Lie symmetries and exact solutions of Benney-Roskes/Zakharov-Rubenchik system
Benney-Roskes/Zakharov-Rubenchick sisteminin Lie simetrileri ve tam çözümleri
- Tez No: 776252
- Danışmanlar: DOÇ. DR. CİHANGİR ÖZEMİR
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2023
- Dil: İngilizce
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 68
Özet
Bu tezde, Benney--Roskes/Zakharov-- Rubenchik denklem sisteminin Lie simetri cebiri belirlenmiş ve denklem sisteminin tam çözümleri bulunmuştur. Hayatımızdaki birçok fiziksel olayın matematiksel modellenmesi, adi diferansiyel denklemler ve kısmi diferansiyel denklemler (KDD) kullanılarak yapılır. Fizik ve mühendislik gibi matematik odaklı bilimsel disiplinlerde KDD'ler yaygın olarak kullanılır. Adi diferansiyel denklemlere çözüm bulmak daha bilindik ve sistematik yöntemlere dayanırken kısmi diferansiyel denklemler için durum farklıdır. KDD'lere çözüm bulmak için birçok yöntem vardır ve bu yöntemlerden birisi de ilk olarak Sophus Lie'nin çalışmalarıyla litaretüre kazandırılan Lie simetri metodudur. Lie yöntemi ile, diferansiyel denklemin türü ve simetrilerine bağlı olarak, bir diferansiyel denklemin mertebesi düşürülebilir veya bağımsız değişken sayısı azaltılabilir. Yeterince zengin bir simetri cebiri varsa, belli koşullar altında kısmi bir diferansiyel denklem bir adi diferansiyel denkleme dönüşebilir. Lie yöntemi sadece bir diferansiyel denklemin çözüm bulmamıza değil aynı zamanda bilinen bir çözümden başka bir çözüme ulaşmamızı da sağlar. KDD'lerin simetrilerinden yararlanarak KDD'ler denklik sınıflarına ayrılabilir. KDD'lere uygulanan Lie yöntemi ile, grup değişmez çözümlere ve koruma yasalarına ulaşılabilir. Bu yöntemin temelinde etkileri bir denklemin çözüm uzayını değişmez bırakan dönüşüm grupları vardır. Yöntemdeki ilk adım, sistemin simetrileri için belirleyici denklemleri bulmaktır. Belirleyici denklemler çözülerek dönüşüm gruplarının oluşturduğu vektör alanları belirlenir. Bu vektör alanları, sistemin çözümünü değişmez bırakacak olan dönüşüm gruplarının sonsuz küçüklükteki üreteçleridir. Bu üreteçten sistemin Lie cebiri yapısı ortaya çıkar. Ancak bu yöntemi denklem sistemlerine uygulamak çok zaman ve çaba gerektirir. Mathematica ve Maple gibi bilgisayar paketlerinin erişilebilirliği sayesinde bu hesaplar daha sistemli bir şekilde yapılabilmektedir. Bu tezdeki bazı hesaplamalarda da bu programlardan yararlanılmıştır. Bu tezin konusunu, yerçekimi etkisi altındaki su dalgaları bağlamında Benney ve Roskes (1969) tarafından türetilmiş olan Benney-Roskes (BR) denklem sistemi oluşturmaktadır. Benney-Roskes denklem sistemi, bağımsız olarak Zakharov ve Rubenchik tarafından düşük frekanslı akustik tip salınımlar ile spektral olarak dar küçük genlikli yüksek frekanslı dalga paketlerinin etkileşimini tanımlayan bir sistem olarak türetilen Zakharov-Rubenchik (ZR) sistemi ile denk bir denklem takımıdır. Birçok fiziksel durumda kısa ve uzun dalgaların etkileşimini modelleyen su dalgaları teorisinde Benney-Roskes olarak bilinen Zakharov-Rubenchik sistemi içerisinde zengin dinamik yapılar bulunmaktadır. Bu denklem sistemi çeşitli limitlerde lineer olmayan Schrödinger denklemi ile bir dalga denklemini birleştiren klasik (skaler) Zakharov sistemini ve lineer olmayan Schrödinger denklemi ile bir eliptik denklemi birleştiren Davey-Stewartson (DS) sistemini içerir. Davey- Stewartson (1974) denklem sistemi sonlu derinlikte suda dalga paketinin yayılımını modelleyen, asimptotik yöntemler sonucu elde edilen bir denklem sistemidir. Bu denklem takımı, daha önce türetilmiş olan Benney-Roskes denklem sisteminin özel bir hali olarak karşımıza çıkar. BR sisteminin ilk ortaya çıkışı çok eskiye dayansa da sistem üzerinde nitel ve sayısal analizler üzerine yapılan araştırmaların son dönem literatüründe yer bulduğu görülmektedir. Literatürde sistemin Lie simetrileri ve analitik çözümleri ile ilgili sonuçlar bulunmadığından, bu çalışmanın asıl amacı bu boşluğu doldurmak olmuştur. Birinci bölümde, tezin konusu olan problem verilmiş ve probleme ait literatür taraması verilmiştir. İkinci bölümde, diferansiyel denklemlerin Lie simetri analizi için bilinmesi gereken temel tanımlar ve gösterimler verilmiştir. Üçüncü bölümde, (2+1)-boyutlu BR/ZR sisteminin simetri cebiri incelenmiş ve simetri cebirinin sonsuz boyutlu bir Lie cebirine sahip olduğu bulunmuştur. Parametrelerden birinin özel bir değeri için sistem, (2+1)-boyutlu DS sistemi haline gelmektedir. DS sisteminin simetri cebirine ilişkin için literatürde mevcut olan sonuçlar ile karşılaştırma yapılmıştır. (2+1)-boyutlu BR/ZR sistemine çizgi soliton, yumru tipi durağan (lump type stationary) çözüm ayrıca eliptik, hiperbolik ve trigonometrik tip periyodik çözümler şeklinde çözümler elde edildi. Dördüncü bölümde, (3+1)-boyutlu BR/ZR sisteminin Lie simetri cebiri bulundu. Sistemin değişmezlik cebirinin sonsuz boyutlu olduğu keşfedildi. Hareket eden dalga çözümlerine odaklanarak, sech-tanh tipinde, uzayın iki boyutlu kesitlerinde çizgisel soliton ve kink soliton şeklinde ilerleyen dalga bileşenleri elde edilmiştir. Bu tez çalışması ile litaretüre, BR/ZR sisteminin grup-teorik özellikleri ve tam çözümlerine ilişkin orjinal sonuçlar ekledik. Bu sonuçların bu sistemle ilgili ilerideki nümerik ve niteliksel çalışmalara kaynaklık edeceğine inanıyoruz.
