Construction of reversible complement DNA codes over a family of chain rings
Bir zincir halka ailesi üzerinde tersinir tümler DNA kodları inşaası
- Tez No: 845489
- Danışmanlar: DOÇ. DR. ERGÜN YARANERİ
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2023
- Dil: İngilizce
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 59
Özet
$\{A, C, G, T\}$ alfabesi kullanılarak oluşturulan DNA kodları biyobilim, bilgisayar mühendisliği, veri depolama, DNA programlama, hata düzeltme teorisi gibi birçok alanda yaygın olarak kullanılmaktadır. Kullanım alanına bağlı olarak bu kodların belirli kombinatoryal özelliklere sahip olması beklenir. Bu özellikler arasında tersinirlik, Watson-Crick tümlerlik, minimum Hamming uzaklığı, sabit GC içeriği, ters tümler kod sözcükleri arası Hamming uzaklığı sayılabilir. DNA kodları değişmeli halkalar üzerinde tanımlamak sıkça kullanılan bir yöntemdir ve bu halkaların cebirsel yapıları sayesinde belirtilen özelliklere sahip kodlar elde edilebilmektedir. Bu tez çalışmasında, genelleştirilmiş bir zincir halka ailesi üzerinde tanımlanmış tersinirlik ve tümlerlik özelliklerini sağlayan DNA kodları elde edilişi anlatılmıştır. Bu halka ailesi $S = \mathbb{F}_{4^t}[u]$/$\left$'dir. $S$ halkaların elemanları öncelikle başka bir zincir halka ailesi olan $R=\mathbb{F}_4[v]$/$\left$'nin elemanlarına eşlenmiştir. $R$ halkası, cebirsel yapısı sebebiyle DNA kodları inşaası için daha elverişlidir. Zincir halkaların elemanlarından DNA kod sözcüklerine tanımlanan birebir ve örten fonksiyonlar inşaa edilerek oluşan kodların kombinatoryal özellikleri kontrol edilmiştir. Bu fonksiyonlar ile geniş bir yelpazede uzunluk, boyut ve uzaklık değerlerine sahip kodlar elde edilmiştir. Ayrıca, belirli bir halka yerine bir halka ailesinin kullanılması, çalışmaya çok yönlülük ve özgünlük sağlamıştır. Çalışmada, keyfi değişmeli halkalar üzerinde kodlar için tersinirlik koşulları oluşturulmuştur. Ardından, tek uzunluklu devirli kodlardan elde edilen DNA kodlarının tersinirliği için gerek ve yeter şartlar oluşturulmuştur. DNA molekülleri hücrenin genetik depolama birimleridir. Çift zincirlidirler. Her zincir 4 farklı tip nükleotit içerir: Adenin (A), Guanin (G), Sitozin (C) ve Timin (T). DNA'nın iki zinciri, nükleotit çiftleri arasındaki hidrojen bağları sayesinde birbirlerine bağlıdır. Bu eşleşme, Watson-Crick Tümlerlik özelliğine göre gerçekleşir. Watson-Crick Tümlerlik, Adeninin tümlerini Timin, Guanininin tümlerini Sitozin olarak tanımlar. $\overline{A}=T,$ $\overline{T}=A,$ $\overline{C} =G$ and $\overline{G} = C$ ile gösterilir. DNA'nın özelliklerinin hesaplamalı bilimlerde kullanılışı, Adleman tarfından yapılan bir çalışmaya dayanır. Bu çalışmada, NP-tam bir Hamilton yol problemi Watson-Crick Tümlerlik özelliği kullanılarak cevaplanmıştır. O günden bu yana, zorlu hesaplamaların ve programlamaların çözümünde DNA moleküllerinin kombinatoryal yönleri kullanılmaya devam etmiştir. DNA kodları, $S_{D_4}=\{A,C,G,T\}$ alfabesi kullanılarak yazılan kod sözcükleri kümeleridir. Yukarıda bahsedilen kombinatoryal özellikleri sağlayan, belirli uzunluk ve Hamming uzaklığındaki en fazla sözcük sayısına sahip DNA kodları oluşturmak amaçlanır. Böylece hata düzeltme kapasitesi ve iletim hızı yüksek kodlara ulaşılır. Kodlama teorisinde genel olarak hem algoritmik, hem de cebirsel metodlar sıkça kullanılmaktadır. DNA kodlarının inşaasında kullanılan halkalar ve cisimler arasında ise $\mathbb{F}_2+u\mathbb{F}_2$, $\mathbb {F}_2+u\mathbb {F}_2+v\mathbb {F}_2+uv\mathbb {F}_2$, $\mathbb{F}_2[u]$/$(u^{2k}-1)$, $\mathbb{Z}_4[v]$/$(v^2-v)$, $\mathbb{Z}_4[u]$/$\big$, $\mathbb{Z}_4+v\mathbb{Z}_4$, $\mathbb{F}_2[u]$/$(u^4-1)$, $\mathbb{F}_4[u]$/$\big$, grup matris halkaları ve Galois halkaları sayılabilir. Bu