A study of D26-D3 strings and anyon states
D26-D3 sicimler üzerine bir çalışma ve anyon durumları
- Tez No: 677467
- Danışmanlar: DOÇ. DR. MEHMET ÖZKAN
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Fizik ve Fizik Mühendisliği, Physics and Physics Engineering
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2021
- Dil: İngilizce
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Fizik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Fizik Mühendisliği Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 126
Özet
Sicim teorisi günümüzün en önemli bilimsel teorilerinden biridir. Bu teori kapsamında evreni oluşturan temel bileşenler, noktasal parçacıklar yerine sicimler olarak ele alınır. Esasında, sicim teorisi ilk olarak proton gibi parçacıkların kendi aralarındaki etkileşimleri açıklayabilmek için ortaya atılmış ve bu bağlamda bu etkileşimler(ya da kuvvetler) sicimler aracılığıyla yorumlanmaya çalışılmıştır. Ne var ki kısa zamanda, sicim teorisi çok daha fazlasını vaat eden bir teoriye dönüşmüş ve evrenin büyük birleşik teorisi olmaya en büyük adaylardan biri haline gelmiştir. Başka bir deyişle, fizikçiler sicim teorisinin evrendeki temel parçacıklar ile kuvvetleri ve bunların etkileşimlerini açıklamasını ummaktadır ve bu doğrultuda çalışmalarını sürdürmektedir. Elimizde sicim teorisini destekleyen hemen hemen hiç deneysel kanıt olmasa da teorinin matematiksel alt yapısı oldukça zariftir ve fizikçilere çok büyük bir potansiyel sunmaktadır. Sicim teorisinden çıkan en önemli özelliklerden biri teorinin önerdiği ekstra boyutlardır. Bizim algımızla pek uyuşmayan bir şekilde, sicim teorisi klasik ve“sıkıcı”bir dört boyutlu uzay-zaman önermez. Hatta bu dört boyutlu uzay-zamanda çalışmaz bile. Bunun yerine, teorinin kuantizasyonu belli bir kritik boyutta geçerlidir ki bu konu bu tezin temel başlıklarından birini oluşturur. Konuya temel prensiplerden başlayıp adım adım ilerleyeceğiz. Sonunda bahsi geçen bu kritik boyuta ulaşacağız. Sicimlerin kuantizasyonunun bu kritik boyutta çalışmasının sebebi Lorentz invaryantlığın yalnızca bu boyutta korunmasıdır. Her ne kadar bu aşamada bir istisna olsa da, ki bu konu da tezde işlenen başlıklardan birisidir, sicimleri bu kritik boyut dışında kuantize etmek mümkün değildir. Henüz bahsettiğimiz bu istisnada, kuantizasyonu tamamlayıp durumları belirlediğimizde, bir quasi(sözde) parçacık türü olan anyonlar ile karşılaşacağız. Her ne kadar bu tezin kapsamı içine girmese de anyonlar abelien ve abelien olmayan şeklinde iki temel gruba ayrılır ve abelien anyonlar hali hazırda gözlemlenmiştir. Klasik olarak, çalışmaya özel görelilik teorisinin kısa bir özeti ile başlayacağız çünkü Albert Einstein'dan bize miras kalan bu hediye çoğu çalışmamızın temelini oluşturur. Özel göreliliğin çok iyi bilinen varsayımlarını verip uzay-zaman koordinatlarını, uzay-zaman metriğini ve Lorentz dönüşümlerini tanıtacağız. Ek olarak öz zaman ve 4-vektör tanımlarını vereceğiz. Ardından sicimlerin kuantizasyonu için oldukça kullanışlı bir sistem olan ışık-konisi(light-cone) koordinatlarına geçeceğiz. Işık-konisi koordinatlarının uzay-zaman koordinatlarından yola çıkarak nasıl belirlendiğini gösterip ışık-konisi metriğini ve ışık-konisi vektörlerini yazacağız.\par Her şeye rağmen, sicimleri incelemeye başlamadan önce metotlarını ve sürecini baz alabileceğimiz bir yapıyı inceleyeceğiz önce, yani nokta parçacığı. Sicimler için yapacağımız işlemler ya da en azından izleyeceğimiz yol, nokta parçacık sistemi ile hemen hemen aynı olacak. Sistemin eylemini yazıp bu eylemden hareket denklemlerini türeteceğiz. Ayrıca yazdığımız eylemin yeniden parametrelendirme altında değişmez kaldığını göstereceğiz. Bunun ardından, sistemi kuantize ederken ışık-konisi koordinatlarını ve ışık-konisi ayarını kullanacağız. Kuantizasyon süreci oldukça bilindiktir: Schrodinger ve Heisenberg operatörlerini tanımlayıp bu operatörlerin komütasyon bağıntılarını ışık-konisi metriğini kullanarak