Orders of reductions of elliptic curves in arithmetic progression
Aritmetik dizide eliptik eğrilerin indirgemesinin mertebesi
- Tez No: 758034
- Danışmanlar: DOÇ. DR. MOHAMMAD SADEK
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2022
- Dil: İngilizce
- Üniversite: Sabancı Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik ve Fen Bilimleri Eğitimi Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: 51
Özet
$E$, tamsayı halkası $R$ olan bir sayı cismi $K$ üzerinde tanımlanan bir eliptik eğri olsun. $S$'yi, $R$'nin $E$-modülo asallarının indirgemelerinin tümünün eleman sayısı olarak ele alıyoruz. Bir $m > 1$ tamsayı verildiğinde, modülo $m$'nin kaç tane rezidü sınıfının $S$ ile pozitif yoğunluğun kesişimine sahip olduğu sorulabilir. Serre ve Katz'ın sonuçlarını kullanarak, eliptik eğrilerin belirli aileleri ve karşılık gelen $m$ değerleri hariç tutarak bu tür iki rezidü sınıfın olduğunu gösteriyoruz. Daha sonra bu istisnai eliptik eğriler kümesini tanımlarız ve $K$ derecesi en fazla $3$ veya $K$, $4$. dereceden Galois olduğunda $m$'nin değerlerini listeleriz. Ayrıca, sonlu cisimler üzerindeki eliptik yüzeylerin eleman sayıları hakkında aşağıdaki bölünebilirlik sorusunu ele alıyoruz. Bir $m \geq 2$ tamsayısı ve sonlu bir $k$ cismi verildiğinde, $t$'nin tüm $k$-rasyonel değerleri için $E_t(k)$ kümesinin eleman sayının $m$'ye bölünebileceği şekilde $k[t]$ üzerinde bir $E_t$ eliptik eğrisi var mıdır? Bu tür eliptik eğriler oluşturmak için bir metot öneriyoruz. Sonuç olarak, $m=3$ olduğunda; $k$, $3$ modülünde $1$'e kongruent asal mertebeden olduğunda, $k[t]$ üzerinde böyle iki eliptik eğri elde ederiz. Son olarak, $R$'nin $E$-modülo asallarının indirgemelerinin eleman sayılarının bölünebilmeleriyle ilişkili olan bir taban değişikliğinden sonra, $K$ üzerindeki bir $E$ eliptik eğrisinin burulmalı altgruplarının eleman sayılarının büyümesini ele alacağız. Özellikle, belirli bir $m \geq 2$ tamsayının modulo indirgeme eleman sayılarının tüm olası denklik sınıflarını listeleyebildiğimiz rasyonel cisim üzerindeki eliptik eğri örneklerini denklik sınıflarının görünüm yoğunluğu ile birlikte sunuyoruz.
Özet (Çeviri)
Let $E$ be an elliptic curve defined over a number field $K$ with ring of integers $R$. We consider the set $S$ of all the orders of reductions of $E$ modulo the primes of $R$. Given an integer $m > 1$, one may ask how many residue classes modulo $m$ have an intersection of positive density with $S$. Using results of Serre and Katz, we show that there are at least two such residue classes; except for explicit families of elliptic curves and corresponding values of $m$. We then describe this exceptional set of elliptic curves and list the values of $m$ when $K$ is of degree at most $3$; or $K$ is Galois of degree $4$. We also consider the following divisibility question on orders of elliptic surfaces over finite fields. Given an integer $m\ge 2$ and a finite field $k$, is there an elliptic curve $E_t$ over $k[t]$ such that for all $k$-rational values of $t$ the order of $E_t(k)$ is divisible by $m$ ? We suggest a method to construct such elliptic curves. Consequently, when $m=3$, we provide two such elliptic curves over $k[t]$ whenever $k$ is of prime order congruent to $1\mod 3$. Finally, we discuss how the growth of the order of the torsion subgroup of an elliptic curve $E$ over $K$ after a base change is linked to the divisibility of the orders of reductions of $E$ modulo the primes of $R$. In particular, we provide examples of elliptic curves over the rational field for which we can list all the possible congruence classes of the orders of the reductions modulo a certain integer $m\ge2$; together with the density of appearance of these congruence classes.
Benzer Tezler
- Code construction on modular curves
Modüler eğriler üzerinde kod inşası
ORHUN KARA
Doktora
İngilizce
2003
Matematikİhsan Doğramacı Bilkent ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. ALEXANDER KLYACHKO
- Tate's rigid analytic spaces
Tate'in katı analitik uzayları
MERT TOMRUK
Yüksek Lisans
İngilizce
2018
MatematikYeditepe ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DR. ÖĞR. ÜYESİ İLKER SAVAŞ YÜCE
PROF. DR. KAZIM İLHAN İKEDA
- GSM güvenlik mekanizmasının incelenmesi ve geliştirilmesi
Evaluation and enhancement of GSM security mechanism
KASIM BAŞAR
Yüksek Lisans
Türkçe
2001
Elektrik ve Elektronik MühendisliğiHacettepe ÜniversitesiElektrik ve Elektronik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. ALİ ZİYA ALKAR
- 2+1 boyutlu Kübik Schrödinger denkleminin grup-değişmez çözümleri
Group-invariant solutions of 2+1 dimensional Cubic Schrödinger equation
CİHANGİR ÖZEMİR
Yüksek Lisans
Türkçe
2005
Matematikİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. FARUK GÜNGÖR