Novel fractional order calculus-based audio processing methods and their applications on neural networks for classification and synthesis problems
Kesirli mertebeden kalkülüs temelli yeni ses işleme yöntemleri ve bunların sinir ağları üzerinde sınıflandırma ve sentez problemlerine uygulanması
- Tez No: 848329
- Danışmanlar: DOÇ. DR. MÜRVET KIRCI
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Elektrik ve Elektronik Mühendisliği, Electrical and Electronics Engineering
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2023
- Dil: İngilizce
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Elektronik ve Haberleşme Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Elektronik Mühendisliği Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 136
Özet
Alışılmış yaklaşımlara dayalı yöntemlerin hakim olduğu bir bilimsel araştırma alanındaki problemlerin çözümünde alışılmadık bir yaklaşımın ya da daha az uygulanan bir matematiksel çerçevenin araçlarının kullanılmasının yeni çözümler için bir potansiyel yaratması ve umut verici olanaklar ortaya koyması her zaman önemli ve sık karşılaşılan bir olgu olmuştur. Bu tez çalışması, kendisini bu akademik araştırma sürecinin bir parçası olarak konumlandırmaktadır. Bu tez çalışması sırasında yapılan araştırmalar, ses sinyali işlemenin bir dizi kategorisindeki problemlere farklı çözümler önermek veya var olan çözümlerle elde edilen sonuçları iyileştirmek için Kesirli Mertebeden Kalkülüs'ün (Fractional Order Calculus, FOC) nispeten daha az uygulanan matematiksel çerçevesine dayanan yeni yöntemler önermeyi ve yöntemlerin yeteneklerini incelemeyi amaçlamaktadır. FOC üç asırdan fazla bir geçmişe sahip bir matematiksel çerçevedir. Bu yüzyıllara uzanan araştırma tarihi boyunca, matematiğin bu alanı ve buradan doğan uygulamalar, tamsayı mertebeli türev-integral çerçevesine dayanan uygulamalara göre daha az ilgi çekmiştir. Özellikle sinyal işleme alanında, yerleşik kalkülüse dayanan yöntemler, tamsayı mertebeli kalkülüsünün gerçel sayılara genelleştirilmiş muadiline göre doğal basitliğe sahip olasından dolayı sıkça başvurulan yöntemler olmuştur. Bu tez boyunca sunulan yaklaşımların uygulama alanı ses sinyali işleme olarak seçilmiştir. Bu seçimin nedeni, insan makine etkileşimi ve insan iletişiminin çağdaş doğasının gereklilikleridir. Ses Sinyali İşleme problem kategorileri iki ana başlık altında toplanabilir. Bu iki konu sınıflandırma ve sentez problemleridir. Bu iki konuyla ilgili problemleri çözmeye yönelik uygulamalarda, uygulamaya göre özelleşmiş öznitelik yaklaşımları ve çıkarım modelleri geçmişte yaygın olarak kullanılmıştır. Ancak derin sinir ağları temelli uygulamaların yaygınlık kazanmasıyla birlikte veriye dayalı yaklaşımlar yaygınlık kazanmıştır. Sinir ağı araştırmalarının tarihi, başta işaret edilen bilimsel araştırma süreçlerine benzer bir gelişim göstermektedir. İlk kavramsallaştırılmalarından uzun bir süre sonra ve mevcut donanım cihazlarının gelişmiş işleme yetenekleriyle birlikte, sinir ağı modelleri veya yaygın olarak bilinen adıyla derin öğrenme mimarileri, sinyal işleme ve dolayısıyla ses sinyali işleme alanlarında devrim yaratmıştır. Bu devrimin doğrudan sonucu olarak, yeni akıllı sistemlerin tasarımlarında, verilere yaklaşım şekli değiştirmiştir. Günümüzde yaygın olarak kullanılan çıkarım modellerinin eğitim yöntemleri artan sayıda veriye ihtiyaç duymaktadır. Bu nedenle, var olan sayısal işaret işleme yöntemleri, hem derin öğrenme modellerinin parametre sayılarını azaltarak bellek boyutlarını düşürmek için yardımcı araçlar olarak hem de derin öğrenme modelleriyle elde edilen çıkarım sonuçlarının başarılarını arttırmak için veri uzayını büyütmek amacıyla kullanılır hale gelmiştir. Bu tez çalışmasında, geleneksel ve çağdaş ses sinyali sınıflandırma ve ses sinyali sentezleme yaklaşımlarının problem çözme yeteneğini artırmak için