Exact soliton type solutions of higher order dispersive cubic-quintic nonlinear schrödinger equation with apt -symmetric potential
Pt-simetrik bir potansiyel içeren yüksek mertebedendispersif kübik-kuintik nonlineer schrödınger denklemininsoliton tipi kesin çözümleri
- Tez No: 553977
- Danışmanlar: DOÇ. DR. İLKAY BAKIRTAŞ AKAR
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2019
- Dil: İngilizce
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 63
Özet
Günümüzde, birçok farklı problemin modellenmesinde doğrusal olmayan (nonlineer) denklem sistemlerinden yararlanılmaktadır. Nonlineer bilimsel araştırma alanlarında en büyük gelişmeler nonlineer dalga yayılımı problemleri konusunda öne çıkmaktadır. Genellikle, nonlineer bir sistemin araştırılmasına; akışkanlar mekaniği, optik, plazma fiziği ve biyolojideki ilişkili deneysel sistemin bir yaklaşımı olarak, kısmi türevli diferansiyel denklemin çözümünün elde edilmesiyle başlanmaktadır. Bu tipteki denklemlerin çözümleri nonlineer dalga tipindedir ve bunların bir kısmı soliton olarak adlandırılır. Solitonlar; yayılırken yayılma hızı ve formunu koruyarak ilerleyen lokalize dalgalardır. Karşılıklı çarpışmaya dayanıklıdırlar (elastik çarpışma) ve sahip oldukları özellikleri çarpışma sonrasında koruyabilirler. KdV sine-Gordon ve NLS gibi kısmi türevli diferansiyel denklemler, nonlineer dalga yayılımının modellenmesinde kullanılmakta olup bu denklemlerin soliton tipi çözümleri literatürde geniş yer almaktadır. Bir optik dalganın (atım) çeşitli optik malzemeler içinde yayılımı NLS denklemi ile temsil edilir. NLS denklemi, genellikle bir piko saniyelik zaman ölçeğinde optik atımların, doğrusal olmayan yayılımlarını modellemekte yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu denklem, Erwin Schrödinger tarafından 1927'de geliştirilmiş ve yaygın olarak kullanılmı¸stır. Literatürde kübik ve/veya kübik-kuintik nonlineerite ve yalnızca ikinci mertebe dispersiyon içeren NLS denkleminin analitik ve sayısal çözümleri etraflıca incelenmiştir. Kıtalar arası veri iletimi problemlerinde, ikinci mertebe dispersiyonun yanı sıra üçüncü dereceden dispersiyon terimlerinin probleme katkılarının araştırılması önem kazanmaktadır. Optik atımların biçimlerine ve kararlılıklarına etki eden bir başka faktör de dış optik potansiyellerdir. Bir dış potansiyelin eklendiği NLS denklemi, literatürde Gross-Pitaevskii denklemi olarak adlandırılır. Son yıllarda, kuantum mekaniği problemlerinde, parite-zaman simetrisine sahip potansiyeller ilgi çekmektedir. Bu tezde, VPT =V (x)+iW (x). şeklinde kompleks yapıda bir dış potansiyel kullanılmıştır ve bu potansiyel PT-simetrik özelliğindedir; yani potansiyelin reel kısmı olan V(x), çift fonksiyon olma özelli˘gine sahipken; imaginer kısmı olan W(x), tek fonksiyon olma özelli˘gine sahiptir. Böylece, V(x) =V(x) veW(x) = W(x) ili¸skisi sa˘glanır. Bu çalı¸smada, iuz+auxx+ibuxxx+juj2u+juj4u+VPT u = 0. olarak verilen, üçüncü mertebe dispersiyon terimi ve PT -simetri özelli˘gine sahip bir dış potansiyel içeren, CQNLS denkleminin soliton çözümlerinin sayısal varlığı ve kararlılık analizleri incelenmiş; sonuçlar çeşitli grafikler ile gösterilmiştir. Yukarıda verilen denklemde, u kompleks değerli türevlenebilir fonksiyonu, uxx kırılımı (dispersiyon) modelleyen terimi, a ikinci dereceden dispersiyon teriminin katsayısını, b üçüncü mertebe dispersiyon teriminin katsayısını ve VPT PT -simetri özelliği olan potansiyeli temsil eder. Bu tezin amacı, PT-simetri özelliği olan bir dış potansiyelin ve üçüncü mertebe dispersiyon teriminin soliton çözümünde