tez çalışmasında seçilen halka ailesi olan $S = \mathbb{F}_{4^t}[u]$/$\left$'den $tk$ uzunluğundaki DNA kod sözcüklerine fonksiyonlar aşağıdaki şemada özetlenmiştir: $$\begin{tikzcd} S\arrow{r}{\gamma } & R\arrow{r}{\eta } &\mathbb{F}_4^{tk} \arrow{r}{\widetilde{\sigma }} & S_{D_{4^{tk}}}\\ {} &{ } &\mathbb{F}_4\arrow[swap]{r}{\sigma }\arrow[ur, phantom,“\big\uparrow ”] & S_{D_4} \end{tikzcd}$$ Bileşke fonksiyon $\theta =\widetilde{\sigma } \circ \eta$'nın $n$ boyutlu uzaya genişletilmesiyle oluşturulan $\Theta :R^n\rightarrow S_{D_{4^{tk}}}^n$ sayesinde ise $tkn$ uzunluğunda kod sözcükleri oluşturulmuştur. Bu fonksiyon şeması, nihai kodların her $t$, $k$ için tümlerlik ve tersinirlik özelliklerine sahip olması sağlanacak şekilde kurgulanmıştır. Her $R=\mathbb{F}_4[v]$/$\left$ halkasında $$\kappa:=(\omega +1)\sum_{i=\lfloor \frac{tk}{2}\rfloor }^{tk-1}v^i$$ elemanı tanımlanmıştır. Bu eleman üzerinden halkadaki keyfi bir $a \in R$ ya da $\boldsymbol{a}\in R^n$ elemanın DNA kod sözcüğü görüntüsünün tümleri için $a+\overline{a}=\kappa$ ve $\overline{\Theta(\boldsymbol{a})}=\Theta(\boldsymbol{a}+\kappa\boldsymbol{1}_n)$ özelliği sağlatılmıştır. $R$ halkası üzerinde $n$ uzunlukta bir $C$ lineer kodunun tümler kod olması için gerek ve yeter şart $\kappa\boldsymbol{1}_n$ elemanının $C$'de olması olarak belirlenmiştir. Bu koşul, $\Theta(C)$ DNA kodunun tümlerlik şartını belirlemek için de kullanılmıştır. $Z$ herhangi bir alfabe olmak üzere \mbox{$T:Z^n\rightarrow Z^n$} fonksiyonu herhangi bir $\boldsymbol{a}=(a_1,a_2,...,a_n) \in Z^n$ \\için \mbox{$T(\boldsymbol{a})=\boldsymbol{a}^r:=(a_n,...,a_2,a_1)$} olarak tanımlansın. $C$ ise $Z$ üzerinde $n$ uzunluğunda bir kod olsun. $T(C)=C$ ise $C$ koduna tersinirdir denir. Benzer şekilde, her $R=\mathbb{F}_4[v]$/$\left$ halkasında $$\rho:= 1 + \sum_{i={\lceil\frac{tk}{2}}\rceil}^{tk-1}v^i$$ elemanı tanımlanmıştır. Bu eleman üzerinden halkadaki keyfi bir $a \in R$ ya da $\boldsymbol{a}\in R^n$ elemanın DNA kod sözcüğü görüntüsünün tersinin $\theta(a)^r =\theta \left (\rho a \right )$ ve $\Theta(\boldsymbol{a})^r=\Theta(\rho \boldsymbol{a}^r)$ ile hesaplanabilmesi sağlanmıştır. Keyfi bir $A$ halkası üzerinde kodların tersinirliği üzerine genel şartlar sunulmuştur. Bunu takiben, keyfi $A$ halkası üzerinde devirli kodların tersinirliği ele alınmış, bu devirli kodlar $A[x]/\big$'in idealleri olarak tanımlanmıştır. Bir polinomun tersi tanımlanıp, üreteç polinomların kendine ters olması ile üretilen DNA kodlarının tersinirliği arası ilişkiler ortaya konmuştur. $R$ halkası, karakteristiği 2, tek maksimal ideali $\big$, bu idealin nilpotentliği $tk$ olan sonlu zincir halkasıdır. $R/\big$ bölüm halkası $\mathbb{F}_4$'e izomorftur ve $\mathbb{F}_4$, $R$'ın birimsel alt halkasıdır. $n$ tek sayı, $s=tk$ olmak üzere, $R[x]/\big$'in herhangi bir ideali $C=\left $ olacak şekilde $\mathbb{F}_4$ üzerinde $g_{s-1}\vert g_{s-2}\vert \cdots \vert g_1\vert g_0\vert x^n-1$ koşulunu sağlayan $g_0,g_1,...,g_{s-1}$ monik polinomları vardır. $C$ devirli kodunun tersinir olması için gerek ve yeter şartın, her $g_i$ polinomunun kendine ters polinom olması olduğu kanıtlanmıştır. $\Theta(C)$ DNA kodunun tersinir olması için gerek ve yeter şartın her $g_i$ polinomunun kendine ters polinom olması ve $\kappa(1+x+...+x^n)$'nin $C$'nin elemanı olması olduğu gösterilmiştir. DNA kodların inşaasının teorik metodlarının yanısıra, çeşitli örnek kodlar sunulmuştur. Bu örneklerin içerisinde, tekrarlı ve delikli kodlar dahil olmak üzere, muhtelif halka aileleri üzerinde tanımlı kodlar bulunmaktadır. Bu kodlar, uzunluk, aktarım hızı, Hamming uzunluğu ve göreceli minimum uzaklık parametreleri bakımından hem kendi içlerinde hem de literatürdeki örneklerle karşılaştırılmıştır. Örneklerin de desteklediği gibi, bu tez çalışması, cebirsel yapıların özellikleri kullanılarak, isteğe göre ayarlanmış uzunlukta, yüksek kod hızına ve göreceli minimum uzaklığa, böylece daha yüksek iletim hızına ve hata düzeltme kapasitesine sahip DNA kodları oluşturmanın mümkün olduğunu göstermektedir. İleriki araştırma alanları arasında, lineer kodlardan elde edilen DNA kodlarının tersinirliği, sabit GC iceriğine sahip DNA kodlarının cebirsel türetimi, ve keyfi halkalar üzerinde çift uzunlukta DNA kodları sayılabilir.
