A study on direct summand submodules over noncommutative rings
Değişmeli olmayan halkalarda dik toplanan alt modüller üzerine bir çalışma
- Tez No: 543997
- Danışmanlar: PROF. DR. AYŞE ÇİĞDEM ÖZCAN
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2018
- Dil: İngilizce
- Üniversite: Hacettepe Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: 113
Özet
Halka ve modül teorisinde ilk akla gelebilecek problemlerden biri verilen nesnenin sadeleşme özelliğini incelemektir. Bu problem, ilk olarak J\'{o}nsson ve Tarski tarafından genel bir cebirsel yapı için ele alınmış ve sonrasında yerine koyma ve içsel sadeleşme gibi sadeleşme kavramı ile ilgili varyasyonların tanımlanmasına imkan vermiştir. 1930'ların ortalarında, sadeleşme problemi J\'{o}nsson ve Tarski tarafından genel bir cebirsel yapı için ele alınmadan hemen önce, von Neumann çığır açan bir buluşa imza attı ve sürekli geometrilerin teorisini geliştirdi. Sürekli geometrilerin önemli özelliklerinden biri görüntü kümesi $\left [ 0,1 \right ]$ olan bir boyut fonksiyonuna sahip olmasıydı ve bu boyut fonksiyonunun inşaasında ise temel yapı taşı perspektiflik bağıntısıydı. Bu tez çalışmasında, sadeleşme ve süreklilik kavramlarından türeyen yeni nosyonları ele alacağız. Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Tezin birinci bölümünde, stable range 1, değişim özelliği ve perspektiflik gibi çalışmalarımızda önem arz eden halka ve modül teorik kavramlar tanıtılmıştır. Tezin ikinci bölümünde, içsel sadeleşebilen halkalar olarak adlandırılan tek yönlü ideallerine göre içsel sadeleşme özelliğini sağlayan halkalar ele alınmıştır. Daha sonra özel bir koşul tanıtılarak içsel sadeleşebilen halkalar, birimsel düzenli halkalar ve stable range 1 özelliğine sahip halkalar için yeni karakterizasyonlar elde edilmiştir. Ayrıca, dik toplanan sağ ideallerinin toplamı da dik toplanan olan halka sınıfı, içsel sadeleşebilir halkalar ile birlikte ele alınmıştır. Tezin üçüncü bölümünde, bir $R$ halkasının (eşkare) stable range 1 özelliğine sahip elemanlarının bir $I$ idealine göre, $R/I$ bölüm halkasından yükseltilmesi kavramı tanıtılmıştır. Bu kavramlar tanıtılırken çeşitli örnekler verilmiş ve bugüne kadar literatürde önemli yer edinmiş eşkare elemanların yükseltilmesi, birimsel elemanların yükseltilmesi ve von Neumann düzenli elemanların yükseltilmesi gibi özellikler ile bağlantıları incelenmiştir. Daha sonra bir $R$ halkasının sol veya sağ duo olması koşulu altında stable range 1 özelliğine sahip elemanların her ideale göre yükseltilmesi ile o halkanın stable range 1 özelliğine sahip olmasının denk olduğu gösterilmiştir. Ayrıca, zayıf bir koşul altında (eşkare) stable range 1 özelliğine sahip elemanların yükseltilmesi kavramının von Neumann düzenli elemanların yükseltilmesi kavramını gerektirdiği gösterilmiştir. Tezin dördüncü ve son bölümünde, süreklilik ve ayrıklık kavramlarının en son varyasyonları $C4$- ve $D4$-modüller perspektif dik toplanan alt modüller açısından ele alınmış, yeni karakterizasyonlar ve sonuçlar elde edilmiştir. Bunula birlikte, $C4$-modüllerin endomorfizma halkaları ve $C4$-halkaların bazı genişlemeleri incelenmiştir. Son olarak yeni tanımlanan bir zincir koşulu ile $C4$-modüller ve $D4$-modüller için ayrışım teoremleri verilmiştir.
Özet (Çeviri)
A natural problem to consider in ring and module theory is to investigate the cancellation property of a given object. This problem was first considered by J\'{o}nsson and Tarski for any algebraic system and then gave rise to many variations related to the cancellation theme such as substitution and internal cancellation. In the mid-30s of the last century, just before the cancellation problem was treated for any algebraic system by J\'{o}nsson and Tarski, a ground-breaking invention was made by von Neumann. He developed the theory of continuous geometries. One of the main ideas of this new structure was the construction of a dimension function whose range is a continuum of real numbers and this construction was based on the perspectivity relation. Throughout this work, we discuss new concepts derived from cancellation and continuity. This dissertation consists of four chapters. In the first chapter, we recall the ring and module theoretical properties that play an important role within our framework like stable range conditions, the exchange property, and perspectivity. In the second chapter, we study the class of internally cancellable rings, i.e., the class of rings that satisfy internal cancellation property with respect to their one-sided ideals. By considering a condition, we obtain new characterizations of internally cancellable rings, unit regular rings, and rings with stable range one. We also investigate internally cancellable rings with the summand sum property. In Chapter 3, we introduce the lifting of elements having (idempotent) stable range one from a quotient of a ring $R$ modulo a two-sided ideal $I$ by providing several examples and investigating the relations with other lifting properties, including lifting idempotents, lifting units, and lifting of von Neumann regular elements. In the case where the ring $R$ is a left or a right duo ring, we show that stable range one elements lift modulo every two-sided ideal iff $R$ is a ring with stable range one. Under a mild assumption, we further prove that the lifting of elements having idempotent stable range one implies the lifting of von Neumann regular elements. In the last chapter, we study the most recent variations of continuity and discreteness concepts, namely $C4$- and $D4$-modules, in terms of perspective direct summands by providing new characterizations and results. Endomorphism rings of $C4$-modules and extensions of right $C4$-rings are also investigated. Decompositions of $C4$-modules with restricted $ACC$ on direct summands and $D4$-modules with restricted $DCC$ on direct summands are obtained.
Benzer Tezler
- Some generalizations of quasi-projective modules
Quasi-projektif modüllerin bazı genellemeleri
BERKE KALEBOĞAZ
Doktora
İngilizce
2014
MatematikHacettepe ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. DERYA KESKİN TÜTÜNCÜ
- New generalizations of P-extending modules
P-genişletme modüllerinin yeni genelleştirilmesi
ZINAH NASER SULAIMAN SULAIMAN
Yüksek Lisans
İngilizce
2022
MatematikÇankırı Karatekin ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DR. ÖĞR. ÜYESİ UFUK ÖZTÜRK
DR. ÖĞR. ÜYESİ MAHDİ SALEH NAYEF NAYEF
- Belirli dik toplanan özelliği bulunan modüller
Modules whose direct summands having certain properties
FATİH KARABACAK
Yüksek Lisans
Türkçe
1998
MatematikEskişehir Osmangazi ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. ADNAN TEZCAN
- Z-kapalı alt modüller üzerine genellemeler
Generalizations on z-closed submodules
YEŞİM AYVAZOĞLU
Yüksek Lisans
Türkçe
2024
MatematikPamukkale ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. CANAN CELEP YÜCEL