FOC tabanlı yeni yöntemler önerilmiştir. Tez çalışmasının giriş bölümünün amacı, FOC ve ses işareti işlemenin güncel sorunları gibi tezin temel kavramları hakkında genel bir anlayış oluşturmaktır. Güncel ses işleme yöntemlerinin büyük sayıda veriye ihtiyaç duyması ve derin öğrenme modellerinin eğitim parametrelerin azaltılması önemli mühendislik problemleridir. Giriş bölümünde, bu iki önemli mühendislik problemine yanıt verirken FOC temelli yeni yöntemler denemenin ve tasarlamanın geçerliliği tartışılmaktadır. Dolayısıyla, bu tez temelde FOC çerçevesinin, çağdaş sinir ağı tabanlı ses sınıflandırma ve sentezleme yaklaşımlarından kaynaklanan bir dizi probleminin çözümüne nasıl katkı verebileceğini tartışmaktadır. Tez çalışmasının ikinci bölümü FOC matematiksel çerçevesinin tanıtılmasına odaklanmıştır. Bu çerçeve mühendislik problemlerinin çözümünde yeni olanaklar sunarken bu çözümlerin de karmaşıklığının artmasına neden olmaktadır. Bu tez çalışmasında artan çözüm karmaşıklığına odaklanmak bilinçli olarak tercih edilmemiştir. Ancak belirtilmelidir ki, özellikle işaret işlemede, karmaşıklığın artması sayısal hesaplama maliyetinin de artmasına neden olmaktadır. Bununla birlikte, bu çerçevenin yetenekleri birçok araştırmacının ilgisini çekmeye devam etmiştir. Literatürde, FOC'nin birçok mühendislik uygulaması bulunabilir. Özellikle işaret işleme, zaman serisi tahmini ve görüntü iyileştirme uygulamaları gibi konulardan oluşan literatür, bu tezdeki önermelere ait kavramların önemli bir kısmını sağlamıştır. Bu tez, 3. bölümden başlayarak, her bölüm ses işareti işlemenin belirli bir uygulama kategorisine odaklanacak şekilde yapılandırılmıştır. Her bölümde, odaklanılan problem için ilgili literatür arka planı bölümün başında sunulmaktadır. Ardından, önerilen FOC tabanlı yöntemler tanımlanmış ve bu yöntemlerin yeteneklerini göstermek için deneyler gerçekleştirilmiştir. Bölüm 3'te değinilen problem ses sınıflandırma problemidir. Bu probleme ait alt kategoriler, ilgili literatürün gösterdiği gibi ele alınan ses işaretinin türüne göre belirlenmektedir. Üç temel ses işareti türü konuşma, müzik ve çevresel ses olarak sınıflandırılmaktadır. Diğer iki ses işareti türünün aksine, çevresel ses işaretleri için mevcut veri kümelerin boyutu görece azdır. Çevresel ses verilerinin bu yönü, çevresel ses işleme uygulamaları için önemli bir mühendislik problemidir. Bu önemli problem veri artırma yöntemleri alanındaki araştırmaları da teşvik etmektedir. Tez çalışmasının 3. Bölüm'ünde literatürdeki veri artırma yöntemleri hakkında bilgi verilmekte ve özellikle bir“çarpıtma (warping)”yaklaşımını kullanan VTLP yöntemi ana hatlarıyla açıklanmaktadır. Bu bölümde toplam üç adet FOC tabanlı veri artırma yöntemi sunulmaktadır. İlk yöntem Kesirli Mertebeden Maske (Fractional Order Mask) olarak adlandırılmaktadır. Bu yöntemde, kesirli mertebeden türev-integralin Grünwald-Letnikov tanımında gösterilen filtreleme katsayıları kullanılmaktadır. Literatürde benzer yaklaşımlar görüntü iyileştirme ve kenar algılama uygulamaları için kullanılmaktadır. Önerilen veri artırma yöntemi, α türev mertebesi için 5x5 2D evrişim matrisi üretir. Hesaplanan filtre parametreleri b_0,b_1,b_2, 5x5 evrişim matrisinin merkezinden başlayarak 8 yöne yerleştirilir. Önerilen yöntem, ses verilerinin tüm 2D gösterimlerine uygulanabilir. Ses verileri için en çok kullanılan gösterimler Mel Spektrogram ve Log-Mel Spektrogram gösterimleri olduğundan, önerilen yöntemin incelendiği deneyler bu iki ses verisi gösterimi ile sınırlandırılmıştır. 3. Bölümde önerilen diğer veri artırma yöntemleri Kesirli Mertebeden Frekans Ölçeği ve Kesirli Mertebeden Mel Ölçeği yöntemleri olarak adlandırılmaktadır. Bu iki yöntem, Bu yöntemde, kesirli mertebeden türev-integralin Riemann-Liouville tanımını için literatürde sunulmuş sayısal yöntemleri kullanmaktadır. Bu yöntemler özünde frekans ölçeği veya Mel ölçeği için yeniden ölçeklendirme araçları olarak tasarlanmışlardır. Yeniden ölçeklendirme ile spektrogram gösterimlerinin frekans indislerine karşılık düşen değerler bir α türev mertebesine göre ilgili fonksiyonun türev ya da integralinin alınmasıyla yeniden belirlenir. 