The roles of matrix norms in the game theory
Matris normlarının oyun teorisindeki rolleri
- Tez No: 505538
- Danışmanlar: DR. ÖĞR. ÜYESİ BURHANEDDİN İZGİ
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2018
- Dil: İngilizce
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 77
Özet
Bu tezde, genel olarak 3-boyutlu matrisler için bazı temel tanımlar ve özellikler sunuldu. Buna ek olarak, 3-boyutlu matris norm eşitsizlikleri ispatlandı ve bu normlar arasındaki ilişkileri gösteren katsayılar eşitsizliklerin daha kolay kullanılabilmesi için bir tablo halinde verildi. Son olarak, matris normları, literatürde ilk olmak üzere, oyun teorisi ile bir araya getirildi. Bütün bunlar tez boyunca üç farklı başlık altında detaylı bir şekilde incelendi. Bu bölümlerdeki içerikler şu şekildedir: Giriş bölümünde, matrislerin tarihi ve kullanım alanlarıyla ilgili bazı örnekler verildi. Bu verilen örneklerle matrislerin farklı bilim dallarında farklı amaçlarla kullanıldığının vurgulanması hedeflendi. Daha sonra, 2-boyutlu matrislerle ilgili literatür taraması mahiyetinde geçmişten bugüne kadar kullanılan bazı temel tanımlar ve özellikler verildi. Birinci bölümde, 2-boyutlu matrisler için bazı temel tanım ve özellikler, 2-boyutlu matrislerdeki tanımlar üzerinden, 3-boyutlu matrisler için genelleştirildi. Bunun sonucunda, 3-boyutlu matrisler için 2-boyutlu matrislere dayanarak temel konsept sunuldu. 3-boyutlu matrisleri temsil etmek üzere bir notasyon belirlendi. Ayrıca, 3-boyutlu matrislerde çarpma işlemi 2-boyutlu matrislerdeki çarpma işlemine benzer şekilde açıkça tanımlandı. Bir 3-boyutlu matrisin tersinin nasıl alınması gerektiği açıklandı. 3-boyutlu bir matrisin determinant vektörü tanımlandı ve bu tanıma bağlı olarak bir 3-boyutlu matrisin tekil olma, tekil olmama ve hemen hemen tekil olma durumları açıklandı. 2-boyutlu matrislerdeki kondisyon sayısı 3-boyutlu matrisler için genelleştirildiğinde bir vektör elde edildi ve bu vektör 3-boyutlu bir matrisin kondisyon sayısı vektörü olarak tanımlandı. 2-boyutlu matrislerdeki kondisyon sayısı hesaplanırken matrisin tersi kullanıldığı gibi 3-boyutlu bir matrisin kondisyon sayısı vektörünü hesaplarken daha önceden açıklanmış olan 3-boyutlu matrislerdeki ters alma işlemi kullanıldı. 2-boyutlu matrisler için tanımlanmış olan kondisyon sayısının tanımına bağlı kalınarak kötü ve iyi koşullu matris tanımları verildi. Bunların yanı sıra, 2-boyutlu matris normları için önemli bir eşitsizlik olan Cauchy-Schwarz eşitsizliği, 3-boyutlu matrislerin 2-boyutlu matrislere indirgenmesi yöntemiyle, 3-boyutlu matrisler için kanıtlandı. Buna ek olarak bazı 3-boyutlu matris normları için önemli eşitsizlikler sunulup, bu eşitsizlikler açık bir şekilde ispat edildi. Örneğin, bir matrisin spektral yarı çapının 3-boyutlu bir matrisin herhangi bir normundan küçük ya da eşit olduğu gösterildi. 