Primitive prime divisors in the critical orbit of polynomial dynamical systems
Polinom dinamik sistemlerin kritik yörüngesindeki ilkel asal bölenler
- Tez No: 761359
- Danışmanlar: DOÇ. DR. MOHAMMAD MOHAMMAD SADEK MOHAMMAD MASWADAH
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2022
- Dil: İngilizce
- Üniversite: Sabancı Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: 64
Özet
$\f(x)$=$x^d+c\in\Q[x]$ ve $d\ge 2$ olsun. $\underset{\text{n kez}}{\underbrace{\f\circ \f\circ\dots\circ \f}}$ i\c{c}in $\f^n$ yazal{\i}m. $\f(x)$ fonksiyonunun kritik y\“{o}r\”{u}ngesi $\O_{f_{d,c}}(0):=\{\f^n(0):n\geq 0\}$ k\“{u}mesidir. $\{a_n:n\geq 0\}$ dizisi i\c{c}in, $a_n$'in ilkel bir asal b\”{o}leni $a_n$'i b\“{o}len, ancak $1\leq k < n$ i\c{c}in herhangi bir $a_k$'y{\i} b\”{o}lmeyen bir asal b\“{o}lendir. H. Krieger'in bir sonucu, e\u{g}er $\O_{\f}(0)$ kritik y\”{o}r\“{u}ngesi sonsuzsa, $\O_{\f}(0)$ i\c{c}indeki her eleman{\i}n, muhtemelen 23 eleman hari\c{c}, en az bir ilkel asal b\”{o}lene sahip oldu\u{g}unu iddia eder. Ek olarak, belirli ko\c{s}ullar alt{\i}nda, R. Jones, $\f(x)$ herhangi bir y\“{o}r\”{u}ngede g\“{o}r\”{u}nen ilkel asal b\“{o}lenlerin yo\u{g}unlu\u{g}unun her zaman $0$ oldu\u{g}unu kan{\i}tlad{\i}. \”{O}nceki sonu\c{c}lardan esinlenerek, sabit bir $\f^n(0)$ yinelemesinin ilkel asal b\“{o}lenlerinin say{\i}s{\i} \”{u}zerinde bir \“{u}st s{\i}n{\i}r g\”{o}steriyoruz. Ayr{\i}ca $\f(x)\in K[x]$ kritik y\“{o}r\”{u}ngesindeki ilkel asal b\“{o}lenleri ara\c{s}t{\i}r{\i}yoruz, burada $K$ bir say{\i} cismidir. Kritik y\”{o}r\“{u}ngede ilkel bir asal b\”{o}lenin varl{\i}\u{g}{\i} ile ilkel asal b\“{o}len $K$ mod\”{u}l\“{u}n\”{u}n kal{\i}nt{\i} alan{\i}ndaki $\f$ azalmas{\i}n{\i}n kritik y\“{o}r\”{u}ngesinin periyodikli\u{g}i aras{\i}nda ba\u{g}lant{\i}lar geli\c{s}tiriyoruz. Sonu\c{c} olarak, belirli varsay{\i}mlar alt{\i}nda, baz{\i} $c\in\Q$ i\c{c}in $f_{2,c}^n(0)$'{\i}n ilkel asal b\“{o}lenleri olarak g\”{o}r\“{u}nebilen asal say{\i}lar{\i}n yo\u{g}unlu\u{g}unu hesapl{\i}yoruz. Ayr{\i}ca, $\f^n(0)$'{\i}n $c$'ye ba\u{g}l{\i} olmayan ilkel asal b\”{o}lenlerinin say{\i}s{\i}nda tek tip bir \“{u}st s{\i}n{\i}r olmad{\i}\u{g}{\i}n{\i} g\”{o}steriyoruz. \“{O}zellikle, $N>0$ verildi\u{g}inde, \”{o}yle bir $c\in\Q$ vard{\i}r ki, $\f^n(0)$ en az $N$ ilkel asal b\"{o}lene sahiptir.
Özet (Çeviri)
Let $\f(x)=x^d+c\in\Q[x]$, $d\ge 2$. We write $\f^n$ for $\underset{\text{n times}}{\underbrace{\f\circ \f\circ\dots\circ \f}}$. The critical orbit of $\f(x)$ is the set $\O_{f_{d,c}}(0):=\{\f^n(0):n\geq 0\}$. For a sequence $\{a_n:n\geq 0\}$, a primitive prime divisor for $a_n$ is a prime dividing $a_n$ but not $a_k$ for any $1\leq k < n$. A result of H. Krieger asserts that if the critical orbit $\O_{\f}(0)$ is infinite, then each element in $\O_{\f}(0)$ has at least one primitive prime divisor, except possibly for 23 elements. In addition, under certain conditions, R. Jones proved that the density of primitive prime divisors appearing in any orbit of $\f(x)$ is always 0. Inspired by the previous results, we display an upper bound on the count of primitive prime divisors of a fixed iteration $\f^n(0)$. We also investigate primitive prime divisors in the critical orbit of $\f(x)\in K[x]$, where $K$ is a number field. We develop links between the existence of a primitive prime divisor in the critical orbit and the periodicity of the critical orbit of the reduction of $\f$ in the residue field of $K$ modulo the primitive prime divisor. Consequently, under certain assumptions, we calculate the density of primes that can appear as primitive prime divisors of $f_{2,c}^n(0)$ for some $c\in\Q$. Furthermore, we show that there is no uniform upper bound on the count of primitive prime divisors of $\f^n(0)$ that does not depend on $c$. In particular, given $N>0$, there is $c\in\Q$ such that $\f^n(0)$ has at least $N$ primitive prime divisors.
Benzer Tezler
- Rekurent dizilerin aritmetik özellikleri
The arithmetic properties of recurrence sequences
İPEK ÇOLAK
Yüksek Lisans
Türkçe
2023
MatematikBursa Uludağ ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. BETÜL GEZER
- Yakın-halkalarda N-grupsallar ve v-asal idealler üzerine
On the N-clogroups and v-prime ideals in near-rings
EMİN AYGÜN
- Asal halkaların sıfırlayan koşullu türevleri
Derivations with annihilator conditions of prime rings
EBRU YİĞİT
- Erken Cumhuriyet Döneminde milli iktisat politikası ve bir örnek girişim: İstanbul Liman Şirketi
National economic policy in Early Republic term and an example enterprise: İstanbul Harbor Company
FATMA YALÇIN
- Sonlu grup cebirlerinde minimal abelyen kodlar
Minimal abelian codes in finite group algebras
NURGÜL KANGAL
Yüksek Lisans
Türkçe
2024
MatematikYıldız Teknik ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. MEHMET EMİN KÖROĞLU