Differential flatness-based fuzzy controller design for aggressive maneuvering of quadcopters
Çok rotorlu hava araçlarının agresif manevra kontrolü için diferansiyel düzlük tabanlı bulanık kontrolör tasarımı
- Tez No: 837073
- Danışmanlar: DOÇ. DR. TUFAN KUMBASAR
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve Kontrol, Computer Engineering and Computer Science and Control
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2023
- Dil: İngilizce
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Kontrol ve Otomasyon Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Kontrol ve Otomasyon Mühendisliği Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 133
Özet
Bu çalışma, agresif manevra kontrolü için yeni bir diferansiyel düzlük tabanlı tek girişli bulanık mantık kontrolör yapısı sunmasının yanı sıra bir nano çok rotorlu insansız hava aracı üzerindeki gerçekleme uygulamasını da içermektedir. Diferansiyel düzlük kavramı üzerine inşa edilen uçuş kontrol sisteminde birincil kontrolörler olarak hem tip-1 hem de aralık değerli tip-2 tek girişli bulanık mantık kontrolörleri önerilmektedir. Günümüzde çok rotorlu insansız hava araçları hava fotoğrafçılığı, arama ve kurtarma operasyonları, ölçme ve haritalama, denetleme, tarım ve acil durum müdahalesi gibi çok çeşitli uygulamalar ve amaçlar için kullanılmaktadır. Bu araçlar, kullanım alanlarına olan talebin artması sonucunda ticari ve son tüketici pazarlarında giderek artan bir ilgi görmektedir. Ek olarak, günümüz teknolojisindeki hızlı gelişmeler ile birlikte çok rotorlu insansız hava araçlarının boyutları önemli ölçüde küçülmüştür. Sonuç olarak mini, mikro veya nano gibi türler üzerine konuşmak mümkündür. En küçükleri olan nano çok rotorlu insansız hava araçları hafif, kolay taşınabilir gövde materyalleri ve küçük ölçekli rotorlar ile yapıldıkları için bu tip araçların yüksek çeviklikle uçuş ve manevra yapması daha kolaydır. Daha yüksek manevra kabiliyetleri ve çeviklikleri nedeniyle, nano çok rotorlu insansız hava araçları öncelikle agresif uçuşlar için tercih edilmektedir. Bu çalışmanın deneysel kısmında da kullanılan bu nano araçlardan biri, Bitcraze firması tarafından ticari olarak üretilen Crazyflie ürünüdür. Bölüm 1'de Crazyflie'ın modellenmesi ve kontrolü hakkında ayrıntılı literatür araştırması verilmektedir. Bu araçların kontrol problemi sadece agresif manevraları değil, havada asılı kalma koşullarını da içermektedir. Ana akım kontrolör tasarımı, havada asılı kalma koşulları etrafında doğrusallaştırılan model için uçuş kontrolörlerinin kullanılmasına dayanmaktadır. Ancak çeviklik, doğrusal ve açısal ivmelerde daha büyük ve daha hızlı değişiklikler gerektirdiğinden, bu yaklaşım agresif manevralardan ziyade yalnızca nispeten küçük doğrusal ve açısal ivmeler için etkilidir. Doğrusal kontrolörler, tasarım ve uygulama kolaylığı nedeniyle hâlâ tercih edilme eğiliminde olsalar da doğrusal olmayan kontrolörler, dayanıklılık ve bozucu bastırma açısından daha iyi performans göstermektedir. Ek olarak, çok rotorlu insansız hava araçlarının konum kontrolü ve yörünge takibi için bulanık mantık kontrolörleri gibi akıllı kontrol yöntemlerinin kullanılmasına dayalı birçok çalışma bulunmaktadır. Geleneksel ya da diğer adıyla tip-1 bulanık kontrolörler, bulanık mantık kontrolörlerinin en yaygın kullanılan tipi olmasına rağmen, son zamanlarda aralık değerli tip-2 bulanık kontrolörler üzerine önemli ölçüde çalışma yapılmıştır. Araştırmalar, aralık değerli tip-2 bulanık kontrolörlerinin, aralık değerli tip-2 bulanık kümelerindeki belirsizliğin ayak izi tarafından sağlanan ek serbestlik derecesi nedeniyle tip-1 muadillerinden daha iyi performans sergilediğini göstermektedir. İki veya üç girişli bulanık kontrolörler önceden baskın olarak tercih edilse de çalışmalar, tek girişli bulanık kontrolörlerin herhangi bir istenmeyen etki veya performans kaybı yaratmadan tasarımı basitleştirebileceğini göstermektedir. Ayrıca, tek girişli aralık değerli tip-2 bulanık kontrolörler, çevresel bozucuların varlığında bile yüksek performanslı yörünge takip