3-boyutlu bir $A$ matrisinin hermisyen bir matris olması durumunda bu matrisin spektral yarıçapının, 3-boyutlu matrisler için verilen $2-norm$una eşit olduğu ispatlandı. Bunların yanında 3-boyutlu matrisler için tanımlanmış $Frobenius-norm$un üniter matrislerle çarpım durumda değişmez olduğu sunulup, kanıtlandı. Benzer şekilde $2-norm$unun 3-boyutlu üniter bir matrisle soldan çarpım durumunda değişmez olduğu ispatlandı. 3-boyutlu matrisler için tanımlanmış $2-normu$ ile $1-normu$ ve $\infty-normu$ arasındaki ilişkiyi gösteren bir eşitsizlik daha kanıtlandı. Son olarak bu bölümde verilen tanımları açıklayacak ve üçüncü boyutun yeni tanımlar üzerindeki etkilerini gösterecek şekilde bazı açıklayıcı örnekler verildi. Bu örneklerde, ilk olarak 3-boyutlu matrislerin determinantının nasıl hesaplanacağı ve 3-D bir matrisin hemen hemen tekil olma durumu gösterildi. Daha sonra, 3-boyutlu bir matrisin tersinin nasıl alınacağı açıklandı. Ayrıca, 3-boyutlu bir matrisin kondisyon sayısı vektörünün nasıl hesaplanacağı açık bir şekilde gösterildi. Böylece verilen örneklerle 3-boyutlu matrisler için yapılmış olan yeni tanımların nasıl kullanılacağına açıklık getirildi. İkinci olarak, öncelikle literatürde tanımlanmış olan ve bu çalışmada da kullanılan 3-boyutlu matris normlarının tanımları ilgili çalışmada sunulduğu şekilde verildi. Literatürde 3-boyutlu matris norm eşitsizliklerini gösteren herhangi bir çalışma olmadığından dolayı bu açığı kapatmak için bu tezde 3-boyutlu matris norm eşitsizlikleri sunuldu. Bunun sonucunda 3-boyutlu matrislerdeki norm eşitsizlikleri 2-boyutlu matris norm eşitsizliklerine benzer şekilde ispatlandı. Yani, nasıl ki bazı kaynaklarda 2-boyutlu matris norm eşitsizliklerinin ispatlarında, 2-boyutlu matrislerin vektörlere indirgenmesinden sonra vektör norm eşitsizlikleri kullanılıyorsa, bizim kanıtlarımızda da 3-boyutlu bir $A\in\mathbb{C}^{m\times n\times s}$ matrisi 2-boyutlu matrislere indirgendi ve 2-boyutlu matris norm eşitsizlikleri ile gerekli yerlerde vektör norm eşitsizlikleri kullanılarak kanıtlar yapıldı. İspatlardaki diğer önemli bir nokta ise boyutları $m\times1\times s$ olan bir 3-boyutlu $A\in\mathbb{C}^{m\times1\times s}$ matrisinin 2-boyutlu bir matris olan $A\in\mathbb{C}^{m\times s}$ şeklinde davrandığının kabul edilmiş olmasıdır. Bu fikre dayanarak yapılmış olan ispatlar sonucunda elde edilen 3-boyutlu matris norm eşitsizliklerinde bulunan katsayılar bir katsayılar tablosu halinde eşitsizliklerin kolayca kullanılabilmesi için sunulmuştur. Daha sonra 3-boyutlu matris normlarının ve ilgili eşitsizliklerin önemini ve kullanışlılığını göstermek amacıyla matematiksel finanstan alınmış, gerçek ve simülasyon verilerini içeren bir örnek verildi. Yani, kanıtlanan 3-boyutlu matris norm eşitsizliklerinin, simülasyon sonucu elde edilen ve