Dinamik problemlerin zaman uzayında sonlu eleman metodu ile çözümü
Başlık çevirisi mevcut değil.
- Tez No: 56037
- Danışmanlar: PROF.DR. M. HASAN BODUROĞLU
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: İnşaat Mühendisliği, Civil Engineering
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 1996
- Dil: Türkçe
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: 33
Özet
ÖZET Son yıllarda Hamilton ilkelerinin sayısal uygulamaları, zaman uzayında sonlu elemanlar konusuna ışık tutmuştur. Yapılan çalışmalar, sonlu zaman elemanı metodunun, dinamik problemler için gelişmiş ve iyi anlaşılır bir yaklaşım olduğunu göstermiştir. Bu çalışmada da dinamik problemlerin zaman uzayında sonlu eleman metodu ile çözümü incelenmiştir, öncelikle karışık forma sahip Hamilton' un Zayıf İlkeleri (HWP) ele alınarak, dinamik sistemler için genel bir varyasyonel formülasyon elde edilmiştir. Formülasyonda varyasyona sahip değişkenler bağımsız olarak alınıp, yalnız birinci dereceden türevleri mevcut olduğundan, bir zaman elemanı içerisinde lineer değişime sahip sürekli şekil fonksiyonları ile ifade edilmişlerdir. Varyasyona sahip olmayan değişkenler ise, türev ifadesi içermedikleri için eleman uç noktalarında ayrık, eleman içinde sabit ve sürekli şekil fonksiyolan ile ifade edilmişlerdir. Böylece formülasyon zaman uzayında ayrıklaştınlarak, zamandan bağımsız hale getirilmiştir. Zaman elemanının başlangıcındaki yer değiştirme ve hız değerleri, başlangıç değerleri olarak kabul edilerek eleman içindeki ara değerler ve bitiş değerleri elde edilmiş ve bitiş değerleri bir sonraki elemanın başlangıç değerleri olarak kullanılarak zamanda ilerleme sağlanmıştır. Çözümde kolaylık sağlaması açısından sistem, matris formuna dönüştürülmüştür. Katsayılar matrisi alt matrislerden oluşmuş, tekrarlanır, bant matristir ki bu da matris jenerasyonunu ve sistemin çözümünü kolaylaştırmaktadır. Son olarak bu yöntem, çeşitli dinamik problere uygulanmış ve sonuçlar, gerçek çözüm ile ya da başka çözüm metodlarının sonuçları ile karşılaştırılmıştır. Çözümlerde Mathematica programı kullanılmıştır. vii
Özet (Çeviri)
SUMMARY THE SOLUTION OF DYNAMIC PROBLEMS İN TİME DOMAIN BY FINITE ELEMENT METHOD This paper is concemed with the finite element approach in time domain for the solution of dynamic problems in the form of M'q + C q + K q = f with the initial conditions: ?(f=o) = 1o *. ?(»-0) = ?0 vvhere M, C and K are the mass, damping and stiffness matrices and q and f are the displacement and load vectors, respectively. Time derivatives are denoted by overdots. The finite element method was originally developed for approximate solution of boundary value problems. Recently, this methods have been developed for the time domain. The earliest works seem to be those of Fried Argyris, and Scharpf, although most of the work being done now has its roots in the mid-1970's when the use of Hamilton's principle was introduced. Hamilton' s principle has traditionally been used in analytical mechanics as a method of obtaining the equations of motion for dynamical systems. More recently, it was shown in that expression of Hamilton's law as a weak form (commonly referred to as Hamilton's weak principle ör HWP) provides a povverful altemative to numerical solution of ordinary differential equations in the time domain. The accuracy of the time marching procedure derived in these works is competitive with standard ordinary differential equation solvers. Additionally, finite element in time offer some more advantages..From a theoretical point of view, the general understanding of the numerical behaviour and implications associated with the different formulations and with the choice of the shape functions is deeper..Most of the numerical methods and methodologies developed for finite elements in space can be easily shared and are readily applicable to this method..The invariant represented by the energy of the system is preserved by particutar finite element forrnulations..The class of problems which may be solved with a single general purpose program is broader. This possibly represents the most important practical advantage. in this paper, firstly, a weak form based on the variation of the performance index have been derived, then ali strong boundary conditions have been transformed into natural ör weak boundary conditions. After development of the weak form, finite element discretization in time domain has been done. A system by a set of“n”states V is considered and the system is govemed by a set of state equations of the form x = /(*,/). Then, performance index, J o, is denoted with an integrand L( x, t) and discrete functions of the states and time [x(t\ t] defined only at the initial and final times t0 and tf. Finally, the state equations were adjoined to the performance index with a set of Lagrange multiplier functions X( t): J0 = f [L(x, t) + AT(f - x)]dt + <“o where O = ^[x(t), t] + vT^[x(t), t], y is the set of functions related with constraints imposed on the states and