3. bölümdeki deneyler çevresel ses sınıflandırma problemine odaklandığından, Kesirli Mertebeden Frekans Ölçeği yöntemleri bu bölümdedeki deneylerde kullanılmamılşır. Ancak 5. bölümde incelenen problem için bu yöntem önem arz etmektedir. 3. bölümdeki deneyler, sinir ağı modellerinin sınıflandırma doğruluklarındaki artışları incelemek amacıyla gerçekleştirilmiştir. Bu amaçla, deneyler hem 5 katmanlı bir evrişimsel sinir ağı (Convolutional Neural Network, CNN) modeli hem de 18 katmanlı bir ResNet üzerinde gerçekleştirilmiştir. Sonuçlar, önerilen yöntemler birleştirleştirilerek uygulanan bir veri artırma prosedürünün, giriş verisi olarak Log-Mel Spektrogramları kullanıldığında 5 katmanlı CNN için %7,7'ye kadar ve ResNet için %9'dan fazla artış sağlayabildiğini göstermektedir. Elde edilen doğruluk sonuçlarının literatürdeki kıyaslama sonuçlarını aşmadığını altını çizmek gerekir. Ancak deneylerin kapsamı matematiksel bir çerçevenin yeteneklerini göstermekle ilgili olduğundan, elde edilen doğruluk sonucu artışları bu tezin varsayımlarının geçerli olduğunu vurgulamaktadır. Bölüm 4, ses sentezi probleminin literatür arka planını, tarihçesini ve günümüzdeki önemini sunarak başlamaktadır. Ses işaretleri uygulamarda çoğunlukla öznitelik uzaylarında temsil edildiğinden, bir işaretin zaman düzlemi gösteriminin tekrar inşa edilmesi oldukça önemli bir mühendislik problemidr. Literatürde, özellikle ses kodlama alanında cok sayıda ses tekrar inşa yöntemi önerilmiştir. Bu bölümde önerilen ses işareti tekrar inşa yöntemi ile ilişkisi nedeniyle özellikle SPSI yöntemi ile faz tekrar inşa ve spektral tutarlılık tabanlı yinelemeli yöntemler hakkında bilgiler derinleştirilmiştir. Bu yöntemler, bir genlik spektrogramından geçerli bir zaman düzlemi ses işareti oluşturulmasına odaklanmaktadır. Spektral tutarlılık tabanlı yaklaşımlar, Griffin-Lim Algoritması (Griffin-Lim Algorithm, GLA) ve ondan temellenerek üretilen diğer yinelemeli yöntemlerin uygulanmasına olanak vermektedir. GLA uygulamalarında ilk faz spektrogram tahminleri ile bir genlik spektrogramının üzerinde gerçekleştiren, ardışık matris projeksiyonları kullanılmaktadır. Bir faz tekrar inşa algoritmasının başarısı genellikle spektral yakınsama (SC) ve PESQ ölçü değerlerine göre gösterilir. Önerilen Kesirli Mertebeden Diferansiyel Denklem (Fractional Order Differential Equations, FDE) tabanlı yöntemin yeteneklerini kanıtlamak için, bu ölçümler yapılan deneyslerde kullanılmışlardır. Bu tezde önerilen yöntem, bir işaretin Güç Spektral Yoğunkuk Fonksiyonu'nu (Power Spectral Density Function, PSDF) kesirli mertebeden diferansiyel denklemlerle modelleme yaklaşımını kullanmaktadır. Bu yaklaşım ARFIMA zaman serisi tahminlerinde yaygın olarak kullanılmaktadır. En küçük kareler tahmini ile FDE'nin mertebesi, β parametresini tahmin ederek, kesirli diferansiyel denklemlerin uzun hafıza özelliği, pencerelenmiş bir ses spektrumunun bir tepe noktasının anlık frekansının tahminiyle ilişkilendirilmektedir. Bu ilişkiyi SPSI'ya benzer bir şekilde genlik spektrogramına genişletilmiş yeni bir faz tekrar inşa yöntemi sunulmuştur. Önerilen yöntemin performansını görmek için uygulanan ilk deney grubu, önerilen yöntemin ve SPSI'nın pencere adım boyutunu değiştirerek SC ve PESQ nitel ölçülerine göre karşılaştırılmasını amaçlamaktadır. Sonuçlar, FOC çerçevesinin kullanımının SPSI'dan %4'e kadar daha iyi sonuçlar üretiğini göstermektedir. Ek deneyler, bu yöntemlerin spektral tutarlılık tabanlı yinelemeli yöntemler, yani GLA, FGLA, GLA-ADMM için ilk faz tahmin edicileri olarak