gerçek veriler kullanılarak hesaplanmış 3-boyutlu matris norm değerleri için sağlanmış olduğu gösterildi. İspatlanan bu norm eşitsizlikleri kullanılarak matrisin boyutuna bağlı olarak daha optimal aralıklar elde edilebileceğinden bahsedildi. Bunların yanı sıra, stokastik diferansiyel denklemlerle yapılan çeşitli analizler Milstein ve Stokastik Runge Kutta (SRK) yöntemleri ile yapılmış olup 3-boyutlu matris norm eşitsizliklerini sağlamıştır. Bu iki yöntemin yakınsama hızlarından ve yöntemlerden bağımsız olarak 3-boyutlu matris normlar eşitsizliklerinin çalıştığı gösterildi. Ayrıca, literatür taramalarımız sonucunda 3-boyutlu matris norm eşitsizliklerinin ilk olarak bu çalışmada yer aldığını düşünmekteyiz. Son olarak, matrislerin kullanım alanları ile ilgili araştırma yaparken matrislerin oyun teorisinin temel kısımlarında kullandığını gördük. Bunun üzerine oyun teorisinde matrislerin kullanılmasına rağmen matris normlarının kullanılmaması dikkatimizi çekti. Böylece iki kişilik sıfır toplamlı bir oyunun getiri matrisinin $1-normu$ ve $\infty-normu$ kullanılarak matris normları oyun teorisi ile ilk kez bir araya getirilmiş oldu. Bu bir araya getirme işlemi iki kişilik sıfır toplamlı matris oyunlarının çözümleri ve bu tür oyunların kurulması ile ilgili yeni bir yaklaşım ortaya atılarak sağlandı. Özellikle, herhangi bir iki kişilik sıfır toplamlı matris oyununun herhangi bir denklem çözmeden nasıl kolay ve hızlı bir şekilde yaklaşık olarak çözülebileceği gösterildi. Öncelikle, ortaya atılan metoda temel atmak amacıyla iki önsav sunuldu ve kanıtları yapıldı. Bu önsavlarda oyun değeri için alt ve üst sınırlar oluşturan eşitsizlikler verildi. Bu eşitsizlikler getiri matrisinin $1$ ve $\infty$ normları ile oyun değerini içeren bir sabit olan $k$'ya bağlı bir şekilde elde edildi. Ayrıca bu sonuçlarda yer alan eşitsizliklerin herhangi bir iki kişilik sıfır toplamlı matris oyunlarında kullanılmak üzere genellemeleri yapıldı. İspatları genellerken kullanılmak üzere getiri matrisinin satırsal ve sütunsal olmak üzere iki farklı indüs matris tanımı yapıldı. Daha sonra, önsavlarda temelleri atılan bu yöntem geliştirildi ve verilen sonuçlardaki $k$ sabitinin içindeki oyun değerinden kurtulduk. Bu sabit içerisinde bulunan oyun değerinden kurtulmak için bazı varsayımlarda bulunuldu ve böylece yeni sonuçlar elde edildi. Bu yeni sunulan sonuçlardaki eşitsizlikler sadece $1-norm$u ve $\infty-norm$una bağlı eşitsizlikler olup, bu sonuçlar yeni teoremler şeklinde sunuldu ve detaylı bir şekilde ispatlandı. Bunların yanı sıra, iki kişilik sıfır toplamlı matris oyunlarının getiri matrislerinin herhangi bir öteleme durumundaki hali incelendi. Bunun sonucu olarak bu tarz oyunların getiri matrislerinde herhangi bir öteleme yapılması durumunda oyun değerinin öteleme miktarı kadar değiştiğini ve karma stratejiler