time at the initial and final times. Since constraints that are necessary in control problems are not being considered in this paper, they are not taken into consider. Therefore, y = O in our case. To derive the weak principle, it is necessary to determine the first variation of performance index, 8J, and set it to zero. After integrating by parts and rearrengement of J and adding some necassary conditions, it takes its final form as follovvs: ff{ SJLTX - â'X\ + &cT[(^f + (^-ft\ + MTf } dt loCKCX A 'fA t f + âxTA - ÖATx = 0 'o'o This is the governing equation for the weak Hamiltonian method for dynamic problems. it will serve as the basis for the finite element discretization described below. in order to apply this formulation into the dynamic problems, let's take a n- degrees of freedom system which has the following equation of motion: ixM q+ C q+ K q = E g(t) where; M : System mass matrix ( n x n ) C : System damping matrix ( n x n ) K : System stiffness matrix ( n x n ) E..: System matrix which defines the place of external loads(n x r) q : Diplacement vector (n x 1 ) g : External load vector ( r x 1 ) This equation is expressed in the state form as x = A x+ Wx g = / where; x = q : State vector ( 2n x 1 ) Constant system matrix ( 2n x 2n ) : System matrix defmig external loads(2nxn) Finally, if these above values are put into the motion of equation and taking that 6 = 0, the following equation which is the fundamental equation for the finite element discretization in time domain is obtained; 1”T i ATy SX(Ax + Wxg) + Sx'iA^A + 8Xx - 5xl k dt + Sx1 A - 8X x = 0 For the finite element discretization procedure, let' s break the time interval from t0 to tf into N elements, then define a nondimensional elemental time t asT- A/. ; âi. -if The linear shape functions for the virtual coordinates and Langrange multiplier are 8 X = 8 4(1 - r) + 8 4+ı r 8 x = 8 xt(l - t) + 8 xi+l t For the generalized coordinates and Lagrange multiplier; x = i r = 0 x, 0 < r < 1 and X - v - A, r = 0 4 0 < r < 1 A 4+i r = 1 The hatted values of“x”and“X”at the beginning and end of our time marching scheme are the discrete values of“x”and“X”. Then the equation becomes Vo1 < 8xJ{\-x) + 8XJ+It {Axt + Wlgj) + 8xf(l-T) + 8xj + lT AT ^ + **l + \ ~ 8h A/. Sxj + l - Sxf A*. V d* + S*i + l*, + l A _SZ[+Ixl + 1 + *f x, =0 After integrating, the final form of the above equation is given as; XIU*4\faA-\)+\. 8*l{~(^\)-\ S A? iTnİA-*'+Wi*')~*' *^\fyAI*> + Wi*') + *ı 8XN+l^N+\ ~ ° *N+lXN+l ~ 8x[\ + SX\xx =0 Although the nodal values xt and 4 for 2 < i < N do not appear in the equations, their values can be easily obtained after the solution since the element values are just the mean of the nodal values. By discretization and integration, the equation is transformed into the free form from time T and becomes a system of algebraic equations which can be solved by expressing the Jacobian and using a Newton-Raphson solution. A large number of elements can be solved with a very efficient run time on the computer. Examples in this paper have been solved by using Mathematica. The equation can be transformed into matrix form. For notational convience; A -AT^--I j" - 2JV - And it can be written that xuAnd it can be written that S *\u] = \o\ where; S : System Coefficient Matrix U : Unknowns Matrix Therefore coefficient matrix is, [-d a a w a a a w a h ?] a a h a a m a 4 [o] H L [o] [w] b] M M Note that S matrix is a recursive band matrix composed of submatrices. The unknowns matrix, U, is XUl
Benzer Tezler
- Viskoelastik çubukların kuazi-statik ve dinamik analizi
Quasi-static and dynamic analysis of viscoelastic beams
FETHİ KADIOĞLU
- Analysis of dynamic behavior of viscoelastic helicoidal rods with mixed finite element method.
Viskoelastik helisel çubukların dinamik davranışının karışık sonlu elemanlar yöntemiyle analizi.
ÜMİT NECMETTİN ARIBAŞ
Yüksek Lisans
İngilizce
2012
İnşaat Mühendisliğiİstanbul Teknik Üniversitesiİnşaat Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. MEHMET HAKKI OMURTAG
- Eksenel dönel simetrik kabuk problemlerinin dinamik analizi için alternatif çözüm metodu
An alternative solution method for dynamic analysis of axisymmetric shell problems
AHMAD RESHAD NOORI
Yüksek Lisans
Türkçe
2013
İnşaat MühendisliğiÇukurova Üniversitesiİnşaat Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. BEYTULLAH TEMEL
- İki ve üç boyutlu dinamik yapı-zemin etkileşimi problemlerinin sonlu ve sonsuz elemanlar kullanılarak analizi
Analysis of two and three dimensional dynamic soil-structure interaction problems using finite and infinite elements
HÜSEYİN RIZKULLAH YERLİ
Doktora
Türkçe
1998
İnşaat MühendisliğiÇukurova Üniversitesiİnşaat Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. ERHAN KIRAL
- Yapay sinir ağlarında öğrenme algoritmalarının analizi
Analysis of learning algorithms in neural networks
SEVİNÇ BAKLAVACI
Yüksek Lisans
Türkçe
1994
Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve Kontrolİstanbul Teknik ÜniversitesiDOÇ.DR. LEYLA GÖREN