Geri Dön

Divisibility of rational points on elliptic curves and arithmetic progressions in polynomial dynamical systems

Eliptik eğriler üzerindeki rasyonel noktaların bölünebilirliği ve polinomsal dinamik sistemlerde aritmetik diziler

  1. Tez No: 822384
  2. Yazar: EMİNE TUĞBA YESİN ELSHEIKH
  3. Danışmanlar: ASSOC. DR. MOHAMMAD MOHAMMAD SADEK MOHAMMAD MASWADAH
  4. Tez Türü: Doktora
  5. Konular: Matematik, Mathematics
  6. Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
  7. Yıl: 2023
  8. Dil: İngilizce
  9. Üniversite: Sabancı Üniversitesi
  10. Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
  11. Ana Bilim Dalı: Mühendislik ve Doğa Bilimleri Ana Bilim Dalı
  12. Bilim Dalı: Matematik Bilim Dalı
  13. Sayfa Sayısı: 85

Özet

$K$ bir sayı cismi ve $E$ Weierstrass denklemi ile $K$ üzerinde tanımlanan bir eliptik eğri olsun. Eliptik eğrilerdeki 2-indirgeme teoreminin bir sonucu olarak, $E$ üzerindeki rasyonel bir noktanın 2'ye bölünebilirliği için bir kriter daha önceki çalışmalarda verilmiştir. Bu bölünebilirlik kriteri, rasyonel $D(q)-m$'lilerini incelemek için kullanılmıştır. Bu tez çalışmasında, düzgün, cinsi 1 olan, $\Q$ rasyonel cismi üzerinde dördüncü dereceden bir polinom denklemiyle tanımlanan ve $P \in C(\Q)$ özelliğini sağlayan $C$ eğrileri araştırılmıştır. $C(\Q)$'daki rasyonel noktalar için benzer bir 2'ye bölünebilirlik kriteri verilmiştir. Ayrıca, bu kriterin rasyonel $D(q)$-dörtlülerin beşlilere genişletilmelerini incelemek için nasıl kullanılabileceği de gösterilmiştir. Aritmetik dizide ardışık karelerin varlığı klasik bir problemdir. Fermat, dört rasyonel karenin bir aritmetik dizi oluşturmadığını iddia etmiş; ve bu iddia Euler tarafından ispatlanmıştır. Bu tezde, Fermat'nın Kareler Teoremi'nin dinamik bir benzeri verilmiştir. Daha kesin olarak, bir $f(x)$ polinomu ve $a$ rasyonel sayısı verildiğinde, $ \{a,f(a),f^2(a), \ldots, f^n(a),\ldots \}$ yörüngesinde kaç ardışık kare olabileceği sorusu ele alınmıştır. Aslında, ardışık üç kare içeren yörüngelere sahip ikinci dereceden polinomların kesin yapıları verilmiştir. Son olarak, sonlu sayıda aritmetik dizi kullanarak yukarıda verilen yörüngeyi örtüp örtmediği araştırılmıştır. Yukarıdaki sorunun cevabı ile yörüngedeki ilkel bölenlerin varlığı arasında bir bağlantı kurulmuştur.

Özet (Çeviri)

Let $K$ be a number field and $E$ be an elliptic curve described by the Weierstrass equation over $K$. As a result of 2-descent Theorem on elliptic curves, a criterion for the divisibility-by-$2$ of a rational point on $E$ is obtained previously. This divisibility criterion has been used to study rational $D(q)$-$m$-tuples. In this thesis, we investigate smooth genus one curves $C$ described by a quartic polynomial equation over the rational field $\Q$ together with $P\in C(\Q)$. We give an analogous divisibility-by-$2$ criterion for rational points in $C(\Q)$. We also show how this criterion might be used to study extensions of rational $D(q)$-quadruples to quintuples. The existence of consecutive squares in arithmetic progression is a classical problem. Fermat claimed that there does not exist an arithmetic progression of four rational squares; and Euler proved this claim. In this thesis, we give a dynamical analogue of Fermat's Squares Theorem. More precisely, given a polynomial $f(x)$ and a rational point $a$, we ask how many consecutive squares can be there in the orbit $ \{a,f(a),f^2(a), \ldots, f^n(a),\ldots \} $? In fact, we give explicit constructions of quadratic polynomials with orbits containing three consecutive squares. Finally, we investigate the question of covering the latter orbit using finitely many arithmetic progressions. We establish a connection between the answer to the latter question and the existence of primitive divisors in the orbit.

Benzer Tezler

  1. Singüler eğriler ve eliptik bölünebilir diziler

    Singular curves and elliptic divisibility sequences

    BETÜL GEZER

    Doktora

    Türkçe

    Türkçe

    2009

    MatematikUludağ Üniversitesi

    Matematik Bölümü

    DOÇ. DR. OSMAN BİZİM

  2. Leibniz metafiziğinde tözün mahiyeti: Birliğin çokluktaki ifadesi

    The quiddity of substance in leibnizian metaphysics: Expression of unity in multiplicity

    NİHAN ÇETİNKAYA

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2018

    Felsefeİstanbul Bilgi Üniversitesi

    Felsefe ve Toplumsal Düşünce Ana Bilim Dalı

    DR. ÖĞR. ÜYESİ ÖMER B. ALBAYRAK

  3. Orders of reductions of elliptic curves in arithmetic progression

    Aritmetik dizide eliptik eğrilerin indirgemesinin mertebesi

    ANTIGONA PAJAZITI

    Yüksek Lisans

    İngilizce

    İngilizce

    2022

    MatematikSabancı Üniversitesi

    Matematik ve Fen Bilimleri Eğitimi Ana Bilim Dalı

    DOÇ. DR. MOHAMMAD SADEK

  4. İlköğretim matematik öğretmen adaylarının sayılar ve işlemler öğrenme alanına ilişkin alan ve pedagojik alan bilgilerinin incelenmesi

    An examination of preservice primary school mathematics teachers' content and pedagogical content knowledge related to numbers and operations learning domain

    YUSUF EMRE ERCİRE

    Doktora

    Türkçe

    Türkçe

    2022

    Eğitim ve ÖğretimDokuz Eylül Üniversitesi

    İlköğretim Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. SERKAN NARLI

  5. Fibonacci ve Lucas sayılarında bölünebilme

    Divisibility of Fibonacci and Lucas numbers

    ESRA EKİN

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2018

    MatematikBozok Üniversitesi

    Matematik Ana Bilim Dalı

    DR. ÖĞR. ÜYESİ FUNDA TAŞDEMİR