kümesinin ise aynı kaldığı gösterildi. Ayrıca ilk olarak $2\times2$ boyutlu iki kişilik sıfır toplamlı matris oyunlarının sırasıyla en büyük ve en küçük elemanları, $p_{max}$ ve $p_{min}$, için getiri matrisinin normlarına bağlı olarak alt ve üst sınırlar verildi ve gerekli ispatlar yapıldı. Daha sonra bu yaklaşımın genellemesi yapıldı ve $m\times n$ boyutlu bir matris oyunu için aynı sınırlar sunuldu ve ispatlandı. Bunlara ek olarak, karma stratejiler kümesinin sırasıyla en büyük ve en küçük elemanları, yani $p_{max}$ ve $p_{min}$, arasındaki ilişkiyi gösteren min-max teoremi verildi ve detaylı bir şekilde kanıtlandı. Min-Max teoreminin sonucunda, oyun çözümlerinde ve kurulumlarında $p_{max}$ ya da $p_{min}$'den biri kullanılmak üzere diğeri için daha optimal sınırlar elde edilebileceği gösterildi. Böylece herhangi bir iki kişilik sıfır toplamlı matris oyununu çözerken oyun değeri için daha iyi sınırlar elde etmek mümkün hale getirildi. Son olarak, yeni yaklaşımımızın tutarlığını göstermek üzere bazı test örnekler verildi. Bu örneklerin yanı sıra, gerçek bir askeri problemin simülasyonu sonucu elde edilmiş ve iki kişilik sıfır toplamlı bir oyun olarak incelenmiş bir oyun hiçbir denklem çözülmeksizin yaklaşık olarak çözüldü. Bu çözümü yapmak için öncelikle ilgili çalışmada verilmiş denklemler kullanılarak oyunun getiri matrisini oluşturuldu ve bu matrisin $1$ ve $\infty$ normları, bu çalışmada verilen teoremlerde kullanmak amacıyla hesaplandı. Ortaya attığımız bu yeni yaklaşımla yapılan çözümün sonucunda elde edilen ve yaklaşık oyun değeri adı verilen değer, $v_{app}$, ile ilgili makalede iki kişilik sıfır toplamlı bir oyunu çözmek için kullanılan bir yöntemle hesaplanmış gerçek oyun değeri karşılaştırıldı. Yapılan bu karşılaştırma sonucunda, yaklaşık oyun değerinin bilinen yöntemlerle hesaplanmış gerçek değerine çok yakın olduğu görüldü. Böylece oyun çözümü için gerekli sürenin yeni yaklaşımla daha kısa olacağı açıklandı. Son olarak, yeni yöntemin nasıl kullanılacağını özetleyen bir akış şeması verilerek yöntemin kullanışına açıklık getirildi. Çalışmamızın bu kısmının yani, matris normlarıyla oyun teorisinin bir araya getirildiği kısmın, alanında ilk defa yapılmış bir çalışma olduğuna inanmaktayız. Tezin son bölümünde ise öncelikle 3-boyutlu matrisler için sunulan temel tanımların ve özelliklerin fayda ve sonuçlarından bahsedildi. Daha sonra 3-boyutlu matris normları için sunulan eşitsizliklerin potansiyel kullanım alanlarından örnek verilip, literatüre yaptığı katkılar sunuldu. En son olarak ise, oyun teorisi ile matris normlarınım birleştiritilmesi ile oluşturulan, iki kişilik sıfır toplamlı bir oyunun nasıl daha hızlı ve kolay bir şekilde yaklaşık olarak çözülebileceğini gösteren yeni bir yaklaşım sunuldu ve bu yaklaşımın oyun teorisine nasıl bir katkı sağladığı anlatıldı.