sonuçları sağlayabilir. Bir, çok rotorlu insansız hava aracının agresif manevra yapması gerektiğinde, uçuş kontrol sistemi bu aracı kontrol etmek için büyük doğrusal ve açısal ivmeler üretemediğinden ana akım kontrolörler yetersiz kalabilmektedir. Bu nedenle, çok rotorlu insansız hava araçları için agresif uçuş kontrolü birçok çalışmanın odaklandığı zorlu bir konudur. Agresif manevra kabiliyetinin yanı sıra uygun yörüngeler oluşturmak da çevik uçuşlar için önemli bir noktadır. Çok rotorlu insansız hava araçlarının agresif yörünge izleme kontrolü için farklı doğrusal kontrolör yaklaşımları önerilmiştir. Doğrusal yaklaşımlardan farklı olarak; doğrusal olmayan yörünge takip kontrolörleri, öğrenmeye dayalı yöntemler, Lyapunov tabanlı yöntemler ve kazanç programlama kontrolörleri gibi çeşitli kontrol stratejileri de çok rotorlu insansız hava araçlarının agresif manevra kontrolü için öne sürülmüştür. Agresif manevra kontrolü aynı zamanda; istenilen konumlar, hızlar, açısal ve doğrusal ivmeler yörünge oluşturma sırasında belirlendiğinden, uygun yörüngelerin oluşturulmasına bağlıdır. Çok rotorlu insansız hava araçlarının, robot manipülatörlerin veya kara araçlarının güzergâh kontrolü gibi yörünge izleme uygulamaları söz konusu olduğunda diferansiyel düzlük ön plana çıkmaktadır. Diferansiyel düzlük; sistem durum ve girişlerinin, belirlenen düz çıkışların ve bunların zaman türevlerinin fonksiyonları olduğunu gösteren sistemler için öne sürülen bir kavramdır. Yörünge, düz çıkışlar için planlandığı zaman çıkış uzayı sistem girdilerine eşlenebileceğinden, diferansiyel düzlük özelliği yörünge oluşturma ve izleme için uygun bir kavram haline gelmektedir. Bölüm 2'de, Crazyflie sistem analizi hem donanımsal hem de yazılımsal olarak kapsamlı bir şekilde gerçekleştirilmektedir. Yazılım mimarisi, gömülü aygıt yazılımının kaynak koduna referanslar verilerek hem görsel hem de metinsel olarak açıklanmaktadır. Bu nedenle, aygıt yazılımının kontrolör, kestirici ve kumanda gibi ana parçaları, sistemin açılmasından kapanmasına kadar olan yazılım akışı ile birlikte incelenmektedir. Ek olarak, önerilen kontrolör yapısının entegrasyonu için Crazyflie'ın tümleşik kontrolör uygulamaları ve şablonları üzerine çalışmalar da yapılmaktadır. Bulanık küme teorisi ve bulanık mantık kontrolörler için matematiksel tanımlamalar, Bölüm 3'te verilmektedir. Bu bölüm, bulanık mantığın temel bilgilerini, tip-1 ve aralık değerli tip-2 bulanık kümeleri, tip-1/aralık değerli tip-2 bulanık kontrolörlerinin ve tek girişli bulanık kontrolörlerin genel yapılarını kapsamaktadır. Bölüm 4, iki açıdan büyük öneme sahiptir: diferansiyel düzlük ve Crazyflie'ın modellenmesi. İlk olarak, diferansiyel düzlük kavramı, diferansiyel düz sistemler ve diferansiyel düzlük ile uygulanabilir yörünge üretimi arasındaki ilişki gibi konulara değinilmektedir. Daha sonra yer, ara ve gövde gibi referans çerçeveleri ve Z-X-Y Euler açıları kuralında dönme matrisi tanımlanarak dinamik model gösterilmektedir. Ek olarak, dönme ve öteleme dinamiklerini modellemek için Newton-Euler denklemlerinden faydalanılmakla beraber; daha sonra diferansiyel düzlük özelliğinde kullanılmak üzere, üretilen yalpalama, yunuslama, sapma momentleri ve net itki kuvveti için denklemler verilmektedir. Ardından, çok rotorlu insansız hava aracının diferansiyel olarak düz bir sistem olduğunu göstermek için gerekli olan diferansiyel düzlük tabanlı karakterizasyon; konum, oryantasyon, açısal hız, açısal ivme ve kontrol girişleri (yalpalama, yunuslama, sapma momentleri) için gösterilmektedir. Böylece, düz çıkışların sistem durumuna ve kontrol girişlerine eşlenebileceği kanıtlanmaktadır ve bu da çok rotorlu insansız hava aracının diferansiyel düzlük özelliği gösterdiği anlamına gelir. Bölüm 5'te çok rotorlu insansız hava araçlarının çevik yörünge izleme kontrol problemi için yenilikçi bir yöntem olarak diferansiyel düzlük tabanlı tip-1 ve aralık değerli tip-2 bulanık uçuş kontrolörleri sunulmaktadır. Önerilen yaklaşım sadece diferansiyel düzlük özelliğini kullanmakla kalmayıp, aynı zamanda doğrusal