Geri Dön

Deterministic state transformations in the resource theory of superposition

Süperpozisyon kaynak teorisinde deterministik durum dönüşümleri

PDF İndir

  1. Tez No: 677245
  2. Yazar: HÜSEYİN TALHA ŞENYAŞA
  3. Danışmanlar: PROF. DR. ALİ YILDIZ
  4. Tez Türü: Yüksek Lisans
  5. Konular: Fizik ve Fizik Mühendisliği, Physics and Physics Engineering
  6. Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
  7. Yıl: 2021
  8. Dil: İngilizce
  9. Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
  10. Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
  11. Ana Bilim Dalı: Fizik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
  12. Bilim Dalı: Fizik Mühendisliği Bilim Dalı
  13. Sayfa Sayısı: 71

Özet

Kuantum mekaniği çok küçük ölçekte gerçekleşen ve klasik fizik çerçevesinde açıklanamayan olayları açıklamak adına ortaya çıkmış bir kuram, bir çatı yapıdır (framework). Bu çok küçük ölçekte gerçekleşen olaylar ve olaya konu olan parçacıklar, Hilbert uzayı olarak adlandırılan kompleks bir vektör uzayında yaşayan vektörler ve bunlara etki eden operatörler ile temsil edilmektedir. Bu uzayda bulunan ve fiziksel durumu temsil eden vektörlere kuantum durumu (state) denilmektedir. Herhangi bir ölçüm gerçekleşmediği takdirde, bir durum başka bir duruma üniter dönüşümler ile evrilmektedir. Her ne kadar bu durumların evrimi deterministik olsa da, bu durumlar üzerinde yapılacak herhangi bir ölçüm determistik olmayan bir süreç ile sonuçlanabilmektedir. Bunun temel sebebi ise, kuantum mekaniğinde incelenen sistemi temsil eden bir durumun, ölçüm ile gözlemlenebilecek durumların bir süperpozisyonu (superposition) halinde olabilmesidir. Süperpozisyon ilkesi, kuantum mekaniğini klasik fizikten ayıran özelliklerden biri olup, klasik fizik kapsamında gerçekleştirilemeyecek bir takım operasyonların gerçekleştirilebilmesine olanak sağlayan olgulardan biridir. Kuantum mekaniksel sistemler, bu bağlamda klasik fizikte karşılığı olmayan ilintiler (non-classical correlations) içermektedir. Dolanıklık (entanglement), uyuşmazlık (discord) gibi ilinti örnekleri, kuantum ışınlama, yoğun kodlama vb. gibi klasik fizik ile gerçekleştirilemeyecek bilgi işlem operasyonları gerçekleştirmek için kullanılmaktadır. Örneğin, kuantum ışınlama operasyonunu gerçekleştirmek için maksimal dolanıklığa sahip bir kuantum durumu gerekmektedir. Bu operasyon maksimal dolaşık olmayan bir durum ile gerçekleştirildiği takdirde başarısızlık ile sonuçlanabilmektedir. Bu ilintilerin kuantum mekaniksel bir operasyonu başarı ile gerçekleştirmek veya başarısızlık şansını azaltmak adına kullanılması, onları bir kaynak statüsüne getirmektedir. Kuantum kaynak teorisi (quantum resource theory), kuantum bilgi işlemede kullanılabilecek kaynakları tespit etme, sınıflandırma ve hiyerarşik bir yapıya sokma amacı ile ortaya çıkmış bir alt çatı yapıdır. Dolanıklık kaynak teorisi, eşevrelilik (coherence) kaynak teorisi vs. gibi konusu olan kaynak türüne bağlı olarak kendi içinde dallanmaktadır. Bu çalışmada süperpozisyon kaynak teorisi