Özet (Çeviri)
Many physical phenomena in our lives are modeled using ordinary differential equations (ODE) and partial differential equations (PDE). Unlike PDEs, ODEs can be solved using more familiar and straightforward techniques. Partial differential equations are widely utilized in scientific fields that place on mathematics, such as physics and engineering. A wide range of partial differential equation types has been derived as a result of the diversity of the sources. Many methods have been developed to deal with the resulting individual equations. One of these methods used to solve PDEs is Lie symmetry analysis. Lie groups and Lie algebras are useful tools for reducing the number of independent variables in a PDE by using the reduction method. Lie's method leads to group-invariant solutions and conservation laws for partial differential equations. PDEs can be classified into equivalence classes and new solutions can be derived from existing ones by taking advantage of their symmetry. The first step in the method is finding the determining equations for the system's symmetries. By solving the determining equations, the vector field that generates the transformation group of the equation is obtained, which is called the infinitesimal generator of the symmetry group. In other words, we find the infinitesimal generators of the transformation groups, which will leave the solution of the system invariant. From this generator, the Lie algebra structure of the system emerges. However, applying Lie group methods to systems of equations takes a lot of time and effort. Even solving elementary differential equations is prone to mistakes if we do it with a pen and paper. All of that has changed thanks to the accessibility of computer algebra systems like Mathematica and Maple. Some of the calculations in this thesis were done using these programs. This thesis investigates the Lie symmetry algebra of the Benney--Roskes/ Zakharov--Rubenchik (BR/ZR) system and presents exact solutions to this system of equations. BR/ZR system includes the well-known Davey-Stewartson (DS) system and Zakharov system in the limiting case. Although the first appearance of the BR system dates back a few decades, it is seen that the research on qualitative and numerical analysis of the system finds a place in the recent literature. As this literature lacks the results on Lie symmetries and solitary-type analytic solutions of the system, it has been this work's main purpose to fulfill this gap. In Chapter 1, the problem statement of the thesis and the literature review of the problem are given. In Chapter 2, the fundamental definitions and notations for the Lie symmetry analysis of differential equations are provided. In Chapter 3, (2+1)-dimensional BR/ZR system and in Chapter 4, (3+1) BR/ZR system are investigated by the tools of Lie group analysis. The symmetry algebra of the (2+1)-dimensional BR/ZR system is obtained as an infinite dimensional Lie algebra. We found that the symmetry algebra is as not rich as the symmetry algebra of the DS system, which is one of the integrable equations in (2+1) dimensions. We succeeded in finding solutions in the forms of a line soliton and hyperbolic type. We also discovered the Lie symmetry algebra of the (3+1) BR/ZR system. The invariance algebra of the system turns out to be infinite-dimensional. Concentrating on traveling solutions, we found wave components of sech-tanh type, which proceed as line solitons and kinks in two-dimensional cross-sections in space. With this thesis, we have added original results to the literature on group-theoretical properties and exact solutions of the BR/ZR system. We believe that these results will serve as a source for future numerical and qualitative studies on this system.
Benzer Tezler
- Bazı kesirli lineer olmayan kısmi diferansiyel denklem sistemlerinin lie simetri metodu yardımıyla çözümü ve korunum kanunları
Solutions and conservation laws of some systems of fractional nonlinear partial differential equations with the help of lie symmetry method
SELAHATTİN GÜLŞEN
- Bazı özel 1+1- ve 2+1-boyutlu evrim tipi denklemlerde integre edilebilme ve simetriler
Integrability and symmetries of some special evolutionary type equations in 1+1- and 2+1-dimensions
CİHANGİR ÖZEMİR
Doktora
Türkçe
2012
Matematikİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. FARUK GÜNGÖR
- Oluşum türü diferensiyel denklemlerin simetri indirgemeleri, korunum kanunları ve tam çözümleri
Symmetry reductions, conservation laws and exact solution of the evolution differential equations
İLKER BURAK GİRESUNLU
- Kısmi diferensiyel denklemlerin korunum kanunları ve indirgemeleri
Conservation laws and reductions of partial differential equations
SAİT SAN
Doktora
Türkçe
2014
MatematikEskişehir Osmangazi ÜniversitesiMatematik ve Bilgisayar Bilimleri Ana Bilim Dalı
PROF. DR. MEHMET NACİ ÖZER
DOÇ. DR. EMRULLAH YAŞAR
- Symmetry group classification of some problems in mathematical physics
Matematiksel fizikteki bazı problemlerin simetri grup sınıflandırmaları
ÖZLEM ORHAN
Doktora
İngilizce
2018
Matematikİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. MEHMET ALİ KARACA
PROF. TEOMAN ÖZER