ve çözümlerin kararlılığında yaptığı etkiyi incelemektir. Bölüm 1'de, solitonların tarihsel gelişiminden kısaca söz edilmiş, PT simetrik potansiyel içeren, doğrusal olmayan CQNLS denkleminin yapısı ve uygulama alanları anlatılmıştır. Sonrasında tezin amacı ve gerekli literatür taraması verilmiştir. Bölüm 2'de, a¸sa˘gıda verilen, V + iW kompleks yapılı potansiyel içeren CQNLS denkleminin analitik çözümlerini üretebilmek için u(x, z) = f(x)e^(i(mz+g(x))) çözüm önerisi yapılmıştır. iuz+auxx+ibuxxx+|u|^2u+|u|^4u+VPT u = 0. Burada f (x) ve g(x), yapısı henüz belli olmayan reel değerli fonksiyonlardır. Önerilen bu çözüm, denklemde yerine konularak kesin çözümler elde edilmiştir. Ayrıca, kompleks potansiyelin reel kısmı V(x) =V0+V1 sech(x)+V2sech2(x)+V3sech3(x)+V4sech4(x). şeklinde bir çift fonksiyon, imaginer kısmı ise, W(x) =W0sech2(x) tanh(x)+W1sech(x) tanh(x)+W2 tanh(x). şeklinde bir tek fonksiyon olarak elde edilmiştir. Böylece, bulunan potansiyel PT -simetrik yapıda olup aşağıdaki gibi belirlenmiştir: VPT = [V0+V1sech(x)+V2sech2(x)+V3sech3(x)+V4sech4(x)] +i[W0sech2(x) tanh(x)+W1sech(x) tanh(x)+W2 tanh(x)]. Bölüm 3'te, Ablowitz ve Musslimani'nin geliştirdiği, çeşitli alanlarda kullanılan bir sayısal yöntem olan SR yönteminden bahsedilmiştir. SR yöntemiyle soliton çözüm elde etmek için, w0 = e^x2. Gaussian başlangıç koşulu kullanılmış ve yakınsama koşulu 10^12 olarak alınmıştır. Bu sayısal yöntem kullanılarak, bir dış potansiyel içeren üçüncü dereceden dispersiyon terimi bulunan CQNLS denkleminin sayısal çözümleri elde edilmiştir. Daha sonra, SR algoritması MATLAB bilgisayar programına aktarılarak elde edilen sayısal çözümler ile Bölüm 2'de elde edilen kesin çözümlerin üst üste düştüğü gözlemlenmiş ve böylece kullanılan sayısal yöntemin uygunluğu ve uygulanan algoritmanın doğruluğu test edilmiştir. MATLAB programı kullanılarak; belirli bir potansiyel derinliğinde, 3OD teriminin katsayısındaki değişimin potansiyelin yapısına etkisi grafiksel olarak incelenmiştir. Elde edilen dış potansiyelin katsayılarının soliton çözüme etkileri sayısal olarak incelenmiş ve sonuçlar grafik ile gösterilmiştir. Ayrıca, üçüncü mertebe dispersiyon teriminin, elde edilen potansiyel altında soliton çözüme etkisi grafiksel olarak ifade edilmiştir. Bölüm 4'te, elde edilen solitonların kararlılık analizini yapmak için kullanılan ayrık adımlı Fourier metodundan bahsedilmiştir. Daha sonra nonlineer stabilite (kararlılık) analizi için ayrık adımlı Fourier metodu; PT dış potansiyeli ve üçüncü mertebe dispersiyon içeren CQNLS denklemine uygulanmıştır. Üç farklı 3OD terimi katsayısı için 0 ile 4 arasında değişen potansiyel derinliklerinde nonlineer stabilite bölgeleri çizilmiş ve 3OD teriminin solitonun kararlılığı üzerindeki etkisi araştırılmıştır. Nonlineer olarak stabil ve stabil olmayan soliton örnekleri çeşitli grafiklerle gösterilmiştir. Nonlineer stabilitenin yanı sıra, solitonların lineer stabilitesi de incelenmiştir. Lineer spektrum hakkında kısa bir bilgi verilerek, CQNLS denklemine uygulanı¸sı anlatılmıştır. Belirli bir potansiyel derinliğinde, üç farklı b katsayısı için, elde edilen solitonların lineer spektrumları bulunarak 3OD teriminin lineer stabiliteye etkisi incelenmiştir. Ayrıca, a; kübik nonlineerite teriminin, b; kuintik nonlineerite teriminin katsayıları olmak üzere, iuz+auxx+ibuxxx+a|u|^2u+b|u|^4u+VPT u = 0. denklemi ele alınarak, 0'dan 1'e; 0:2 artımla değişen b katsayısı için solitonların lineer spektrumları çizilmiş ve kuintic nonlineeritenin, solitonun lineer stabilitesine etkisi üzerinde çalışılmıştır.
