Derivations and automorphisms of certain subrings of matrix rings
Matris halkalarının bazı althalkalarının türevleri ve otomorfizmaları
- Tez No: 518820
- Danışmanlar: PROF. DR. FERİDE KUZUCUOĞLU
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2018
- Dil: İngilizce
- Üniversite: Hacettepe Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: 84
Özet
K birimli ve birleşmeli herhangi bir halka olmak üzere K üzerinde tanımlı nxn tipindeki tüm matrislerin kümesi Mn(K) ile gösterilir. Bu küme, matrislerin bilinen toplama ve çarpma işlemlerine göre bir halka yapısı oluşturur. F herhangi bir cisim olmak üzere, Skolem-Noether teoreminin bir sonucu olarak, Mn(F) halkasının her otomorfizmasının bir iç otomorfizma olduğu görülür. D dönüşümü, K halkası üzerinde tanımlı toplamsal bir dönüşüm olmak üzere eğer her a,b için D(ab)=D(a)b+aD(b) koşulunu sağlıyorsa bu dönüşüme K-nın bir türevi denir. Yine Skolem-Noether teoreminin bir sonucu olarak, F bir cisim olmak üzere Mn(F) halkasının her türev dönüşümü bir iç türev dönüşümüdür. K birimli ve birleşmeli herhangi bir halka olmak üzere tüm nilüçgensel matrislerin halkası NTn(K) olsun. Bu halkanın otomorfizmaları V.M. Levchuk tarafından 1983 yılında belirlenmiştir. 2006 yılında, J.H. Chunve J.W. Park, NTn(K) halkasının her türev dönüşümünün köşegen(diagonal), halka(trivial extension) ve kuvvetli nilpotent(strongly nilpotent) türev dönüşümlerinin toplamı olarak yazılabileceğini göstermişlerdir. Birimli ve birleşmeli bir halka K ve bu halkanın bir ideali J olsun. Rn(K,J)=NTn(K)+Mn(J) ile tanımlı küme, bilinen matris toplamı ve çarpımı ile bir halka olur. 2001 yılında F. Kuzucuoğluve V.M. Levchuk tarafından, Rn(K,J) halkasının otomorfizmaları bazı özel şartlar altında belirlenmiştir. Bu tezin ilk bölümünde, bazı matris halkalarının ve cebirlerinin türev dönüşümleri ve otomorfizmaları ile ilgili gelişmeler, tarihleriyle birlikte verilmiştir. Daha sonra ikinci bölümde, birimli ve birleşmeli bir K halkası ile bu halkanın bir ideali J için Rn(K,J) halkasının türev dönüşümleri karakterize edilmiştir. Herhangi bir halkadan alınan keyfi a ve b elemanları için a.b=ab+ba ile tanımlı çarpıma Jordan çarpımı denir. Bu halka üzerinde tanımlı toplamsal bir \Delta dönüşümü \Delta(a.b)=\Delta(a).b+a.\Delta(b) koşulunu sağlıyorsa bu dönüşüme halkanın bir Jordan türev dönüşümü denir. Her türev dönüşümü bir Jordan türev dönüşümü iken bunun tersi her zaman doğru değildir. NTn(K) halkasının tüm Jordan türev dönüşümleri F. Kuzucuoğlu tarafından 2011 yılında verilmiştir. Son olarak, keyfi birimli ve birleşmeli K halkası ile bu halkanın herhangi bir J ideali üzerinde tanımlı Rn(K,J) halkasının bütün Jordan türevleri üçüncü bölümde karakterize edilmiştir.
Özet (Çeviri)
Let K be an arbitrary associative ring with identity. We denote by Mn(K) the ring of all nxn matrices over K. Say K=F for some field F. Then it is a consequence of Skolem-Noether theorem that every automorphism of Mn(F) is inner. Recall that a derivation of a ring K is an additive map D:K -> K satisfying D(ab)=D(a)b+aD(b) for all a,b in K. The problem of describing all derivations of a ring is an interesting topic for many researchers. Many papers are concerned with the study of derivations of matrix rings and their subrings. As a result of Skolem-Noether theorem, every derivation of Mn(F) is inner. In 1982, S.A. Amitsur proved that any derivation of Mn(K) is the sum of an inner derivation and a derivation arising from a derivation on K where K is an arbitrary ring. Let NTn(K) be the ring of all niltriangular nxn matrices over K whose entries are all zeros on and above the main diagonal. V.M. Levchuk characterized the automorphisms of NTn(K) in 1983. In 2006, J.H. Chun and J.W. Park proved that every derivation of NTn(K) is a sum of a certain diagonal, trivial extension and a strongly nilpotent derivation. The set defined by Rn(K,J)=NTn(K)+Mn(J) is a ring with usual matrix addition and multiplication where K is a unital ring and J is an ideal of K. The automorphisms of the ring Rn(K,J) were described by F. Kuzucuoğlu and V.M. Levchuk under certain spesific properties. In the first section of this thesis, we give the historical background of derivations and automorphisms of some certain matrix rings and algebras. In the second section, we characterize all derivations of Rn(K,J). Recall that the Jordan multiplication on a ring K is given with a.b=ab+ba for any a,b in K. An additive map \Omega of K satisfying \Omega(a.b)=\Omega(a).b+a.\Omega(b) is called a Jordan derivation of K. Every derivation is a Jordan derivation but there are Jordan derivations which are not derivations. All Jordan derivations of the ring NTn(K) are described by F. Kuzucuoğlu in 2011. For an arbitrary associative and 2-torsion free ring K with identity and an ideal J of K, we describe all Jordan derivations of Rn(K,J) in the third section.
Benzer Tezler
- Asal halkaların özel tip dönüşümlerini ihtiva eden bazı özdeşlikler
Some identities involving special types of mappings of prime rings
NİHAN BAYDAR YARBİL
- Derivations and automorphisms of some infinite matrix algebras
Bazı sonsuz matris cebirlerinin türevleri ve otomorfizmaları
TUNAHAN YILMAZ
Yüksek Lisans
İngilizce
2021
MatematikHacettepe ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. FERİDE KUZUCUOĞLU
- Bazı cebirlerin otomorfizmleri ve derivasyonları
Automorphisms and derivations of some algebras
İBRAHİM HALİL COŞKUN
Yüksek Lisans
Türkçe
2018
MatematikHarran ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DR. ÖĞR. ÜYESİ ZEHRA VELİOĞLU
- Poisson braketleri ve iki değişkenli Poisson cebirlerinin otomorfizmleri
Poisson brackets and automorphisms of Poisson algebras in two variables
SEDA DENİZ UÇAR
Yüksek Lisans
Türkçe
2018
MatematikOsmaniye Korkut Ata ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. CENNET ESKAL
- Asal gamma halkalarında türev
Derivations in prime gamma rings
CANAN CELEP YÜCEL
Yüksek Lisans
Türkçe
2002
MatematikPamukkale ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. ŞAHİN CERAN