Özet (Çeviri)
DNA codes, which consist of codewords over the alphabet $\{A, C, G, T\}$, are widely used in bioscience, computer engineering, data storage and DNA computing. Depending on the field of application, it is common to study DNA codes with certain combinatorial properties (reversibility, Watson-Crick complement, minimum Hamming distance, constant GC-Content, Hamming distance between reverse complements, etc.). Defining DNA codes via commutative rings is a common approach since the algebraic structure of these rings allow one to obtain codes with the foresaid features. In this study, the aim is to obtain reversible complement DNA codes, which are images of codes on a particular chain ring family $S = \mathbb{F}_{4^t}[u]$/$\left.$ The elements of these rings $S$ are mapped bijectively onto elements of another chain rings $R=\mathbb{F}_4[v]$/$\left$ whose structures are more convenient to derive DNA codes. Some nice maps are constructed from the elements of the above rings to DNA codewords, allowing one to check whether a DNA code satisfies some combinatorial properties. These maps provide codes with a large spectrum of length, dimension and distance. Moreover, using a family of rings instead of one specific ring provides extreme versatility and novelty to the field. Reversibility conditions are established for codes over arbitrary commutative rings. Subsequently, necessary and sufficient conditions are proposed for reversibility of DNA codes yielded from cyclic codes of odd length. In addition to expressing the theoretical method of constructing these DNA codes, a variety of sample codes are presented. The samples include repetition and punctured codes, over a diverse collection of rings in the family. These codes are also analysed and thereafter compared with each other and previously constructed codes in the literature with respect to their size, transmission rate, Hamming distance and relative minimum distance.
Benzer Tezler
- F2 + uF2 + vF2 + v^2F2 halkası üzerindeki devirli kodlar ve DNA kodlara uygulamaları
Cyclic codes over the ring F2 + uF2 + vF2 + v^2F2 and applications to DNA codes
MERVE BULUT YILGÖR
Doktora
Türkçe
2020
MatematikYıldız Teknik ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. FATİH DEMİRKALE
DR. ÖĞR. ÜYESİ ELİF SEGAH ÖZTAŞ
- Optoelektronik uygulamalar için hibrit fonksiyonel yarı iletkenler
Hybrid functional semiconductors for optoelectronic applications
DEMET ASİL ALPTEKİN
- Determination of the effects of reversible lane operation on lane utilization by using microscopic traffic variables case study: Bosphorus bridge
Ek şerit uygulamasının etkilerinin mikroskopik trafik değişkenleri kullanılarak belirlenmesi:Boğaziçi köprüsü örneği
PEGAH DADRAS
Yüksek Lisans
İngilizce
2014
Trafikİstanbul Teknik Üniversitesiİnşaat Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. KEMAL SELÇUK ÖĞÜT
- Synthetic strategies for complex macromolecular architectures
Karmaşık makromoleküllerin sentezinde sentetik yöntemler
YONCA ALKAN GÖKSU
- Kovulanın izi: Hayaletbilimsel mekan okumaları
Traces of expelled: Hauntological readings of spaces
DAMLA İNCİ
Yüksek Lisans
Türkçe
2024
Felsefeİstanbul Teknik ÜniversitesiMimarlık Ana Bilim Dalı
DR. ÖĞR. ÜYESİ İFFET HÜLYA ARI