kullanımını incelemektedir. İkinci grup deneylerin sonuçları, anlık faz tahmini için FDE modelini uygulayan önerilen ses tekrar inşa yönteminin yeteneklerinin vurgulamıştır. Sinir Ağlarıyla Ses Sentezi (Neural Audio Synthesis, NAS) oldukça ilgi çeken çağdaş araştırma ve uygulama konusudur. Bölüm 5'teki literatür özetinde gösterildiği gibi, derin sinir ağlarındaki gelişmeler, ses sentezi problemi için oldukça başarılı sonuçlar sağlamaktadır. NAS'nin temel kavramlarında görüldüğü gibi, bu alandaki önemli bir çalışma, farklı donanım tiplerinde uygulanabilmesi için esnek ve daha küçük boyutlu modeller sağlamak için bir sinir ağı uygulamasının parametre sayısını azaltmaya odaklanmıştır. Bu amaçla, filtre tabanlı ses üretimi modelleri sinir ağları ile birleştirilmiştir. Son zamanlarda, spektral tutarlılık yaklaşımı bir sinir ağı ile uygulanmaktadır. Derin Griffin-Lim Yinelemesi (Deep Griffin-Lim Iteration, DeGLI) olarak isimlendirilen bu konsept, daha az sayıda eğitim parametreleri ile başarılı bir ses tekrar inşa süreci oluşturmayı amaçlamaktadır. DeGLI mimarisi, ardışık projeksiyonlar ve bir sinir ağından oluşan daha alt modüllerin tasarımına ve birleştirilmesine dayanır. Bu mimarinin önemli katkısı, bir gürültü arındırıcı (denoiser) olarak eğitilebilmesidir. Bu şekilde eğitilen bir alt modül, kopyaları ile birleştirilir. Bu yaklaşım standart GLA'daki yineleme prosedürünü taklit eder. DeGLI boyut konusunda esneklik sağlar. Donanım kısıtlamalarına bağlı olarak, belirli bir sayıdaki alt modüller birleştirilebilir. Bu tez çalışmasında, FOC tabanlı yöntemlerin NAS problemine uygulanabilirliğini değerlendirmek için bölüm 3 ve 4'ün sonuçları bir araya getirilmiştir. Bu bağlamda, bölüm 3'te önerilen Kesirli Mertebeden Frekans Ölçeği veri artırma yöntemi veri sayısını artırmak için kullanılmaktadır. Başlangıç fazının hesaplanması için önerilen FDE tabanlı faz kestirimi yaklaşımı kullanılmıştır. Bu tezin deneylerinin gerçekleştirildiği donanım, daha küçük boyutlu bir sinir ağının ve daha az miktarda veri ile daha düşük bir örnekleme frekansının uygulanmasını gerektirmiştir. İlk deneyin sonuçları, önerilen ilk faz kesitirimi yönteminin, uygulandığı DeGLI modeli üzerinde standart GLA ile benzer etkiye sahip olduğunu göstermektedir. Bu deneyin sonuçları PESQ ölçüsüne göre gösterilmiştir. Sonuçlar ayrıca, uygulama için parametre boyutunun azaltılmasının daha kötü tekrar inşa kalitesiyle sonuçlandığını göstermiştir. Bu sonuçtan yola çıkarak standart GLA takip eden deneylerin dışında tutulmuştur. Ses tekrar inşa kalitesini artırmak için, önerilen Kesirli Mertebeden Frekans Ölçeği yöntemini kullanan iki veri artırma stratejisi test edilmiştir. Testler için veri kümesi boyutu, farklı α türev mertebesi değerleriyle artırılarak üç katına çıkarılmıştır.Test edilen iki stratejinin önemli farkları şöyledir: Birinci Strateji doğrudan karmaşık spektrogramı kullanır ve veri artırma yöntemini uygulayarak veri sayısını artırır. Buna karşılık, İkinci Strateji Kesirli Mertebeden Frekans Ölçeği yöntemi uygulanmış verinin genlik spektrogramını hesaplar ve FDE tabanlı faz tahmin yöntemini kullanarak yeni bir veri üretir. Birinci Strateji ile yapılan deneyler tekrar inşa kalitesi açısından oldukça başarısız sonuçlar vermiştir. Bunun nedeni bu stratejinin spektral tutarlılık üzerindeki etkisidir. İki büyütme yönteminin SC açısından karşılaştırılması, İkinci Strateji'nin spektral olarak daha tutarlı veriler üretebildiğini göstermiştir. Sonuç olarak, bu yeni strateji, uygulanan DeGLI modelinin ses spektrogramı tekrar inşa kalitesini artırmıştır. Bu sonuç, ses sentezleme modellerini eğitmek için spektral olarak tutarlı artırılmış veriler üreten veri artırma yöntemlerinin potansiyel yetenekleri için bir sezgi sağlamaktadır. Nihayetinde bu tez çalışmasının sonuçları üç grupta toplanabilir. İlk olarak, FOC matematiksel çerçevesinin