olarak bilinen, eşevrelilik kaynak teorisinin bir genelleştirmesi olan kaynak teorisinin deterministik durum dönüşümleri ve maksimal durumları incelenmektedir. Bir kaynak teorisi, kullanılması serbest olan durumların ve serbest operasyonların tanımlanması ile oluşturulur. Daha sonra bu operasyonlar aracılığı ile ne gibi dönüşümlerin gerçekleştirilebileği incelenir. Süperpozisyon kaynak teorisinde serbest durumlar, $\{\ket{c_i}\}_{i=1}^d$ lineer bağımsız bir baz vektör kümesi olmak üzere $\rho = \sum_i \rho_i \ketbra{c_i}{c_i}$ formunda yazılabilecek tüm durumlar kümesi olarak verilmektedir. Serbest operasyonlar ise oluşturulan bu serbest durumlar kümesini kendisine veya alt kümesine götüren operasyonlar olarak tanımlanmaktadır. Bu küme dışında kalan, örneğin $\ket{\psi} = \psi_1 \ket{c_1} + \psi_2 \ket{c_2} + \dots$, durumlar serbest olmayan, kaynak olarak alınan durumdur. Süperpozisyon kaynak teorisi çerçevesinde cevaplanmamış sorulardan biri iki kaynak durum arasında determistik bir dönüşüm gerçekleştirilebilip gerçekleştirilemeyeceğidir. Bir diğer soru ise bütün durumlara deterministik olarak dönüştürülebilecek bir maksimal durumun var olup olmadığı problemidir. Bu çalışmada bu sorular kısmi olarak cevaplanmış olup, alanda yapılacak ilerleyen çalışmalar için bir başlangıç noktası oluşturulmuştur. Bu tezde öncelikle iki ve üç boyutlu kuantum sistemlerinde, saf (pure) kaynak durumları arasında serbest operasyonlar aracılığı ile determistik dönüşümler incelenmiştir. Daha sonra ise bütün saf durumlara dönüşebilen maksimal durumlar incelenmiştir. Bu iki alt başlık tezin özgün içeriğini oluşturmaktadır. Özgün çalışmanın içeriği dört önerme cümlesi ile sunulmuştur. Birinci önerme cümlesinde iki ve üç boyutlu saf durumların deterministik dönüşümü için yeter şart verilmiştir. Bu yeter şart iki alt şarttan oluşan bileşik bir önermedir. Bu şartlar öncelikle en genel iç çarpım değerlerini (inner/scalar product) kapsayacak şekilde verilmiştir (Baz vektörlerinin arasındaki iç çarpım değerleri bir Gram matrisi ile temsil edilebilir). En genel iç çarpım değerleri için bu şartlar iki yönden stokastik matris (doubly stochastic matrix) kullanılarak ifade edilmiştir. İki yönden stokastik matris doğrudan majorizasyon teorisi ile ilgili bir matris olup, eşevrelilik kaynak teorisinde de deterministik dönüşümler için gerek ve yeter şartı ifade etmekte kullanılmaktadır. Süperpozisyon kaynak teorisi ile eşevrelilik arasındaki fark ise bu matrisin etki ettiği vektörlerin farkından kaynaklanmaktadır. Süperpozisyon kaynak teorisinde bu vektörlerin bileşenleri reel sayılara dönüştürülemediği için majorizasyon teorisi doğrudan ifade edilememektedir. Ancak, deterministik dönüşümlerin sadece bileşenleri reel olan vektörler arasında gerçekleştirildiği takdirde bu şartların majorizasyon ile ifade edilebileceği gösterilmiştir. Bileşke şartların ikincisi ise, eşevrelilik kaynak teorisinde doğrudan karşılığı bulunmayan, ortogonal olmayan baz vektörlerinin iç çarpımlarından gelen katkılar dolayısıyla ortaya