Exact soliton solutions of cubic nonlinear Schrödinger equation with a momentum term
Momentum terimi içeren kübik nonlineer Schrödinger denkleminin soliton tipi çözümleri
- Tez No: 915921
- Danışmanlar: PROF. DR. İLKAY BAKIRTAŞ AKAR
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2024
- Dil: İngilizce
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 83
Özet
Pozitif bilimler arasında pek çok disiplinler arası ilişki bulunmaktadır ve diferansiyel denklemler, matematiğin diğer bilim dallarıyla etkileşimindeki kritik köprülerden birini oluşturur. Son yıllardaki çalışmalarda, doğrusal olmayan dalga problemleri hem teorik hem de uygulamalı bağlamlarda önemli bir ilgi odağı haline gelmiştir. Doğrusal olmayan optik dalga denklemleri, yalnızca yeni tekniklerin geliştirilmesine katkıda bulunmakla kalmaz, aynı zamanda biyoloji, doğrusal olmayan optik ve kuantum fiziği gibi birçok alanda doğanın temel mekanizmalarının anlaşılmasına da olanak sağlar. Bu bağlamda, lokalize doğrusal olmayan dalgalar olan solitonlar, karmaşık doğrusal olmayan sistemlerin çözümlenmesinde güçlü araçlar sunar. Solitonlar, plazma fiziği, doğrusal olmayan optik ve kuantum mekaniği gibi geniş bir bilimsel yelpazede karşımıza çıkar. Optik solitonlar, disiplinler arası bir teori olan soliton teorisinin merkezinde yer aldıkları için özellikle dikkat çekmektedir. Soliton araştırmaları, özellikle veri aktarım teknolojilerinin geliştirilmesi açısından önem arz etmektedir. Kuantum mekaniği ve doğrusal olmayan optikte, parite-zaman simetrisine ( PT -simetrisi) sahip potansiyeller yaygın olarak incelenmektedir. Literatürde, PT -simetrisi içeren doğrusal olmayan Schrödinger (NLS) denklemlerinin kararlılık analizine yönelik birçok çalışma bulunmaktadır. Bu tür denklemler, çeşitli doğrusal olmayan dalga biçimlerini tanımlar ve bu dalgalardan bazıları solitonlar olarak bilinir. Solitonlar, hızlarını ve şekillerini koruyarak ilerleyen lokalize dalgalar olup çarpışmalar sırasında özelliklerini kaybetmezler. Literatürde, ikinci derece dispersiyon terimi ve kübik/kübik-kuintik doğrusal olmayanlık içeren NLS denkleminin analitik ve sayısal çözümleri kapsamlı bir şekilde ele alınmıştır. Bununla birlikte, ikinci derece dispersiyona ek olarak üçüncü derece dispersiyonun etkilerinin incelenmesi, kıtalar arası veri aktarımı gibi problemler için giderek daha fazla önem kazanmıştır. Optik atımların şekillerini ve kararlılıklarını etkileyen diğer bir kritik faktör ise dış optik potansiyellerdir. PT -simetrisi taşıyan potansiyeller, son yıllarda kuantum mekaniği problemlerinde yoğun bir şekilde araştırılmaktadır. Ancak, momentum terimi içeren NLS denklemleri literatürde daha yeni bir çalışma alanı olarak dikkat çekmektedir. Gross-Pitaevskii denklemi, dış potansiyel ve momentum terimi eklenmiş bir NLS denklemi olarak son yıllarda incelenmiştir. Bu çalışmada, PT -simetrisine sahip bir dış potansiyelde momentum terimli ve kübik doğrusal olmayan bir NLS denkleminin soliton çözümleri ve kararlılık analizleri incelenmektedir. İncelenecek model aşağıdaki gibidir: iu_(z) +αu_(xx) −iΓux +φ|u|^2 u+V_(PT) u = 0. Burada z ölçekli yayılma mesafesini, u türevlenebilir, karmaşık değerli, yavaşça artan genliği, u_(xx) kırınımı, Γ sabit bir momentum terimini ve V_(PT) dış potansiyeli temsil eder. Bu çalışmada ele alınan dış potansiyel şu şekilde tanımlanmıştır: V_(PT) = V(x) +iW(x). Burada V(x) çift fonksiyon