belirleyeceğiz. Buradan Hamiltonyeni yazıp Heisenberg hareket denklemlerini bulacağız. Sonunda durumları ve zamana bağlı durumları verip bu bölümü momentum uzayı Schrodinger denklemi ile bitireceğiz. Sicimler ile ilgili çalışmamıza en temel düzeyden başlayacağız. Göreceğiz ki, nokta parçacıkların aksine sicimler iki boyutlu bir yüzey tararlar ve bu yüzeye world-sheet denir. Eylemi belirlemek için alan fonksiyonelini hesaplayacağız ve tıpkı nokta parçacıkta olduğu gibi eylemin yeniden parametrelendirme altında değişmez kaldığını göstereceğiz. Bunu takiben $X^\mu$ sicim koordinatlarını ve $(\tau,\;\sigma)$ world-sheet koordinatlarını tanımlayıp bunların anlamlarını ve birbirleriyle olan ilişkilerini açıklayacağız. Ardından, Nambu-Goto eylemini belirleyip yine hareket denklemlerini hesaplayacağız. Ek olarak, yaptığımız hesaplamalar bizi Dirichlet sınır şartı ve serbest uç nokta sınır şartı denen iki sınır şartına götürecek. Bir sonraki adımda, her zamanki şekilde, Lagrangiyen'i değişmez bırakan bir transfromasyon seçerek korunumlu akımları hesaplayacağız ve bu akımları kullanarak korunumlu yükleri bulacağız. Daha sonra Lorentz akımlarını ve Lorentz yüklerini hesaplamak amacıyla Lorentz dönüşümlerinin sonsuz küçük formunu kullanarak Lorentz üreteçlerini ortaya koyacağız. Tam bu noktada, ışık-konisi koordinatlarına geçip göreli sicimleri ışık-konisi koordinatları altında inceleyeceğiz. Öncelikle konuyu genel ayarlarda ele alacağız ve burada yaptığımız hesaplamalar, bizi çok basit bir şekilde çözebileceğimiz dalga denklemlerine götürecek. Bu dalga denklemlerinin çözümü neticesinde ve bazı tanımlamaların da sonucunda ışık-konisi sicim koordinatlarının bileşenlerinin ve bu bileşenlerin türevlerinin toplam açılımlarını yazabilecek duruma gelmiş olacağız. Burada, sicim teorisinde çok önemli bir yere sahip olan enine Virasoro modunun da tanımını vereceğiz. Son olarak ise sicim kütlesinin hesabıyla kuantizasyona geçeceğiz. Kuantizasyon esnasında izleyeceğimiz süreç nokta parçacık konusu ile hemen hemen aynı olacak. Schrodinger ve Heisenberg operatörlerini belirleyip komütasyon bağıntılarını yazacağız. Hamiltonyeni hesaplayıp Heisenberg hareket denklemlerini türeteceğiz. Nokta parçacıktan farklı olarak Hamiltonyen ile enine Virasoro operatörü arasındaki ilişkiden de burada bahsedeceğiz. Ayrıca yine burada toplam açılımlarındaki modları operatörlere çevirerek daha yakından inceleyip onların komütasyon bağıntılarını da hesaplayacağız. Son olarak da bu modları yok etme ve yaratma operatörleri ilişkilendireceğiz. Ardından bulduğumuz eylemin harmonik salınıcı eylemine denk olduğunu göstereceğiz. Daha sonra yapacağımız adım ise enine Virasoro operatörleri yakından incelemek olacak. Bu operatörlerin birbirleriyle ve diğer operatörler ile komütasyonlarını detaylı bir şekilde çalışıp sicimler için Lorentz üreteçlerini belirleyebilecek duruma gelmiş olacağız. Bu üreteçlerden özellikle Lorentz dönüşümlerini üreten $M^{-I}$ oldukça önemlidir. Bahsedeceğimiz gibi bu üretecin kendisi ile komütatörünün 0 olmaması kuantizasyonun Lorentz değişmezliğinin kırılması anlamına gelir. Sıfıra eşit olması gereken bu komütatör bize sicim teorisinin önerdiği uzay-zaman boyutunu verir. Son olarak ise numara operatörünü tanımlayıp kütle-kare operatörünü kullanarak durum uzayını belirleyip buradaki farklı durumların kütlelerini hesaplayacağız. Burada özellikle negatif kütle-kareli takyon ile kütlesiz foton durumlarını inceleyeceğiz. Yukarıda bahsettiğimiz komütatör bize önemli bir durumun işaretini verir. Işık-konisi koordinatlarına geçtiğimizde herhangi ikinci bir $I$ koordinatı olmadığından bahsi geçen komütatör otomatik olarak 0 olur. Yani 2+1 boyutlu bir uzay-zamanda, Lorentz invaryantlığın kırılmasından kaçınarak tutarlı bir kuantizasyon yazabiliriz. Son bölüm tamamen bu konu ile ilgilidir ve bu kuantizasyon sonuçta bizi ilginç bir sonuca götürür. Son kısımda bulacağımız 2+1 boyutlu sicim durumlarında anyonlardan kaçış yoktur.