olmayan ve belirsiz dinamikler karşısında tek girişli bulanık kontrolörlerin yeteneklerini de ortaya koymaktadır. İlk olarak, tasarım parametreleri tarafından belirlenen bulanık haritaların özelliklerini yorumlamak için geometrik bir yaklaşım geliştirilmiş ve kullanıma sokulmuştur. Bu yaklaşım; tek girişli bulanık kontrolörlerin bulanık haritaları için orijinde tanımlanmış l yarıçaplı bir dairenin içinde kalan bulanık haritanın etkin olduğu giriş aralığı bölgesi ve hassasiyet seviyesi (tan(γ)), bulanık haritanın agresif ya da düz olması olarak nitelendirilmesi için kullanılmaktadır. Bu bölümde, N=5 kurallı tek girişli tip-1 bulanık kontrolörünün parçalı doğrusal bulanık haritalama oluştururken, N=3 eşdeğerinin tamamen doğrusal olan bir birim haritalamasına sahip olduğunu gösterilmektedir. Bununla birlikte, birim eşleme aynı zamanda bir N=5 kurallı tip-1 tek girişli bulanık kontrolör tarafından da üretilebilir; ancak bu tip kontrolörlerde, agresif veya düz bir bulanık haritalama elde etmek için tasarım parametreleri aracılığıyla parçalı doğrusal haritalamanın nasıl şekillendirilebileceğinin analizine odaklanılmıştır. Bu bölümde ek olarak, hem N=3 hem de N=5 kurallı tek girişli aralık değerli tip-2 bulanık kontrolörlerin tasarımı üzerine de çalışmalar yapılmaktadır. Tip-1 muadillerinden farklı olarak, bu aralık değerli tip-2 bulanık kontrolörlerin doğrusal olmayan bulanık haritalara sahip olduğu gösterilmiştir. N=3 kurallı aralık değerli tip-2 bulanık haritalamanın, l yarıçapı ve tan(γ) hassasiyeti için aynı anda ayarlanamayacağı, çünkü bu konfigürasyonun tasarım parametresinin hem bölgeyi hem de hassasiyet seviyesini etkilediği analiz edilmiştir. N=5 kurallı tek girişli aralık değerli tip-2 bulanık kontrolörün, tip-1 muadilinin üzerine inşa edilmekle beraber hem l tarafından belirlenen bölge hem de hassasiyet seviyesi (tan(γ)) için tasarım parametreleri tarafından ayrı ayrı şekillendirilebilen parçalı ve doğrusal olmayan bulanık haritaya sahip olduğu gösterilmiştir. Önerilen yöntemin birim haritalama için ayarlanması durumunda, bu tezde başvurulan ve karşılaştırmalı deneysel çalışmalarda kullanılan temel keskin kontrolöre indirgenmesi de ayrıca sunulmaktadır. Bölüm 6'da, kapalı ortamda yürütülmüş deneysel çalışmalara dair detaylar ve deneysel sonuçlar verilmektedir. Bölüm 5'te yapılan analizler baz alınarak, bu bölümde bulanık mantık tabanlı uçuş kontrol sistemleri için sade ayarlama yönergeleri sunulmakla beraber, bu kontrol sistemleri ilgili yönergelere göre tasarlanmaktadır. Bahsi geçen bulanık mantık tabanlı uçuş kontrol sistemleri doğrudan hedef donanım üzerinde gerçek zamanlı olarak çalışan ve bu çalışmada önerilen N=5 kurallı diferansiyel düzlük tabanlı tip-1 bulanık kontrolör ile N=3 ve N=5 kurallı aralık değerli tip-2 bulanık kontrolörleridir. Bu bölümde ayrıca; farklı hız, ivme ve irtifa özelliklerine sahip dört uçuş güzergâhı tasarlanıp her yörünge için iki farklı zaman ölçeği değeri belirlenmiştir. Zaman ölçeği, tasarlanan güzergâh uçuş süresi için bir çarpandır ve güzergâh boyunca uçuşun ne kadar hızlı ya da ne kadar yavaş olacağını gösterir. Bu yüzden belirlenen iki zaman ölçeğinden biri nominal uçuş süresine, diğeri ise agresif uçuşu temsil eden daha kısa bir uçuş süresine tekabül etmektedir. Tek bir deney; seçilen bir kontrolör, güzergâh ve zaman ölçeği için yapılan 10 tekrarlı uçuşu içermektedir. Ardından bir performans ölçütü tanımlanıp, bu ölçütün ortalama, minimum, maksimum değerleri ve standart sapmaları hesaplanarak her deneyin performansı değerlendirilmiştir. Deneysel sonuçlar, önerilen diferansiyel düzlük tabanlı tip-1 / aralık değerli tip-2 bulanık uçuş kontrolörlerinin agresif yörünge izleme kontrol problemi için temel keskin kontrolörden daha iyi uçuş performansı sergilediğini göstermektedir. N=5 kurallı tek girişli aralık değerli tip-2 bulanık kontrolörleri, N=5 kurallı tip-1 eşdeğerine ve N=3 kurallı aralık değerli tip-2 eşdeğerine kıyasla tümüyle daha iyi sonuçlar sağlamaktadır. Basit tasarımına rağmen N=3 kurallı tek girişli aralık değerli tip-2 bulanık kontrolör dikkate değer sonuçlar vermektedir. Bir diğer N=5 kurallı tek girişli aralık değerli tip-2 bulanık kontrolör tasarımı için yörünge takip performansı, yörüngenin daha küçük zaman ölçeği değerleri ile daha agresif hale gelmesi koşulunda tüm yörüngelerde diğerlerinden daha tutarlı sonuçlar sergilemektedir.