olarak gerçel kısmı, W(x) ise tek fonksiyon olarak sanal kısmı ifade etmektedir. Bölüm 1'de, soliton kavramı ve bu kavramın diğer bilimsel disiplinlerle ilişkisi ele alınmıştır. NLS denklemi tanıtılarak, bu denklemin momentum terimi ve PT -simetrisi ile genişletilmiş formu sunulmuştur. Literatür taramasının amacı, hipotez ve tez çalışmasının genel hedefleri açıklanmıştır. Ayrıca NLS denklemindeki momentum teriminin etkisi detaylandırılmıştır. Spektral Renormalizasyon (SR) Yöntemi ile PT -simetrik potansiyel ve momentum terimli NLS denkleminin sayısal çözümleri Bölüm 2'de sunulmuştur. SR Yöntemi, iteratif bir Fourier tekniği olup bu çalışmada kullanılan NLS denklemine uyarlanmıştır. Sayısal çözümler, aşağıdaki başlangıç koşulu ile elde edilmiştir: w0 = e^(−x^2). Yakınsama kriteri, |w_(n) − w_(n−1)| < 10^(−12) olarak belirlenmiştir. Ayrıca, elde edilen sayısal çözümler, PT -simetrik potansiyel ve momentum terimli NLS denklemini 10^(−10)'dan daha küçük bir mutlak hata ile sağlamaktadır. Bölüm 3'te momentum teriminin etkisini incelemek amacıyla potansiyel içermeyen NLS denkleminin yapısı analiz edilmiştir. Momentum terimi katsayısı Γ'daki değişikliklerin ve µ yayılma sabitinin farklı değerlerinin soliton yapıları üzerindeki etkisi araştırılmıştır. NLS denkleminin momentum terimi ve PT -simetrik potansiyele sahip kesin çözümleri Bölüm 4'te detaylı bir şekilde incelenmiştir. Bu bölümde, PT -simetrik potansiyelin yapısı oluşturulmuş ve analitik çözümler türetilmiştir. Önerilen çözüm, u(x,z) = f(x)e^(i(µz+g(x))), şeklinde ifade edilmekte olup, burada f(x) ve g(x) iki gerçek değerli fonksiyon olarak tanımlanmıştır. Bu çözüm, PT -simetrik potansiyelin kesin biçiminin belirlenmesine olanak tanımaktadır. Potansiyelin reel ve sanal kısımları sırasıyla şu şekilde elde edilmiştir: V(x) = V0 +V1sech(x) +V2sech^2(x), W(x) = W0sech(x)tanh(x) +W1tanh(x). Burada V(x) bir çift fonksiyon, W(x) ise bir tek fonksiyon olarak PT -simetrik yapıdaki potansiyeli tanımlamaktadır. Elde edilen toplam potansiyel şu şekilde ifade edilmiştir: V_(PT) = V0 +V1sech(x) +V2sech^2(x)+i[W0sech(x)tanh(x) +W1tanh(x)]. Sayısal çözümler ile analitik çözümler karşılaştırılmış ve bu çözümler üst üste çizilerek görselleştirilmiştir. İlgili grafikler, SR yönteminin bu tür denklemler için uygun bir çözüm yöntemi olduğunu açıkça göstermektedir. Analitik ve sayısal çözümler arasındaki güçlü uyum, yöntemin doğruluğunu ve etkinliğini doğrulamaktadır. Momentum terimi ve PT -simetrik potansiyele sahip NLS denkleminin kararlılık analizi Bölüm 5'te ele alınmıştır. Bu bölümde, elde edilen solitonların kararlılığı, ayrık adımlı Fourier metodu kullanılarak analiz edilmiştir. Bu yöntem, doğrusal olmayan stabilite özelliklerini değerlendirmede etkili bir yaklaşımdır. Ek olarak, lineer stabilite analizi yapılmış ve bu amaçla lineer spektrum analizinden yararlanılmıştır. Çeşitli Γ değerleri için lineer spektrumlar incelenmiş ve momentum terimi katsayısı Γ'daki küçük bir artışın dahi solitonları kararsız hale getirdiği gözlemlenmiştir. Ayrıca potansiyelin sanal kısmındaki artış, solitonların kararsızlığını artırırken, reel kısmındaki artış daha kararlı yapılar ortaya çıkarmaktadır. Elde edilen sonuçlar, Bölüm 6'da özetlenmiştir. Ayrıca, gelecekte yapılabilecek olası araştırmalar hakkında kısa bir tartışmaya yer verilmiştir. Tüm sayısal analizler ve grafikler, MATLAB2023® yazılımı kullanılarak elde edilmiştir.
