Divisibility of rational points on elliptic curves and arithmetic progressions in polynomial dynamical systems
Eliptik eğriler üzerindeki rasyonel noktaların bölünebilirliği ve polinomsal dinamik sistemlerde aritmetik diziler
- Tez No: 822384
- Danışmanlar: ASSOC. DR. MOHAMMAD MOHAMMAD SADEK MOHAMMAD MASWADAH
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2023
- Dil: İngilizce
- Üniversite: Sabancı Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Mühendislik ve Doğa Bilimleri Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Matematik Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 85
Özet
$K$ bir sayı cismi ve $E$ Weierstrass denklemi ile $K$ üzerinde tanımlanan bir eliptik eğri olsun. Eliptik eğrilerdeki 2-indirgeme teoreminin bir sonucu olarak, $E$ üzerindeki rasyonel bir noktanın 2'ye bölünebilirliği için bir kriter daha önceki çalışmalarda verilmiştir. Bu bölünebilirlik kriteri, rasyonel $D(q)-m$'lilerini incelemek için kullanılmıştır. Bu tez çalışmasında, düzgün, cinsi 1 olan, $\Q$ rasyonel cismi üzerinde dördüncü dereceden bir polinom denklemiyle tanımlanan ve $P \in C(\Q)$ özelliğini sağlayan $C$ eğrileri araştırılmıştır. $C(\Q)$'daki rasyonel noktalar için benzer bir 2'ye bölünebilirlik kriteri verilmiştir. Ayrıca, bu kriterin rasyonel $D(q)$-dörtlülerin beşlilere genişletilmelerini incelemek için nasıl kullanılabileceği de gösterilmiştir. Aritmetik dizide ardışık karelerin varlığı klasik bir problemdir. Fermat, dört rasyonel karenin bir aritmetik dizi oluşturmadığını iddia etmiş; ve bu iddia Euler tarafından ispatlanmıştır. Bu tezde, Fermat'nın Kareler Teoremi'nin dinamik bir benzeri verilmiştir. Daha kesin olarak, bir $f(x)$ polinomu ve $a$ rasyonel sayısı verildiğinde, $ \{a,f(a),f^2(a), \ldots, f^n(a),\ldots \}$ yörüngesinde kaç ardışık kare olabileceği sorusu ele alınmıştır. Aslında, ardışık üç kare içeren yörüngelere sahip ikinci dereceden polinomların kesin yapıları verilmiştir. Son olarak, sonlu sayıda aritmetik dizi kullanarak yukarıda verilen yörüngeyi örtüp örtmediği araştırılmıştır. Yukarıdaki sorunun cevabı ile yörüngedeki ilkel bölenlerin varlığı arasında bir bağlantı kurulmuştur.
Özet (Çeviri)
Let $K$ be a number field and $E$ be an elliptic curve described by the Weierstrass equation over $K$. As a result of 2-descent Theorem on elliptic curves, a criterion for the divisibility-by-$2$ of a rational point on $E$ is obtained previously. This divisibility criterion has been used to study rational $D(q)$-$m$-tuples. In this thesis, we investigate smooth genus one curves $C$ described by a quartic polynomial equation over the rational field $\Q$ together with $P\in C(\Q)$. We give an analogous divisibility-by-$2$ criterion for rational points in $C(\Q)$. We also show how this criterion might be used to study extensions of rational $D(q)$-quadruples to quintuples. The existence of consecutive squares in arithmetic progression is a classical problem. Fermat claimed that there does not exist an arithmetic progression of four rational squares; and Euler proved this claim. In this thesis, we give a dynamical analogue of Fermat's Squares Theorem. More precisely, given a polynomial $f(x)$ and a rational point $a$, we ask how many consecutive squares can be there in the orbit $ \{a,f(a),f^2(a), \ldots, f^n(a),\ldots \} $? In fact, we give explicit constructions of quadratic polynomials with orbits containing three consecutive squares. Finally, we investigate the question of covering the latter orbit using finitely many arithmetic progressions. We establish a connection between the answer to the latter question and the existence of primitive divisors in the orbit.
Benzer Tezler
- Singüler eğriler ve eliptik bölünebilir diziler
Singular curves and elliptic divisibility sequences
BETÜL GEZER
- Leibniz metafiziğinde tözün mahiyeti: Birliğin çokluktaki ifadesi
The quiddity of substance in leibnizian metaphysics: Expression of unity in multiplicity
NİHAN ÇETİNKAYA
Yüksek Lisans
Türkçe
2018
Felsefeİstanbul Bilgi ÜniversitesiFelsefe ve Toplumsal Düşünce Ana Bilim Dalı
DR. ÖĞR. ÜYESİ ÖMER B. ALBAYRAK
- Orders of reductions of elliptic curves in arithmetic progression
Aritmetik dizide eliptik eğrilerin indirgemesinin mertebesi
ANTIGONA PAJAZITI
Yüksek Lisans
İngilizce
2022
MatematikSabancı ÜniversitesiMatematik ve Fen Bilimleri Eğitimi Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. MOHAMMAD SADEK
- İlköğretim matematik öğretmen adaylarının sayılar ve işlemler öğrenme alanına ilişkin alan ve pedagojik alan bilgilerinin incelenmesi
An examination of preservice primary school mathematics teachers' content and pedagogical content knowledge related to numbers and operations learning domain
YUSUF EMRE ERCİRE
Doktora
Türkçe
2022
Eğitim ve ÖğretimDokuz Eylül Üniversitesiİlköğretim Ana Bilim Dalı
PROF. DR. SERKAN NARLI
- Fibonacci ve Lucas sayılarında bölünebilme
Divisibility of Fibonacci and Lucas numbers
ESRA EKİN
Yüksek Lisans
Türkçe
2018
MatematikBozok ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DR. ÖĞR. ÜYESİ FUNDA TAŞDEMİR