Geri Dön

Hiperbolik metrik uzaylarda KF-iterasyon yöntemi için bazı sabit nokta teoremleri

Some fixed point theorems for the KF-iteration method in hyperbolic metric spaces

PDF İndir

  1. Tez No: 841824
  2. Yazar: EMRE ÖZTÜRK
  3. Danışmanlar: DOÇ. DR. AYNUR ŞAHİN
  4. Tez Türü: Yüksek Lisans
  5. Konular: Matematik, Mathematics
  6. Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
  7. Yıl: 2023
  8. Dil: Türkçe
  9. Üniversite: Sakarya Üniversitesi
  10. Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
  11. Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
  12. Bilim Dalı: Fonksiyonlar Teorisi ve Analiz Bilim Dalı
  13. Sayfa Sayısı: 79

Özet

Bu tezin amacı, 2005 yılında Kohlenbach tarafından verilen hiperbolik metrik uzaylarda KF-iterasyon yöntemini kullanarak daralma dönüşümleri için zayıf w^2-kararlılık ve veri bağımlılığı teoremleri ile 1. tip genelleştirilmiş (α,β)-genişlemeyen dönüşümler için bazı Δ-yakınsaklık ve kuvvetli yakınsaklık teoremlerini ispatlayıp literatürde var olan bazı sonuçları genelleştirmektir. Kohlenbach tarafından tanımlanan hiperbolik metrik uzaylar, 1983 yılında Goebel ve Kirk tarafından tanımlanan hiperbolik tip uzay tanımına göre daha kısıtlayıcı, fakat 1990 yılında Reich ve Shafrir tarafından tanımlanan hiperbolik uzay tanımından ise daha geneldir. Banach uzayı, CAT(0) uzayı ve Hilbert yuvarı hiperbolik metrik uzayın özel durumlarıdır. Tezde ayrıca, hiperbolik metrik uzaylarda 1. tip genelleştirilmiş (α,β)-genişlemeyen dönüşümler için aşikar olmayan bir nümerik örnek vererek KF-iterasyon yöntemiyle diğer farklı iterasyon yöntemlerini karşılaştırarak KF-iterasyon yönteminin dönüşümün sabit noktasına diğer iterasyon yöntemlerinden daha hızlı yakınsadığını göstermek amaçlandı. Bu doğrultuda ilk olarak, 2022 yılında Ullah, Ahmad ve Khan tarafından ve Temir ve Korkut tarafından yapılan çalışmalarda tanımlanan sabit noktaya literatürdeki birçok iterasyon yönteminden daha hızlı bir şekilde yakınsayan ve Ullah, Ahmad ve Khan tarafından KF-iterasyon yöntemi olarak adlandırılan iterasyon yöntemi hiperbolik metrik uzayın yapısına uygun bir biçimde yeniden ifade edildi. Daha sonra 1922 yılında Banach tarafından çalışılan daralma dönüşümleri ile 2021 yılında Akutsah ve Narain tarafından tanıtılan ve genelleştirilmiş α-genişlemeyen, ortalama genişlemeyen ve ( ) şartını sağlayan dönüşüm sınıfı gibi birçok dönüşüm sınıfını içeren genişlemeyen dönüşümlerin daha genel bir sınıfı olan "1. tip genelleştirilmiş (α,β)-genişlemeyen dönüşümler'' kullanılarak bazı teorik sonuçlar ispatlandı. Son olarak ise bir 1. tip genelleştirilmiş (α,β)-genişlemeyen dönüşüm örneği verilerek MATLAB programı aracılığıyla elde edilen tablo ve grafik yardımıyla KF-iterasyon yöntemi ile literatürde var olan diğer iterasyon yöntemlerinin sabit noktaya yakınsama hızları karşılaştırılarak araştırmacılar tarafından ileride yapılabilecek çalışmalar hakkında bilgi verildi. Bu tezden üretilen ve SCI-Expanded kapsamındaki dergide yayımlanan makale ile bu tezde ele alınan konular hiperbolik metrik uzaylarda sabit nokta teorisinin gelişimi için ileride yapılacak çalışmalara kaynak teşkil edecek niteliktedir.

Özet (Çeviri)