Özet (Çeviri)
In this thesis, we make some significant contributions and give a new perspective to the game theory and 3-dimensional matrix theory. We present our contributions and developments in three diffrent chapters as follows: In the first chaper, a brief history of the matrices is given. Some examples are given in order to demonstrate the usage in science for different purposes. In the second chapter, some definitions and properties for the 2-dimensional matrices are extended to the 3-dimensional matrices. The basic concepts of the 3-dimensional matrices are presented by extending the definitions for the 2-dimensional matrices. The 3-dimensional matrix product is defined as it is defined for the 2-dimensional matrices. Moreover, the matrix inversion of a 3-dimensional matrix, determinant vector and some other definitions are made.The condition number vectors for the 3-dimensional matrices is defined. In addition these definitions, the singular and nonsingular 3-dimensional matrices are defined based on the definition of the determinant vector. Furthermore, the definition of ill-conditioned and well-conditioned 3-dimensional matrices are presented by using the definition of the condition number vector. Beside these, Cauchy-Schwarz inequality is represented for the 3-dimensional matrices and proved by inducing the 3-dimensional matrix to 2-D matrix. Additionally, some other important inequalities related to the 3-dimensional matrix norms are demonstrated. Finally, in this chapter, the effects of the third dimension with the new definitions and inequalities by some examples are investigated.\\ In addition to these, the norm inequalities for 3-dimensional matrices are presented and comprehensively proved. The proofs are completed with the similiar methodology being used for the 2-dimensional matrix norm inequalities. That is, we first induce the 3-D matrix to the 2-dimensional matrix. Then, we use the 2-D matrix norm inequalities and necessary vector norm inequalities. Moreover, the relationships between these norms are showed and the coefficients of the 3-dimensional matrix norm inequalities are presented with a table in order to simplify the usage of these norm inequalities. Furthermore, the usefulness of these inequalities is illustrated for 3-dimensional matrices which are obtained from simulations and real data applications.\\ In the third chapter, a novel approach to solve and create a two person zero sum matrix game by using matrix norms is presented. Especially, we show how to obtain approximated game value, $v_{app}$, for any zero sum matrix game without solving any equations using our approaches. Firstly, some lemmas are given and the results of these lemmas for the game value depend on the matrix norms of the payoff matrix and some constants $k$ containing the game value $v$. Then, the row-wise and column-wise induced matrix for the payoff matrix are introduced. Moreover, the proposed approaches are improved and the game value in the constant $k$ is vanished off. Then, some new improved theorems for the game value are presented in order to obtain some inequalities which depend on only the $1-norm$ and $\infty-norm$ of the payoff matrix. Furthermore, the min-max theorem for $p_{max}$ and $p_{min}$ is stated and clearly proved, where $p_{max}$ and $p_{min}$ are the maximum and minimum elements of the mixed strategy set, respectively. The min-max theorem shows the relationship between $p_{max}$ and $p_{min}$. Additionally, this theorem provides an opportunity to obtain more optimal interval for the game value. We also illustrate and show the consistency of our approaches with some test examples. To the best of our knowledge, this is the first study in the literature that the game theory meets the matrix norms.
Benzer Tezler
- Behavioral classification of stochastic differential equations in mathematical finance
Matematiksel finanstaki stokastik diferensiyel denklemlerin davranışsal sınıflandırması
BURHANEDDİN İZGİ
Doktora
İngilizce
2015
Ekonomiİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. AHMET DURAN
- Başarılı bir su parkı için olması gereken planlama ve tasarım kriterleri
Planning and design criteria for a successful waterpark
BURCU KARACA
Yüksek Lisans
Türkçe
2018
Peyzaj Mimarlığıİstanbul Teknik ÜniversitesiPeyzaj Mimarlığı Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. GÜLŞEN AYTAÇ
- Virginia Woolf'un 'A writer's Diary' eserinin Türkçedeki iki metninin eleştiri ve çeviri kuramları açısından karşılaştırılması
A comparative analysis of two Turkish translations of Virginia Woolf's 'A Writer's Diary' in the framework of translation and critical theories
SERPİL YAVUZ ÖZKAYA
Yüksek Lisans
Türkçe
2017
Mütercim-Tercümanlıkİstanbul ÜniversitesiÇeviribilim Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. NEJDET NEYDİM
- Mikrodalga görüntülemede seyreklik yaklaşımı yöntemlerinin uygulanması
Sparse approximation and applications in microwave imaging
EMRE YALÇIN
Yüksek Lisans
Türkçe
2016
Elektrik ve Elektronik Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiElektronik ve Haberleşme Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. ÖZGÜR ÖZDEMİR
- Control of multi-agent systems
Çok etmenli sistemlerin kontrolü
SAEID ROSTAMI
Yüksek Lisans
İngilizce
2016
Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve Kontrolİstanbul Teknik ÜniversitesiKontrol ve Otomasyon Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. MEHMET TURAN SÖYLEMEZ