Classical yang-baxter equationfrom duality covariant formulation of string theory
Sicim kuramının dualite kovaryant formülasyonundan klasik yang-baxter denklemi
- Tez No: 850183
- Danışmanlar: PROF. DR. AYBİKE ÖZER
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Fizik ve Fizik Mühendisliği, Matematik, Physics and Physics Engineering, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2024
- Dil: İngilizce
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 194
Özet
Tezin amacı, fizik literatüründe Green-Schwarz sigma modeli için önerilen homojen Yang-Baxter deformasyonunu geometrik açıdan incelemektir. Bu tür deformasyonların, β dönüşümü adı verilen ve sicim teorisinde çözüm üreten dönüşümler olarak görev yapan belirli bir tür sabit olmayan O(d,d) dönüşümü tarafından üretildiği gösterilmiştir. Manifold üzerindeki Poisson yapısına bağlı iki-vektör alanından böyle bir O(d,d) dönüşümünün inşasını inceliyoruz. Manifold üzerinde bir Poisson yapısı varken manifoldun kotanjant lif demetinde bir Lie cebiroid yapısının olduğu iyi bilinen bir gerçektir. Ayrıca, bu Lie cebiroid yapısı, tanjant lif demetindeki standart Lie cebiroid yapısıyla uyumludur, böylece manifoldun tanjant ve kotanjant lif demetinin (genelleştirilmiş tanjant lif demeti olarak adlandırılır) doğrudan toplamında bir Courant cebiroid yapısı bulunur. Dönüşümü ve Yang-Baxter deformasyonunu anlamak ve genelleştirmek için Courant cebiroid yapıları üzerinde çalışıyoruz. Dejenere olmayan bir iç çarpımı olan bir Lie cebiri verildiğinde, klasik Yang-Baxter denklemini sağlayan bir R endomorfizması varsa, Lie cebiri ile onun dual cebirinin doğrudan toplamı doğal bir Drinfel'd yapısına sahiptir. Böyle bir yapı, Manin üçlüsü adı verilen geometrik bir yapının da özel bir örneğini oluşturmaktadır. R-matrisinden ve iç çarpımdan yararlanarak Lie cebir üzerinde bir iki-vektör oluşturmak mümkündür. Bunun yöntemi, Lie cebir üzerindeki, antisimetrik R-matrisi tarafından tanımlanan dejenere olmayan, en azından Frobenius bir alt cebirde, bir iki-form alanını kullanarak tersinden bir iki-vektör alanı inşa etmektir. Böyle bir R endomorfizması, adjoint eyleminin yardımıyla integral Lie grubunun tanjant lif demetine genişletilebilir. Bu şekilde, adjoint eyleminin Lie parantezinin bir otomorfizması olması nedeniyle klasik Yang-Baxter denklemini sağlayan giydirilmiş R-matrisi (R_g) denilen bir otomorfizma inşa edilebilir. Giydirilmiş R-matrisinden manifold üzerinde bir Poisson iki-vektör alanı oluşturmak mümkündür. Bunun yöntemi, önceden inşa edilen iki-vektör alanını kullanmak ve tüm manifolda genişletmektir. Giydirilmiş R-matrisi klasikYang-Baxter denklemini sağladığı için ondan elde edilen iki-vektör alanının da kendisiyle Schouten-Nijenhuis parantezi sıfır olur. Bu sebeple, bu bir Poisson iki-vektör alanıdır. Poisson yapısının kotanjant lif demeti üzerinde belirlediği Lie cebiroid yapısı, tanjant lif demeti üzerindeki standart Lie cebiroid yapısıyla uyumludur. Bu sayede, tanjant ve kotanjant lif demetleri belirtilen Lie cebiroid yapılarıyla birlikte bir üçgensel iki-cebiroid yapısı oluşturur. Bu Lie iki-cebiroid'inin Drinfel'd ikilisi, üzerinde transversal Dirac yapıları olan, bir Courant cebiroididir. Bu geometrik yapı yukarıda belirtilen çözüm üretme mekanizmasında önemli bir rol oynamaktadır. Sicim teorisinin düşük enerjilerdeki efektif alan teorisinin eyleminin evrensel sektöründeki dinamik alanlar; Riemannian metriği, B alanı adı verilen iki-form alanı ve dilaton alanı adı verilen skaler bir alandır. Bu alanlardan ilk ikisi, O(d,d) altında doğal olarak dönüşen 𝑇 𝑀 ⊕ 𝑇*𝑀 genelleştirilmiş tanjant lif demeti üzerindeki bir tensör olan genelleştirilmiş metriğin bileşenleridir. Sicim teorisinin, genelleştirilmiş metrik ve genelleştirilmiş dilaton alanı cinsinden yazılmış, Çift Alan Teorisi adı verilen bir O(d,d) kovaryant bir versiyonu vardır. Yang-Baxter deformasyonunun sicim teorisinin çözümlerini koruduğunu göstermek için Çift Alan Teorisi uygun bir çerçeve sunar. Geometrik açıdan; genelleştirilmiş metriğin varlığı, iç çarpımın pozitif definit olduğu genelleştirilmiş tanjant lif demetinin bir alt lif