Özet (Çeviri)
The string theory is one of the most important scientific theories of our time. It interprets the components of the universe as strings instead of point-like particles. One of the most important results of string theory is the extra dimensions suggested by the theory. String theory does not offer a classic,“boring”4-dimensional spacetime, it does not even work in 4-dimensional spacetime. In fact, this is one of the main topics of this thesis. This extra dimension is called the critic dimension and the reason why string theory work is the Lorentz invariance of the theory is valid only in this critic dimension. Although there is an exception, which is another main topic of this thesis, there is no way to quantize strings out of this critic dimension. We will start our study with a brief summary of special relativity because this gift inherited from Albert Einstein, forms the basis of most of our works. After we give several definitions and examine several properties of special relativity we will introduce the light-cone system which is a very useful way to quantize strings. We will derive light-cone metric and light-cone vectors and see how we can use them. After the introduction is finished, we will look at the point particle case as a basis for our further work on strings. The process we will follow in the string case will be almost the same as in the point particle case. We will write action and determine the equations of motion. Then we will quantize point particle in a usual way by using the light-cone coordinates and the light-cone gauge. In quantization, we will determine Schrodinger and Heisenberg operators and their commutators in light-cone coordinates. We will specify the Hamiltonian and find Heisenberg equations of motion.\par We will start working with strings from the most basic level. We will see that strings sweep a 2-dimensional surface and this surface is called the world-sheet. As we said, the process here is almost the same with point particle. We will define string coordinates and world-sheet coordinates with their meanings and relationships. Then we will calculate area functional that will help us to specify the action. These calculations will lead us to Nambu-Goto action. From this action, in other words, Lagrangian, we will derive equations of motion and we will see that there are two boundary conditions. In the next step, we will evaluate conserved currents and conserved charges in a usual way. Furthermore, we will use the infinitesimal form of Lorentz transformations to find conserved Lorenz currents and charges. After that, we will use general gauges and show that we have nothing more than wave equations. The solution of the wave equations will allow us to write string coordinates as Fourier expansions in light-cone coordinates. Then we will finally give an expression to a very important quantity that is called transverse Virasoro mode. The process of quantization is, again, almost the same as the point particle case. We will replace the modes that appear in Fourier expansion and the transverse Virasoro mode to operators. We will write Schrodinger and Heisenberg operators and their commutation relations. Following that, we will determine the Hamiltonian and Heisenberg equations of motion. We will also find the commutators of operators appearing in Fourier expansions and related them with creation and annihilation operators. In fact, we will show that our action is equivalent to harmonic oscillator action. Next, we will examine the transverse Virasoro operators in detail and calculate their commutation relations. This will lead us to Lorentz generators. Among all the generators we will interest in $M^{-I}$ and this generators commutator with itself will give us the dimension of the spacetime since this generator generates Lorentz transformations and it means that its commutator with itself is zero is our theory is Lorent invariant. The commutator of $M^{-I}$ will say another important thing. In 2+1-dimensional spacetime, we have just one transverse coordinate and it means the commutator mentioned above will be automatically zero. Hence we can write a consistent quantum theory without any break in Lorentz invariance for strings in 2+1-dimensional spacetime. However, after calculations, we will arrive at an interesting result. There are anyons in 2+1-dimensional state space and there is no way to avoid them.
Benzer Tezler
- Çeşitli kademelerdeki çerezlik kabaklarda (Cucurbita pepo L.) morfolojik karakterizasyon
Morphological characterization of S0-S1 lines of seed pumpkins (Cucurbita pepo L.)
GİZEM KAYA
Yüksek Lisans
Türkçe
2018
ZiraatErciyes ÜniversitesiBahçe Bitkileri Ana Bilim Dalı
PROF. DR. OSMAN GÜLŞEN
- Liapunovun ikinci yöntemiyle güç sistemlerinin geçici hal kararlılık analizi
Transient stability analysis of power systems with Liapunov's second method
CENGİZ BEKTAŞ
Yüksek Lisans
Türkçe
1990
Elektrik ve Elektronik Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiPROF.DR. M. EMİN TACER
- Bacillus subtilis ve Neurospora crassa suşları ile bazı benzoksazol türevlerinin mutajenik potansiyellerinin karşılaştırılması
Comparision mutagenic potantials of some benzoxazole derivatives by Bacillus subtilis and Neurospora crassa strains
GÜLSEREN ŞEN
Yüksek Lisans
Türkçe
2005
BiyolojiHacettepe ÜniversitesiMoleküler Biyoloji ve Genetik Ana Bilim Dalı
PROF.DR. NURAN DİRİL
- A computational chemistry study on the interaction between hydrogenated borophene and amino acids
Hidrojenlenmiş borofen ve amino asitler arasındaki etkileşim üzerine hesaplamalı kimya çalışması
YAĞMUR BOZKURT
Yüksek Lisans
İngilizce
2022
Kimyaİzmir Yüksek Teknoloji EnstitüsüKimya Ana Bilim Dalı
PROF. DR. NURAN ELMACI IRMAK