çıkan bir şarttır. Bu şart ortogonal durumda çözümü bayağı (trivial) olarak sağlanan denklemler haline gelmektedir. Bu bağlamda birinci önerme cümlesi eşevrelilik kaynak teorisinin deterministik dönüşüm şartını özel bir durum olarak içermektedir. Bu durum da süperpozisyon kaynak teorisinin, eşevrelilik kaynak teorisini genelleyici niteliğine katkı sağlamaktadır. İkinci, üçüncü ve dördüncü önerme cümleleri maksimal durumlar bağlamında sunulmuştur. İkinci önerme cümlesinde maksimal durumunun sağlaması gereken bir gerek şart verilmiştir. Bu gerek şart bir durumun verilen süperpozisyon kaynak teorisini temsil eden Gram matrisinin en küçük özdeğerine karşılık gelen özvektörü değilse, maksimal durum olamayacağını ifade etmektedir. Ayrıca bu gerek şart, aday maksimal durumların nasıl bir formda olması gerektiğini dikte etmektedir. Üçüncü önerme cümlesi, iki boyutlu bir sisteminin her iç çarpım durumuna karşılık gelen bir maksimal durum bulunduğunu ifade etmektedir. Örneğin, $\lambda$ iç çarpım değerlerini temsil eden Gram matrisinin en küçük özdeğeri ve $\braket{c_1}{c_2} = e^{i\omega}\mu$ olmak üzere, $\ket{\psi_1} = \sqrt{1 / (2\lambda)}(\ket{c_1} - e^{-i\omega}\ket{c_2}$ durumu $0 \leq \mu < 1$ iç çarpım aralığı için maksimal durumdur. $\ket{\psi_2} = \sqrt{1 / (2\lambda)}(\ket{c_1} + e^{-i\omega}\ket{c_2}$ durumu ise $-1 < \mu \leq 0$ iç çarpım aralığı için maksimal durumdur. Ortonormal durumda Gram matrisi birim matrisine eşittir ve bütün özdeğerleri bir değerine sahip olmaktadır. Bu durumda görülmektedir ki verilen maksimal durumlar, eşevrelilik kaynak teorisinin maksimal durumlarına dönüşmektedir. Bu çalışmanın eşevrelilik ile süperpozisyon kaynak teorileri ile kurduğu sürekli bağıntı burada da ortaya çıkmaktadır. Bu süreklilik sayesinde süperpozisyon kaynak teorisinin eşevrelilik kaynak teorisini genelleme bağlamında sahip olduğu nitelik sayısı tekrar artmaktadır. Dördüncü ve son önerme cümlesinde, yüksek boyutlu sistemlerin maksimal durumları ifade edilmiştir. Yüksek boyutlardaki bu çalışma bazı matematiksel zorluklar nedeni ile sadece reel ve eşit iç çarpım değerleri için ifade edilmiştir. İki boyutlu sistemlerin maksimal durumlarının aksine, buradaki maksimal durumlar sadece reel ve eşit olan iç çarpımların belirli bir aralığı için verilmiştir. Örneğin, $d$ boyutlu bir sistemde iç çarpımlar eşit $(\braket{c_i}{c_j} = \mu, i \neq j)$ ve $1/(1-d) < \mu \leq 0 $ aralığında olmak üzere $\ket{\psi} = \sqrt{1/d\lambda} \sum_{i=1}^d \ket{c_i}$ durumu verilen iç çarpım durumlar için bir maksimal durumdur. İki boyutlu sistemlerde olduğu gibi bu durum da ortogonal durumda eşevrelilik kaynak teorisinin maksimal durumunu vermektedir. Verilen son üç önerme, iki boyutlu sistemlerin hangi iç çarpım değerleri için maksimal durumlara sahip olup olmadığı sorusunu tam olarak cevaplamakta, yüksek boyutlarda ise kısmı olarak cevaplamaktadır. Eşevrelilik ve süperpozisyon kaynak teorilerinin bir Gram matrisi ile birbirine bağlanması, gelecekte yapılacak çalışmalar için bir referans oluşturmaktadır.

