
Türkçe
2017
MatematikYıldız Teknik ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. YUSUF ZEREN