Özet (Çeviri)
Nowadays, nonlinear equations are used to model many different problems. Nonlinear wave propagations shine as the most important developments in nonlinear scientific researches. Generally, starting with the solution of the partial differential equation (PDE), a nonlinear system should be investigated as an approach to the related experimental system in fluid mechanics, optics, plasma physics and biology. Types of the solutions of these kinds of equations are nonlinear wave types, and some of these wave types called soliton. Solitons are the propagating localized waves without changing their speeds and shapes. They are resistant to collision and can preserve their properties after collision. For many years, PDEs such as Korteweg-de Vries (KdV), sine-Gordon and nonlinear Schrödinger (NLS) have been used in the modeling of nonlinear waves and soliton type solutions of these equations are widely investigated in the literature. In literature, the analytical and numerical solutions of the NLS equation with cubic and / or cubic-quintic nonlinearity and second order dispersion are investigated in detail. In inter-continent data transmission problems, it is important to investigate the contribution of third-order dispersion terms to the problem as well as the second order dispersion. Another factor which affects the shape and stability of optical pulses is the external optical potentials. In this thesis, the numerical existence and stability analysis of the soliton solutions of the cubic-quintic nonlinear Schrödinger (CQNLS) equation with the third-order dispersion, an external potential with parity time (PT )-symmetry properties are analyzed and the results are shown with various graphics. In chapter 1, the historical development of the solitons has been shortly discussed and then the structure and the application areas of the CQNLS equation which includes a PT -symmetric potential have been explained. Afterwards the aim of the thesis and the necessary literature review have been given. In chapter 2, an ansatz solution has been proposed in order to produce the analytical solution under a PT -symmetric potential and then the exact solution has been obtained via necessary substitutions. In addition, the structure of the PT -symmetric potential was determined. In chapter 3, a numerical method which is called spectral renormalization (SR) that has been previously used in solutions of numerous PDEs is explained. This method is originally developed by Ablowitz and Musslimani and in this chapter, we have modified the method for our problem. Using this method, numerical solutions of the CQNLS equation with the third-order dispersion containing an external potential were obtained. Then, the numerical solutions obtained by SR algorithm and the exact solutions obtained in chapter 2 have been observed to be consistent; thus, the suitability of the numerical method and the accuracy of applied algorithm have been tested and found to be in good agreement. The effects of obtained external potential coefficients on the soliton solution have been analyzed and the results have been shown with adequate number of graphics. Furthermore, the effect of third order dispersion term on the existence of soliton solution is analyzed and the results have been graphically expressed. In chapter 4, the split-step Fourier method is used to analyze the nonlinear stability of previously obtained solitons. The split-step Fourier method has been modified to apply the CQNLS equation with an external potential and third order dispersion term. Then the effect of different potential depths on stability properties has been depicted in graphics. Additionally, the effect of third order dispersion on the stability of soliton was investigated. Not only nonlinear stability but also linear stability of the obtained solitons has been investigated. A brief information of the linear spectrum has been given and its application to the CQNLS equation has been explained, and finally, the effect of third order dispersion on linear stability has been shown by graphics.
Benzer Tezler
- Optical solitons for the higher-order cubic-quintic nonlinear Schrödinger equation with a PT-symmetric potential
PT-simetrik bir potansiyel içeren doğrusal olmayan yüksek mertebe kübik-kuintik Schrödinger denkleminde optik solitonlar
AYŞE ŞEBNEM YAR
Yüksek Lisans
İngilizce
2017
Matematikİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. İLKAY BAKIRTAŞ AKAR
- Exact soliton solutions of cubic nonlineaar schrödinger equation with third order dispersion
Üçüncü mertebeden dispersiyon içeren kübik nonlineer schrödinger denkleminin soliton tipi çözümleri
CANAN SİMGE TOKATLI
Yüksek Lisans
İngilizce
2019
Matematikİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. İLKAY BAKIRTAŞ AKAR
- Lineer olmayan kesir mertebeli diferensiyel denklemlerin tam çözüm yöntemleri
Exact solution methods for nonlinear fractional differential equations
ESİN AKSOY
Doktora
Türkçe
2015
MatematikYıldız Teknik ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. ADEM CENGİZ ÇEVİKEL
- Oluşum tipi denklemlerin hirota bilineer formları ve etkileşim çözümleri
Hirota bilinear forms of evolution type equations and their interaction solutions
MELİH ZEYNEL
Yüksek Lisans
Türkçe
2023
MatematikBursa Uludağ ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. EMRULLAH YAŞAR