The aim of this thesis is to prove the weak w^2-stability and data dependence theorems for contraction mappings and some Δ-convergence and strong convergence theorems for generalized (α,β)-nonexpansive type 1 mappings using the KF-iteration method in hyperbolic metric spaces given by Kohlenbach and to generalize some results that exist in the literature. In addition, it was aimed to show that the KF-iteration method converges to the fixed point of the mapping faster than other iteration methods by comparing some iteration methods in the literature with the KF-iteration method by giving a numerical example for generalized (α,β)-nonexpansive type 1 mappings in hyperbolic metric spaces. 1. To achieve this goal, firstly, by examining the following studies, the KF-iteration was restated in a suitable form for the structure of the hyperbolic metric space given by Kohlenbach. a. In 2022, in the paper written by Ullah, Ahmad and Khan, and in the paper written by Temir and Korkut, the iteration method, which converges to the fixed point faster than some iteration methods in the literature and was called the KF-iteration method by Ullah, Ahmad and Khan, was defined as follows: {■(x_1∈C,@■(z_n=T((1-β_n ) x_n+β_n Tx_n ),@■(y_n=Tz_n,@x_(n+1)=T((1-α_n )Tx_n+α_n 〖Ty〗_n ),∀n≥1,)))┤ where C is a nonempty convex subset of a Banach space X, T is a self-mapping on C, and {α_n },{β_n } are two real sequences in [0,1]. b. Let (X,d) be a metric space and W:X×X×[0,1]→X be a mapping. The mapping W is said to be a convex structure on X if for all x,y,z∈X and α∈[0,1], d(z,W(x,y,α))≤(1-α)d(z,x)+αd(z,y) and a metric space (X,d) together with the convex structure W is called a convex metric space which is denoted by (X,d,W). In 2005, Kohlenbach defined the concept of hyperbolic metric space by adding the following three conditions to Takahashi's definition of convex metric space. Let (X,d) be a metric space and W:X×X×[0,1]→X be a mapping. Then (X,d,W) will be the hyperbolic metric space if the following conditions are satisfied: (i) d(z,W(x,y,α))≤(1-α)d(z,x)+αd(z,y), (ii) d(W(x,y,α),W(x,y,β))=|α-β|d(x,y), (iii) W(x,y,α)=W(y,x,1-α), (iv) d(W(x,z,α),W(y,w,α))≤(1-α)d(x,y)+αd(z,w) for all x,y,z,w∈X and α,β∈[0,1]. The KF-iteration was modified according to hyperbolic metric space in the following way: Let X be a hyperbolic metric space, C be a nonempty convex subset of a hyperbolic metric space X and T: C→C be a mapping. The KF-iteration is defined by {■(x_1∈C,@■(z_n=T(W(x_n,Tx_n,β_n )),@■(y_n=Tz_n,@x_(n+1)=T(W(Tx_n,〖Ty〗_n,α_n )),∀n≥1,)))┤ where {α_n },{β_n }∈[0,1]. 2. Then, by examining the definitions given below, the weak w^2-stability and data dependency theorems for contraction mappings were proved. a. Let (X,d) be a metric space. A mapping T:X→X is said to be a contraction if there exists a constant k∈[0,1) such that for all x,y∈X d(Tx,Ty)≤kd(x,y). b. Let (X,d) be a metric space, T:X→X be a mapping and {x_n}⊂X be an iterative sequence defined by {■(x_1∈X@x_(n+1)=f(T,x_n ),∀n≥1,)┤ where f is a function. Suppose that {x_n} converges strongly to p∈F(T). If, for any equivalent sequence {y_n}⊂X of {x_n}, (lim)┬(n→∞) d(y_(n+1), f(T,y_n ))=0⇒(lim)┬(n→∞) y_n=p then, the iterative sequence {x_n} is said to be weak w^2-stable with respect to T. c. Let (X,d) be a metric space and T,T ̃:X→X be two operators. T ̃ is called an approximate operator of T if d(Tx,T ̃x )≤ε for all x∈X and for a fixed ε>0. After it is shown that the sequence obtained from an iteration method is convergent to the fixed point of the mapping used, it can be shown that the new sequence obtained using the approximation operator for this iteration method is also convergent to the fixed point of the approximation operator. In such a case, the questions of how close the fixed points of both mappings are to each other and how to calculate this distance bring up the concept of data dependency. 3. At the same time, the Δ-convergence and strong convergence theorems for generalized (α,β)-nonexpansive type 1 mappings were proved in line with the following information. a. In 2021, two more general classes of nonexpansive mappings "generalized (α,β)-nonexpansive type 1 and type 2 mappings'' were introduced by Akutsah and Narain. From these classes of mappings, the class of generalized (α,β)-nonexpansive type 1 mappings include many mapping classes such as the generalized α-nonexpansive, mean nonexpansive and mappings satisfying the ( ) condition. (i) Let C be a nonempty subset of a metric space (X,d). A mapping T:C→C is said to be generalized (α,β)-nonexpansive type 1 if there exist α,β,λ∈[0,1) with α≤β and α+β0, there exists n_0=n_0 (ε)∈N such that 𝑑(x_n, x)

Benzer Tezler

  1. Tez No

    376267

    Hiperbolik uzaylarda özel dönüşüm sınıflarının ortak sabit noktalarına iterativ yaklaşımlar

    Iterative approximations to common fixed points of special mapping classes in hyperbolic spaces

    BİROL GÜNDÜZ

    Doktora

    Türkçe

    Türkçe

    2014

    MatematikAtatürk Üniversitesi

    Matematik Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. SEZGİN AKBULUT

  2. Tez No

    421179

    Hiperbolik ve yarı-hiperbolik uzaylarda sonlu tipten genelleştirilmiş Gauss tasvirine sahip alt manifoldlar

    Submanifolds of hyperbolic and pseudo-hyperbolic spaces with finite type generalized Gauss map

    RÜYA ŞEN

    Doktora

    Türkçe

    Türkçe

    2016

    Matematikİstanbul Teknik Üniversitesi

    Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. UĞUR DURSUN

  3. Tez No

    892913

    Bikompleks sayıların bazı topolojik özellikleri

    Some topological properties of bicomplex numbers

    RECEP ALİ AKYURT

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2024

    MatematikOndokuz Mayıs Üniversitesi

    Matematik Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. CENAP DUYAR

  4. Tez No

    901222

    G-metrik uzayda sabit hiperbol ve sabit Apollonius çember teoremleri

    Fixed hyperbola and fixed Apollonius circle theorems in G-metric space

    AYÇA ÖZKUL

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2024

    MatematikEskişehir Osmangazi Üniversitesi

    Matematik ve Bilgisayar Bilimleri Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. ÖZCAN GELİŞGEN

  5. Tez No

    58544

    Fuchsian gruplar

    Fuchsian groups

    RECEP ŞAHİN

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    1997

    MatematikBalıkesir Üniversitesi

    Matematik Eğitimi Ana Bilim Dalı

    Y.DOÇ.DR. HASAN BASRİ ÖZDEMİR

Geri Dön