Ramanujan's congruences for the partition function modulo 5, 7, 11
Ramanujan'in parçalaniş fonksiyonu için mod{5}, mod{7} ve mod{11}'deki denklikleri
- Tez No: 528661
- Danışmanlar: DOÇ. DR. KAĞAN KURŞUNGÖZ
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2018
- Dil: İngilizce
- Üniversite: Sabancı Üniversitesi
- Enstitü: Mühendislik ve Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: 75
Özet
1919'da Ramanujan parçalanış fonksiyonu için $p(5n+4) \equiv 0 \pmod{5}$, $p(7n+5) \equiv 0 \pmod{7}$ ve $p(11n+6) \equiv 0 \pmod{11}$ denkliklerini ortaya attı. Bu tezde amacımız bu denkliklerin farklı kanıtlarını sunmak. $p(5n+4) \equiv 0 \pmod{5}$ denkliği için temelden zora doğru üç farklı kanıt gösterildi. Burada temel olan kanıtlar aynı doğrultuda ilerliyor. Temel olmayan kanıtlar da birbirlerine benzer olmasına rağmen mod $7$'deki denklik kanıtı, mod $5$'teki denklik kanıtından daha karmaşık özdeşlikler kullanıyor. Son denklik $p(11n+6) \equiv 0 \pmod{11}$ için, üzerinde durulması gereken üç kanıt sunduk. İlki, Winquist'in iki parametreli özdeşlik ve $q$ serisi $(q;q)^{10}_\infty$ sonsuz çarpımını çift toplam olarak yazdığı kanıt. Diğeri, Hirschhorn tarafından verilen, iki parametreli Winquist özdeşliğinin dört parametreye genişletip ve $(q;q)^{10}_\infty$ serisini Winquist' den farklı kullanarak yaptığı kanıt. Son olarak, Berndt ve diğerlerinin Ramanujan özdeşliklerini kullanarak tekrar ifade ettikleri $(q;q)^{10}_\infty$ serisini kullanan bir kanıt. Tezi 1994'te Hirschhorn tarafından verilen, bütün denkliklerin kanıtını aynı anda çıkarabileceğimizi gösteren makaleyle tamamladık. Bu kanıtı diğerlerinden farklı yapan tarafı, kısmen lineer cebir kullanıyor olmasıdır.
Özet (Çeviri)
In 1919, Ramanujan introduced three congruences satisfied by the partition function $p(n)$, namely $p(5n+4) \equiv 0 \pmod{5}$, $p(7n+5) \equiv 0 \pmod{7}$ and $p(11n+6) \equiv 0 \pmod{11}$. In this thesis, our goal is to present different proofs of each of these congruences. For the congruence $p(5n+4) \equiv 0 \pmod{5}$, we present three types of elementary to non-elementary proofs. In these proofs, we observe that the elementary proofs of the congruences $p(5n+4)$ and $p(7n+5)$ are analogues with minor variations. The second proof that we introduce can be regarded as non-elementary proof. Even though their non-elementary proofs are similar to each other, the proof of the congruence in modulo $7$ involves considerably more computations on identities, inevitably, than the proof of the congruence in modulo $5$. We further present three worth-stressing proofs for the congruence $p(11n+6) \equiv0 \pmod{11}$; The first is proved by Winquist using a representation of $(q;q)^{10}_\infty$ as a double series and a two parameter identity is utilized for this double sum. Then Hirschhorn proves this congruence using a four parameter generalization of Winquist's identity and modifies the representation of $(q;q)^{10}_\infty$. Lastly, owing to Ramanujan, B. Berndt, et al., prove the congruence $p(11n+6) \equiv 0\pmod{11}$ directly using a new representation for $(q;q)^{10}_\infty$. We complete the thesis by presenting a more direct and a uniform proof, given by Hirschhorn in 1994, that can be applicable to all three congruences. This proof is partially based on linear algebra, which makes it reasonably different from Winquist's and Hirschhorn's earlier proofs.
Benzer Tezler
- Ramanujan's congruences for the partition function
Ramanujan'ın bölüşüm fonksiyonu için vermiş olduğu denklemler
ZAFER SELÇUK AYGIN
Yüksek Lisans
İngilizce
2009
Matematikİhsan Doğramacı Bilkent ÜniversitesiMatematik Bölümü
YRD. DOÇ. DR. HAMZA YEŞİLYURT
- Parçalanış fonksiyonunu içeren bazı kongrüanslar
Some congruences involving the partition function
MEHMET CİCİMEN
- Ramanujan tau fonksiyonu üzerine
On the Ramanujan tau function
YUSUF CAN BAYNAL
Yüksek Lisans
Türkçe
2022
MatematikBilecik Şeyh Edebali ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. İLKER İNAM
- Doğal sayı ayrışımlarının sayma yöntemleri: Rank, Crank ve SPT
Combinatorial methods of partitions of natural nnumbers: Rank, Crank and SPT
ESER OĞUZ
Yüksek Lisans
Türkçe
2015
MatematikAnkara ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. ALİ BÜLENT EKİN