Özet (Çeviri)

In this thesis, we investigated deterministic transformations of the resource theory of superposition including maximal states. We fulfilled the gap between the resource theory of coherence and the resource theory of superposition in the context of deterministic transformations and maximal states by establishing a continuous relation by means of a Gram matrix. We present our work as four propositions. The first proposition states a sufficient condition for a deterministic transformation in two and three level systems by means of superposition-free operations of the resource theory of superposition. This sufficient condition for the deterministic transformations is a compound proposition of two subconditions and both subconditions are expressed in terms of a special matrix called a doubly stochastic matrix. Doubly stochastic matrices are used in various resource theories such as bipartite entanglement and coherence to express the conditions for deterministic transformations. In our work, a doubly stochastic matrix is used as a building block in the generalization of the resource theory of coherence. We first show that vectors subject to the doubly stochastic matrix differ from the vectors in the coherence theory in general. After that we show that in the orthonormal case one recovers the resource theory of coherence. Moreover, it was shown that one cannot introduce the majorization theory directly in the resource theory of superposition in contrast to the resource theory of coherence because of the fact that the vectors subject to the doubly stochastic matrix are not necessarily real in general. However, it is possible to introduce the majorization theory if one considers only the transformations between states having only real components in a real scalar product case of linearly independent basis states. It was also shown that one requires an additional condition (which we call condition on completeness (CoC)) in addition to the majorization condition which is stated as the second subcondition. However in the orthogonal case the additional condition is satisfied trivially. Therefore; it is only required to satisfy the majorization as desired. The CoC can be interpreted in the context of positive definiteness. In contrast to the resource theory of coherence, in the resource theory of superposition a pair of vectors satisfying the majorization condition is not enough for the existence of a trace preserving operation that transforms the initial state to the target state with unit probability. However, if a pair of vectors satisfy both conditions, then the transformation can be completed to a trace preserving operation that transforms the initial state to the target state with unit probability by introducing additional Kraus operators. The CoC guarantees that such an operation can be accomplished. The second proposition shows that if a state is not an eigenvector corresponding to the minimum eigenvalue of the Gram matrix which represents the scalar product setting, then it cannot be a maximal state. This proposition also provides a way of representing candidate maximal states of any dimension. It is also shown that representation of candidate maximal states reduces to the maximal states of coherence as a result of the continuous picture provided by the Gram matrix. The third proposition provides the maximal states of two level systems for arbitrary settings. In the resource theory of coherence, the relative phases can be eliminated by unitary incoherent operations, and hence states that differ only by relative phases are equal. However in contrast to this situation, in the resource theory of superposition the relative phase terms cannot be changed freely in general. Therefore; there can be at most one maximal state for each setting. Finally the fourth proposition provides the maximal states for specific intervals of a real and equal scalar product setting.

Benzer Tezler

  1. Tez No

    318359

    Elektrik güç sistemi koruma analizinde petri ağları kullanımı ve uygulamaları

    Usage and applications of petri nets in electric power system protection analysis

    NİHAT PAMUK

    Doktora

    Türkçe

    Türkçe

    2012

    Elektrik ve Elektronik MühendisliğiSakarya Üniversitesi

    Elektrik-Elektronik Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    YRD. DOÇ. DR. YILMAZ UYAROĞLU

  2. Tez No

    255260

    Entanglement transformations

    Dolanıklık dönüşümleri

    SEÇKİN KINTAŞ

    Yüksek Lisans

    İngilizce

    İngilizce

    2009

    Bilim ve TeknolojiOrta Doğu Teknik Üniversitesi

    Fizik Ana Bilim Dalı

    DOÇ. DR. SADİ TURGUT

    PROF. DR. NAMIK KEMAL PAK

  3. Tez No

    66758

    Çok boyutlu kaotik sistemler ile şifreleme

    Encryption with multi-dimensional chaotic systems

    ASİYE YİĞİT

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    1997

    Elektrik ve Elektronik Mühendisliğiİstanbul Teknik Üniversitesi

    Elektronik ve Haberleşme Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    DOÇ. DR. CÜNEYT GÜZELİŞ

  4. Tez No

    539541

    Transformations of non-classically correlated states

    Klasik olmayan ilintili durumların dönüşümleri

    GÖKHAN TORUN

    Doktora

    İngilizce

    İngilizce

    2019

    Fizik ve Fizik Mühendisliğiİstanbul Teknik Üniversitesi

    Fizik Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. ALİ YILDIZ

  5. Tez No

    688666

    Development of control strategies in smart microgrids

    Akıllı mikro-şebekelerde kontrol stratejilerinin geliştirilmesi

    YELİZ YOLDAŞ

    Doktora

    İngilizce

    İngilizce

    2021

    Elektrik ve Elektronik MühendisliğiAbdullah Gül Üniversitesi

    Elektronik-Bilgisayar Ana Bilim Dalı

    DOÇ. DR. AHMET ÖNEN

Geri Dön