günümüzde çoğunlukla uygulanan veri odaklı yaklaşımların önemli bir sorunu olan fazla sayıda veri ihtiyacına yeni veri artırma yöntemlerini tasarlamak konusunda katkı koyabileceği gösterilmiştir. İkinci olarak, FDE tabanlı yaklaşımların, bir konuşma işaretinin faz bileşeni tahmini için başarılı çözümler üretebildiği gösterilmiştir. Ek olarak bu yaklaşım, veri odaklı ses sentezleme yöntemleriyle birlikte de başarı göstermiştir. Üçüncü bir sonuç, spektral olarak tutarlı spektrogramlar üreten bir veri artırma stratejisinin sinir ağları temelli ses tekrar inşa modelleri için daha yüksek başarım sağlayabileceğinin ortaya konmasıdır. Bu üç sonuç, çağdaş ses sınıflandırma ve sentezleme çalışmalarının sorunlarını ele almak için Kesirli Mertebeden Kalkülüs temelli yöntemlerin olumlu sonuçlar doğurabileceğini vurgulamaktadır.
Özet (Çeviri)
This thesis dissertation aims to explore the application of the Fractional Order Calculus (FOC) framework in addressing contemporary problems in audio signal processing. One crucial aspect of present audio signal processing approaches is their reliance on large amounts of data, which necessitates appropriate tools for increasing amount of data. Another important aspect is in relation to the methods used to produce inference models. The neural network approaches dominating the field often require optimization of a large number of parameters. As a result, digital signal processing (DSP) tools are being repurposed to reduce the parameters of neural models. The introductory chapter provides an overview of the dissertation's purpose, which is to investigate whether FOC can provide novel methods to solve problems in neural network-based audio signal classification and reconstruction. Chapter 2 introduces the FOC framework by explaining its capabilities and complexities. While the complexities of FOC have often caused it to be overlooked in engineering applications, its capabilities have attracted the interest of many researchers in various fields, including audio processing, time series estimation, and image enhancement. Providing examples of FOC based applications on audio signal processing, this chapter aims to provide fammiliarity to the FOC concept. The dissertation is structured such that each chapter focuses on a specific application of audio signal processing. Chapter 3 tackles the problem of audio classification, which is categorised by being speech, music or environmental sound signals. Due to the limited availability of data for environmental sound signals, data augmentation methods remain crucial for Environmental Sound Classifaciton (ESC) problems. The chapter presents three FOC based data augmentation methods: Fractional Order Mask, Fractional Order Frequency Scale, and Fractional Order Mel Scale. Fractional Order Mask and Fractional Order Mel Scale methods are applied to Mel Spectrogram and Log-Mel Spectrogram representations of envrionmental sound data. Experiments on ESC problem with neural architectures demonstrate their effectiveness as data augmentation tools in improving the accuracy of neural network models. The findings indicate that employing a data augmentation procedure in combination with the proposed methods can yield a boost of approximately 7.7% in performance for a 5-layer CNN when Log-Mel Spectrograms are used as input. Similarly, the augmented dataset resulted in a increase of over 9% in performance for a 18-layer ResNet. Chapter 4 delves into audio synthesis and its importance in reconstructing time domain representations of audio signals. The history of vocoding methods and their relation to signal reconstruction approaches are discussed. The chapter focuses on phase reconstruction with methods such as SPSI and spectral consistency based iterative methods such as the Griffin-Lim Algorithm (GLA) and its novel forms. In this