Untersuchung der neigungs- und exzentrizitaetsfunktionen und darstellung des gravitationspotentials der erde in kepler-elementen
Yörünge eğimi ve eksentrisite fonksiyonlarının kullanımlarının araştırılması ve yerçekimi potansiyelinin kepler elemanları cinsinden hesaplanması
- Tez No: 713781
- Danışmanlar: PROF. DR. BERNHARD HECK
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Jeodezi ve Fotogrametri, Geodesy and Photogrammetry
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 1999
- Dil: Almanca
- Üniversite: Karlsruher Institut für Technologie
- Enstitü: Yurtdışı Enstitü
- Ana Bilim Dalı: Jeodezi ve Fotogrametri Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Jeodezi Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 104
Özet
Yeryuvarı etrafında hareket eden bir uydunun yörüngesinin belirlenmesi Uydu Jeodezisinin en önemli amaçlarından biridir. Yer etrafında hareket eden yapay bir uydu farklı kuvvetlere maruz kalır. Yer ve uydu arasında kütle çekimi nedeniyle ortaya çıkan yerçekimi kuvveti uydu hareketini belirleyen en önemli etmendir. Yerçekimi potansiyeli yerin dışında harmonik ve sürekli olduğu için bu potansiyel küresel harmonik serilerle ifade edilebilir. Bu süreklilik özelliği nedeniyle potansiyelin yakınsaklığından bahsedilebilir. Küresel harmonik açılım için Clm ve Slm harmonik katsayılarına ihtiyaç vardır. Bu katsayılar tüm yeryuvarı için günümüzde 360 derece ve mertebeye kadar verilmektedir (Örn. OSU91, EGM96). Bu çalışmada yeryuvarı etrafında hareket eden yapay uydunun yalnızca küresel harmoniklerle ifade edilen yerçekimi kuvvetine maruz kaldığı varsayılacaktır. Uydu hareketini etkileyen diğer kuvvetler ihmal edilecektir. Yerin çekim alanında bir yörüngede hareket eden uydu hareketinin matematik ifadesi Newton'un ikinci aksiyomu ile ifade edilir: Kütle x ivme = Kuvvet Bu eşitlik kartezyen koordinatlarla ifade edilen, kuvvet bileşenlerinin inersiyal bir sistemde verildiği üç iç içe geçmiş birinci dereceden diferansiyel denklem sistemini oluşturmaktadır. Çözüme iki defa integral almak suretiyle ulaşılabilir. Çözümün gerçekleştirilebilmesi için altı adet serbest parametrenin verilmesi gerekir: ya bir t0 zamanında konum ve hız vektörlerinin verilmesi ya da t1 ve t2 zamanları için konum vektörlerinin verilmesi durumu. İlk problem başlangıç değer ikincisi ise sınır değer problemi olarak adlandırılır. Bu çalışmada başlangıç değer problemi kullanılacaktır. Konum ve hız vektörleri zamanla çok hızlı değiştiklerinden bunları, zamanla çok az değişim gösteren Kepler elemanları ile ifade etmek daha kullanışlı olacaktır. Yerin çekim alanının homojen bir yapıya sahip olmaması nedeniyle Kepler elemanları seküler ve periyodik bozunumlara maruz kalmaktadırlar. Konum ve hız vektörlerinin Kepler elemanları cinsinden analitik bir fonksiyonla ifadesi ancak istisnai durumlarda gerçekleştirilebilmektedir. Bu durumlardan bir tanesi Kepler Problemidir ki burada küresel harmonik açılımda sadece merkezi terim veya Kepler terimi dikkate alınır. Yüksek doğruluk talebi nedeniyle günümüzde sayısal integrasyondan yararlanılmaktadır. İntegrasyonda geçen yerçekimi potansiyelinin gradyanı olan vektör uzaysal kutupsal koordinatlarla (r,φ,λ) hesaplanabilir. Kutupsal koordinatlarla ifade edilen gradyan daha sonra kartezyen koordinatlara transformasyon yardımıyla dönüştürülür (KÖNIG, 1999). Bu çalışmada grad V aşağıda tarif edildiği gibi elde edilecektir: Yerçekimi alanı öncelikle Kepler elemanları ile ifade edilecektir. Bu, küresel koordinatlardan Kepler elemanlarına iki aşamada gerçekleştirilen transformasyonla yapılır. Bu transformasyon sonucunda iki adet önemli fonksiyon ortaya çıkmakta ve bu çalışma bu iki fonksiyonun hesap edilmesine odaklanmaktadır. Bu fonksiyonlar yörünge eğim ve eksentrisite fonksiyonlarıdır. Fonksiyonların ve bunların yörünge eğimi i ve eksentrisitesi e'ye göre türevlerinin hesaplanmasında rekursiyon formülleri kullanılmıştır. Zira bu formüller diğerlerine nazaran daha hızlı hesaplamaya olanak vermektedirler. Potansiyelin Kepler elemanlarına göre türevleri hesaplandıktan sonra Kartezyen koordinatlar cinsinden türevlere (grad V) Jakobi matrisi kullanılarak ulaşılabilir. Çalışmada ede edilen bulgular KÖNIG (1999) 'da elde edilen sonuçlarla karşılaştırılmıştır.