Özet (Çeviri)
This study presents a new differential flatness-based single input fuzzy logic controller structure for aggressive maneuvering control alongside its real-world application on a nano quadcopter. We propose both type-1 and interval type-2 single input fuzzy logic controllers as the primary controllers in the flight control system, which are built on the concept of differential flatness. Today, quadcopters are used for a wide variety of applications and purposes such as aerial photography, search and rescue operations, surveying and mapping, inspection, agriculture, and emergency response. Quadcopters are getting more and more well-liked in the commercial and consumer markets as a result of the rising demand for their usage areas. Additionally, the dimensions of quadcopters have significantly changed along with the rapid development in contemporary technology. As a result, we can discuss quadcopter types such as mini, micro, or nano. Nano quadcopters, the smallest ones, are lightweight, more portable, and easier to operate and maneuver with high agility since they are constructed with small-scale rotors and frames. Due to their greater maneuverability and agility, nano quadcopters are primarily used for aggressive flights. One of these nano quadcopters also used for the experimental part of this study is Crazyflie which is commercialized by Bitcraze AB. In Chapter 1, we give detailed literature research on the modeling and control of Crazyflie. The control problem includes not only aggressive maneuvers but also hovering conditions. The mainstream controller design consists of utilizing the flight controllers for the model which is linearized around hover conditions. This approach is effective only for comparatively small linear and angular accelerations rather than aggressive maneuvering since agility requires bigger and faster changes in linear and angular accelerations. Although linear controllers still tend to be favored due to their ease of design and implementation, nonlinear controllers perform better in terms of robustness and disturbance rejection. Additionally, there are many studies based on employing intelligent control methods such as fuzzy logic controllers for attitude control and trajectory tracking of quadcopters. Even though conventional (type-1) fuzzy logic controllers are the most widely used type of fuzzy logic controllers, a significant amount of study on interval type-2 fuzzy logic controllers has been conducted recently. Researches show that interval type-2 fuzzy logic controllers perform better than those type-1 counterparts due to the additional degree of freedom provided by the footprint of uncertainty in their interval type-2 fuzzy sets. However fuzzy logic controllers with two or three inputs are considered to be used predominantly, studies present that single input fuzzy logic controllers can simplify the design without any side effects or performance loss. Moreover, single input interval type-2 fuzzy logic controllers can provide high-performance tracking results, even in the presence of environmental disturbances. When quadcopters are required to perform aggressive maneuvers, the mainstream controllers become unsatisfactory since the flight control system cannot generate large linear and angular accelerations to control the quadcopter. Therefore, aggressive flight control is a challenging topic that several studies are focusing on for quadcopters. Alongside the capability of aggressive maneuvering, generating feasible trajectories is an essential point for agile flights. Different linear controller approaches are proposed for aggressive trajectory tracking control of quadcopters. Dissimilar to linear approaches, various controller