chapter a FOC based method is proposed. The FOC based method models a signal's Power Spectral Density Function (PSDF) using Fractional Differential Equations (FDE), estimating the instantaneous frequency of a peak in a windowed audio spectrum. This method proves effective in phase reconstruction. The results show the usage of FOC framework provided up to 4% better quality than SPSI. The experiments also highlight the proposed method's effectiveness as an initial phase estimator for spectral consistency based iterative methods. Chapter 5 explores the contemporary research topic of Neural Audio Synthesis (NAS). The chapter discusses advancements in deep neural networks (DNNs) and the need for smaller-sized models. In the literature, the Deep Griffin-Lim Iteration (DeGLI) architecture combines the ideas of spectral concistency based iterative algorithms for speech reconstruction with neural networks and allows for training a small sized submodule as a denoiser. This chapter of dissertation combines the outcomes of chapters 3 and 4 to evaluate the applicability of FOC based methods to NAS. Specifically, a novel augmentation proceducure that combines Fractional Order Frequency Scale and FDE based phase estimation method produces spectrally consistent spectrograms. Experimental results show the effectiveness of the proposed FOC based data augmentation and phase estimation methods in improving audio reconstruction quality. In conclusion, the results of this thesis can be categorized into three groups. First, it has been shown that the FOC mathematical framework can contribute to the design of new data augmentation methods to address the problem of high number of data requirements, which is a major problem of most data driven approaches of today. Secondly, it is shown that FDE based approaches can produce successful solutions for phase component estimation of a speech signal. In addition, this approach has also shown success in combination with data driven audio synthesis methods. A third result is the demonstration that a data augmentation strategy that produces spectrally consistent spectrograms can provide higher performance for neural network based audio reconstruction models. These three results emphasize that Fractional Order Calculus based methods can have positive results in addressing the challenges of contemporary audio classification and synthesis work.
Benzer Tezler
- Controller design methodologies for fractional order system models
Kesirli mertebe sistem modelleri için kontrolör tasarım yöntemleri
ERHAN YUMUK
Doktora
İngilizce
2022
Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve Kontrolİstanbul Teknik ÜniversitesiKontrol ve Otomasyon Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. MÜJDE GÜZELKAYA
- Bi-fractional order reference model based control system design
İkili-kesirli mertebe referans model tabanlı kontrol sistem tasarımı
ERTUĞRUL KEÇECİ
Yüksek Lisans
İngilizce
2022
Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve Kontrolİstanbul Teknik ÜniversitesiKontrol ve Otomasyon Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. MÜJDE GÜZELKAYA
- Fractional fields and its applications
Kesirli alanlar ve uygulamaları
KAZIM GÖKHAN ATMAN
Doktora
İngilizce
2023
Fizik ve Fizik MühendisliğiEge ÜniversitesiFizik Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. HÜSEYİN ŞİRİN
- Fractional order control in haptics
Haptikte kesir dereceli denetim
OZAN TOKATLI
Doktora
İngilizce
2015
Mekatronik MühendisliğiSabancı ÜniversitesiMekatronik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. VOLKAN PATOĞLU
- Bazı integral dönüşümlerin genişlemeleri ve kesirli mertebeden kısmi diferansiyel denklemlere uygulamaları üzerine
On extensions of some integral transforms and their applications to the partial differential equations with fractional order
SULIMAN S S ALFAQEIH