Özet (Çeviri)
There are various interconnections between the positive sciences, with differential equations serving as a fundamental bridge linking mathematics to other scientific disciplines. Nonlinear wave phenomena have recently gained considerable attention due to their theoretical significance and applied relevance. Nonlinear optical wave equations not only facilitate the development of advanced techniques but also play a crucial role in elucidating natural phenomena across diverse fields, including biology, nonlinear optics, and quantum physics. Among these, solitons—localized nonlinear waves—stand out as valuable tools for understanding complex nonlinear systems. Solitons are widely studied in areas such as plasma physics, nonlinear optics, and quantum mechanics. Optical solitons, in particular, have drawn significant interest due to the inherently interdisciplinary nature of soliton theory, making it a pivotal topic for advancing technologies like high-speed data transmission. The external potential strongly influences the shape and stability of optical pulses. In quantum mechanics and nonlinear optics, potentials with parity-time symmetry (PT -symmetry) are frequently utilized. Numerous studies in the literature examine the stability of nonlinear Schrödinger (NLS) equations with PT -symmetry. These equations admit various nonlinear wave solutions, including solitons, which are localized waves that propagate without distortion. Solitons demonstrate remarkable resilience during collisions, retaining their properties even after interacting with other waves. This work investigates the soliton solutions and their stability in an NLS equation incorporating a momentum term and cubic nonlinearity under an external PT -symmetric potential. The governing equation is expressed as: iu_(z) +αu_(xx) −iΓu_(x) +φ|u|^2u+V_(PT) u = 0. Here, z denotes the scaled propagation distance, u is the differentiable complex-valued slowly varying amplitude, u_(xx) represents diffraction, Γ is the momentum term taken as a constant, and V_(PT) denotes the external potential. The PT -symmetric potential is defined as: VPT = V(x) +iW(x)=V0 +V1sech(x) +V2sech^2(x)+i[W0sech(x)tanh(x) +W1tanh(x)]. Here, V(x) and W(x) represent the real and imaginary components of the potential, where V(x) is an even function and W(x) is an odd function. A detailed introduction to solitons and their interdisciplinary significance is provided in Chapter 1. The NLS equation is introduced, along with its recent developments, including the momentum term and PT -symmetry. The chapter also outlines the research objectives and the thesis hypothesis, emphasizing the importance of the momentum term in the NLS equation. Chapter 2 describes the Spectral Renormalization (SR) Method, an iterative Fourier technique used to numerically solve the NLS equation with a momentum term and a PT -symmetric potential. The method is adapted to the problem at hand, and numerical solutions are obtained. In Chapter 3, the structure of the NLS equation without potential is analyzed to investigate the effect of the momentum term. Variations in soliton structures are examined in relation to changes in the momentum term coefficient, Γ, and the propagation constant, µ. Chapter 4 explores exact solutions of the NLS equation with a momentum term and PT -symmetric potential. Using the ansatz u(x,z) = f(x)e^i(µz+g(x)), where f(x) and g(x) are real-valued functions, analytical solutions are derived. These solutions are compared with the numerical results, which shows excellent agreement. The chapter also verifies the parity-time symmetry properties of the potential, confirming that its imaginary part is odd and its real part is even. Chapter 5 focuses on the stability analysis of soliton solutions. The Split-Step Fourier method is employed to investigate nonlinear stability, while linear stability is examined through the linear spectrum. The results indicate that the solitons become unstable with even slight increases in the momentum term coefficient, Γ. Additionally, enhancing the complex component of the potential increases instability, whereas increasing the real component improves stability. The acquired results are summed up in Chapter 6. Moreover, a brief discussion on potential future research is included. All numerical results were obtained using MATLAB2023®.
Benzer Tezler
- Optical solitons for the higher-order cubic-quintic nonlinear Schrödinger equation with a PT-symmetric potential
PT-simetrik bir potansiyel içeren doğrusal olmayan yüksek mertebe kübik-kuintik Schrödinger denkleminde optik solitonlar
AYŞE ŞEBNEM YAR
Yüksek Lisans
İngilizce
2017
Matematikİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. İLKAY BAKIRTAŞ AKAR
- Exact soliton type solutions of higher order dispersive cubic-quintic nonlinear schrödinger equation with apt -symmetric potential
Pt-simetrik bir potansiyel içeren yüksek mertebedendispersif kübik-kuintik nonlineer schrödınger denklemininsoliton tipi kesin çözümleri
HANDENUR ESEN
Yüksek Lisans
İngilizce
2019
Matematikİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. İLKAY BAKIRTAŞ AKAR
- Exact soliton solutions of cubic nonlineaar schrödinger equation with third order dispersion
Üçüncü mertebeden dispersiyon içeren kübik nonlineer schrödinger denkleminin soliton tipi çözümleri
CANAN SİMGE TOKATLI
Yüksek Lisans
İngilizce
2019
Matematikİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. İLKAY BAKIRTAŞ AKAR
- Optiksel soliton lineer olmayan kesirli diferansiyel denklemlerin çözümleri
Solution of optical soliton nonlinear fractional differential equations
SİBEL ŞEHRİBAN ATAŞ
- B-spline fonksiyonlar yardımıyla sonlu elemanlar yönteminin bazı uygulamaları
Some applications of finite element method with B-spline functions
IŞIL ÖZGE KILINÇ
Yüksek Lisans
Türkçe
2021
MatematikKütahya Dumlupınar ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. AHMET BOZ