Özet (Çeviri)
Determining the orbit of a satellite moving around the Earth is one of the most important applications of satellite geodesy. An artificial satellite moving around the earth is exposed to different forces. The gravitational force that arises between the earth and the satellite due to gravity is the most important factor determining the motion of the satellite. Since the gravitational potential is harmonic and continuous outside the earth, this potential can be expressed with spherical harmonic series. Due to this continuity feature, it can be mentioned that the potential converges. Clm and Slm harmonic coefficients are needed for spherical harmonic expansion. These coefficients are given up to 360 degrees and order for the whole earth today (e.g., OSU91, EGM96). In this study, it will be assumed that the artificial satellite moving around the earth is only exposed to the gravitational force expressed by spherical harmonics. Other forces affecting the satellite motion will be neglected. The mathematical expression for the motion of a satellite moving in an orbit in the gravitational field of the earth is expressed by Newton's second axiom: mass x acceleration = force. This equation constitutes a system of three nested first-order differential equations, expressed in cartesian coordinates, in which the force components are given in an inertial system. The solution can be reached by integrating twice. In order to realize the solution, six free parameters must be given: either the position and velocity vectors are given at a time t0, or the position vectors are given for the times t1 and t2. The first problem is called the initial value problem and the second is called the boundary value problem. In this study, the initial value problem will be used. Since the position and velocity vectors change very rapidly with time, it would be more convenient to express them in terms of Kepler elements that change a little over time. Since the gravitational field of the earth does not have a homogeneous structure, Kepler elements are exposed to secular and periodic decays. The expression of the position and velocity vectors in terms of Kepler elements with an analytical function can only be performed in exceptional cases. One of these cases is the Kepler Problem, where only the central term or Kepler term is considered in the spherical harmonic expansion. Due to the high demand for accuracy, numerical integration is utilized today. In the numerical integration, the gradient of the gravitational potential (grad V) can be calculated with spatial polar coordinates (r,φ,λ). The gradient, which is expressed in polar coordinates, is then converted to Cartesian coordinates with the help of transformation (König, 1999). In this study, grad V will be obtained as described below: The gravitational field will first be expressed in Kepler elements. This is done by transforming from spherical coordinates to Kepler elements in two steps. Two important functions emerge as a result of this transformation, and this study focuses on the calculation of these two functions. These functions are orbital inclination and eccentricity functions. Recursion formulas were used to calculate functions and their derivatives according to orbital inclination i and eccentricity e. Because these formulas allow faster calculation than others. After calculating the derivatives of the potential with respect to the Kepler elements, the derivatives in Cartesian coordinates (grade V) can be obtained using the Jacobi matrix. The findings of the study were compared with the results obtained in König (1999).
Benzer Tezler
- Die Romantischen elemente in den gedichten Georg Trakl's
Georg Trakl'ın şiirlerinde romantik ögeler
NESRİN BOVKIR
Yüksek Lisans
Almanca
1999
Alman Dili ve Edebiyatıİstanbul ÜniversitesiAlman Dili ve Edebiyatı Ana Bilim Dalı
PROF. DR. YÜKSEL ÖZOĞUZ