strategies such as nonlinear tracking controllers, learning-based methods, and gain scheduling controllers, Lyapunov-based methods are also introduced for aggressive maneuver control of quadcopters. Aggressive maneuvering control is dependent on generating feasible trajectories since desired positions, velocities, and angular and linear accelerations are determined during trajectory generation. Differential flatness takes to the stage when it comes to trajectory tracking applications such as tracking control of quadcopters, robot manipulators, or ground vehicles. Differential flatness is a concept for the systems that shows state and inputs are functions of the designated flat outputs and their time derivatives. Since the trajectory can be planned for flat outputs, the differential flatness property is an appropriate concept for trajectory generation and tracking since the output space can be mapped to system inputs. In Chapter 2, Crazyflie system analysis is performed comprehensively for both hardware and software. Software architecture is explained both visually and textually by giving references to firmware source code. Thus, major parts of the firmware such as the controller, estimator, and commander are examined alongside the software flow from power on to power off. Additionally, we work on controller implementations of Crazyflie in favor of deployment for the proposed controller structure. We give mathematical descriptions for fuzzy set theory and fuzzy logic controllers in Chapter 3. This chapter covers preliminaries of fuzzy logic, type-1 and interval type-2 fuzzy sets, general structures of type-1/interval type-2 fuzzy logic controllers, and single input fuzzy logic controllers. Chapter 4 is of primary importance in two respects: differential flatness and modeling of Crazyflie. First, we introduce the differential flatness concept, differentially flat systems, and the relationship between differential flatness and feasible trajectory generation. Then, the dynamic model is given by defining reference frames such as world, intermediate and body, and rotation matrix in the Z-X-Y Euler angles convention. Additionally, Newton-Euler equations are provided for modeling rotational and translational dynamics; and equations for the generated net thrust and generated roll, pitch, and yaw moments are given to be used in differential flatness property later. Afterward, the differential flatness-based characterization which is essential to show the quadcopter is a differentially flat system is performed for the position, orientation, angular velocity, angular acceleration, and control inputs (roll, pitch, yaw moments). Thus, it is proved that flat outputs can be mapped to the system state and control inputs which means the quadcopter presents differential flatness property. In Chapter 5, we present novel differential flatness-based type-1 and interval type-2 fuzzy flight controllers for the agile trajectory tracking control problem of quadcopters. The proposed approach not only utilizes differential flatness property but also unveils the capabilities of single input fuzzy logic controllers to handle nonlinear and uncertain dynamics. First, we develop and use a geometric approach to make interpretations for the fuzzy mapping characteristics which are determined by design parameters. This approach consists of a circle located at the origin with a radius l that provides valuable information about the region and level of sensitivity (tan(γ)), aggressiveness/smoothness, for fuzzy mappings of single input fuzzy logic controllers. We show that while a single input type-1 fuzzy logic controller with N=5 rules generates piecewise linear fuzzy mapping, N=3 counterpart has a unit mapping that is completely linear. However, unit mapping can also be generated by type-1 single input fuzzy logic controller with N=5 rules; we focus to analyze how piecewise linear mapping can be shaped via design parameters to obtain an aggressive or smooth fuzzy mapping. We also employ single input interval type-2 fuzzy logic controllers with both N=3 and N=5 rules. Unlike type-1 counterparts, these interval type-2 fuzzy logic controllers have nonlinear fuzzy mappings. We present that interval type-2 fuzzy mapping with N=3 rules cannot be tuned for radius l and sensitivity tan(γ) at the same time since the design parameter of this configuration affects both region and level of sensitivity. Single input interval type-2 fuzzy logic controller with N=5 rules is built up its type-1 baseline and exhibits piecewise nonlinear fuzzy mapping that can be shaped by design parameters for both region and level of sensitivity separately. Note that if the proposed method is tuned for unit mapping it reduces to the baseline crisp controller which is referenced in this study and employed in comparative experimental studies. Chapter 6 demonstrates experimental studies which are conducted in an indoor environment. Based on the analysis in Chapter 5, we present simple tuning guidelines and then design fuzzy logic-based flight control systems, which were implemented as onboard real-time controllers that are differential flatness-based type-1 with N=5 rules and interval type-2 with N=3 and N=5 rules fuzzy flight controllers. Also, we design four trajectories with different velocity, acceleration, and altitude characteristics; and determine two timescale values per trajectory. A single experiment consists of 10 flights for a trajectory with a selected controller and a timescale value which is a multiplier for trajectory duration. Then, we define a performance measure and evaluate the performances of each experiment by calculating the average, minimum, maximum values, and standard deviations. For the aggressive trajectory tracking control problem, the experimental results present that proposed differential flatness-based type-1 and interval type-2 fuzzy flight controllers exhibit better flight performance than baseline crisp controller. Single input interval type-2 fuzzy logic controllers with N=5 rules provide overall preferable results compared to type-1 counterpart with N=5 rules and interval type-2 counterpart with N=3 rules. Despite its simplicity of design, single input interval type-2 fuzzy logic controller with N=3 rules give remarkable results. The tracking performance for a design of single input interval type-2 fuzzy logic controller with N=5 rules is more consistent than any other across all trajectories as the trajectory becomes more aggressive with smaller timescale values.
Benzer Tezler
- Kontrollü lagrange yöntemleri ve uygulamaları
Controlled lagrangian methods and applications
HÜSEYİN ALPASLAN YILDIZ
Doktora
Türkçe
2024
Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve Kontrolİstanbul Teknik ÜniversitesiKontrol ve Otomasyon Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. AFİFE LEYLA GÖREN
- Higher order sliding mode control of a flatness-based feed forward/feedback linearized quadrotor
Başlık çevirisi yok
MELİH METİN PEKKAPTAN
Yüksek Lisans
İngilizce
2020
Elektrik ve Elektronik MühendisliğiPolitecnico di MilanoPROF. GİAN PAOLO INCREMONA
PROF. LUCA BASCETTA
- High-speed trajectory tracking controller design
Yüksek hızlı iz takip kontrolörü tasarımı
OMAR SHADEED
Yüksek Lisans
İngilizce
2024
Havacılık ve Uzay Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiUçak ve Uzay Mühendisliği Ana Bilim Dalı
Assoc. Prof. Dr. EMRE KOYUNCU
- High-speed trajectory replanning and trajectory tracking for collision avoidance
Çarpışma önlemek için yüksek hızlı rota planlama ve rota takibi
MEHMET HASANZADE
Doktora
İngilizce
2021
Uçak Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiUçak ve Uzay Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DR. ÖĞR. ÜYESİ EMRE KOYUNCU
- Yol ihtimaliyet metodu ve değişim prensibine dayalı kinetik denklemlerle blume-emery-griffiths modelinin dinamik özelliklerinin incelenmesi
Başlık çevirisi yok
ABDÜLKADİR SOLAK
Yüksek Lisans
Türkçe
1998
Fizik ve Fizik MühendisliğiGaziosmanpaşa ÜniversitesiFizik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. MUSTAFA KESKİN