demetinin varlığına eşdeğerdir. Çift Alan Teorisi alan denklemlerini süper kütle çekim alan denklemlerine indirgendiği limitte çözen aşağıdaki gibi özel bir formda olan genelleştirilmiş metrik ile başladığımızı varsayalım. \mathcal{H}^{M N}=(𝑈⁻¹)^M_A \hat{\mathcal{H}}^{A B}(𝑈⁻¹)^N_B. Yukarıda verilen denklemde 𝑈⁻¹ matrisleri O(d,d)'nin elemanları olup, bu şekilde olan genelleştirilmiş metriğe Yang-Baxter deformasyonunu üreten O(d,d) dönüşümünü uyguladığımızı varsayalım. Buradan elde edilen yeni genelleştirilmiş metrik de aşağıdaki formda olacaktır. \mathcal{\widetilde{H}}^{MN}=(\widetilde{U}^{-1})^M_{}_A \hat{\mathcal{H}}^{AB}(\widetilde{U}^{-1})^N_B. Yukarıda verilen denklemdeki \widetilde{U}^{-1} matrisleri de O(d,d)'nin elemanları olup, önceki genelleştirilmiş metrik olan \mathcal{H}'i kullanılarak üretilen yeni genelleştirilmiş metrik \mathcal{\widetilde{H}} da Çift Alan Teorisi'nin, yine aynı limitte, alan denklemlerinin çözümü olacaktır. Fizik literatüründe bunun ispatı, dönüşümden önceki ve sonraki“akıların”karşılaştırılması ve bu akıların değişmediğinin gösterilmesine dayanmaktadır. Bu sebeple tezde gösterilmiştir ki özel olarak seçilen 𝑈⁻¹ ve \widetilde{U}^{-1} matrislerinin akılarının hesaplandığı her iki durumda da f-akısı Lie cebirinin yapı sabitlerine eşit çıkmaktadır ve Q−,H−,R−akıları ise sıfır çıkmaktadır. Burada önemli rol oynayan kısım; \widetilde{U}^{-1} matrisinin yapısında giydirilmiş R-matrisinden üretilen Poisson iki-vektör alanının olması ve giydirilmiş R-matrisinin de klasik Yang-Baxter denklemini sağlıyor olmasıdır (R-matrisi klasik Yang-Baxter denklemini sağladığı durumda geçerlidir). Bu sebeple R-akısı sıfırlanmıştır. Diğer taraftan, giydirilmiş R-matrisinin özelliklerini kullanarak Q-akısı sıfırlanmıştır. H-akısı ise; matrisin formu sebebiyle otomatik olarak sıfırlanmaktadır. Sonuç olarak, dönüşümden önceki ve sonraki akıların korunması prensibi sayesinde elde edilen yeni genelleştirilmiş metrik de aynı limitte alan denklemlerinin çözümü olacaktır. Buradan Riemannian metrik ile B-alanı çözümlerinin elde edilmesi de mümkün olmaktadır. Geometrik açıdan, akılar; tanjant ve kotanjant lif demetleri için özel bir çerçeve seçildiğinde genelleştirilmiş ̧ tanjant lif demeti üzerindeki Courant cebiroid yapısının“yapı fonksiyonlarıdır”. Bu“akı korunması”ilkesini geometrik açıdan anlamak için, Courant cebiroidini tanımlayan aksiyomları lokal koordinatlarda inceledik. Ayrıca Courant cebiroidinin çapasının Yang-Baxter deformasyonuyla ilişkili bir iki-vektör alanı tarafından belirlendiği durumu da ayrıntılı olarak inceledik. E vektör lif demetinin Courant cebiroid yapısına sahip olabilmesi için üzerindeki yapıların; iç çarpımın, parantezin ve çapanın (ρ), sağlaması gereken beş şart olduğu literatürde gösterilmiştir. (Daha sonradan gösterilmiştir ki bu şartların bazıları diğerlerinden çıkmaktadır.) Çapa denilen geometrik yapı; E'den aldığı kesitleri tanjant lif demetine taşımaktadır. İlerleyen kısımda anlatılacağı üzere; Courant cebiroid yapısındaki çapa, çalışmalarımızda önemli bir rol oynamaktadır. E =R ⊕ R* formunda yazılabilen bir vektör lif demeti olduğunu varsayalım. Çalışmalarımızda kullandığımız yapı genelleştirilmiş tanjant lif demeti, E = 𝑇 𝑀 ⊕ 𝑇*𝑀, olduğu için tam olarak bu formdaki bir yapıya karşılık gelmektedir. Vektör lif demetinin bu şekildeki özel formunda; iç çarpımı, çapayı, parantezi ve türev operatörünü değişmeyen bir baz sistemine göre lokal koordinatlarda yazmak mümkündür. Bu durumda, vektör lif demetinin kesitleri üzerindeki parantezden yapı fonksiyonları T_LIJ gelmektedir. Bu durum, Lie cebir elemanları üzerindeki parantezden yapı sabitlerinin gelmesinin genelleştirilmiş hali olarak düşünülebilir. Courant cebiroidinin üzerindeki geometrik yapıların lokal koordinatlardaki ifadeleri kullanıldığında; vektör lif demetinin Courant cebiroid olabilmesi için sağlaması gereken beş adet aksiyom; çapanın ve yapı fonksiyonlarının sağlaması gereken aşağıda verilen üç tane lokal şarta denk gelmektedir. ∗\eta^{IJ}\rho_{I}^{i}\rho_{J}^{j}=\rho^{i}_{}_{k}\rho_{*}^{jk}+\rho_{*}^{ik}\rho^{j}_{}_{k}=0, ∗\rho_{I}^{i}\partial_{i}\rho_{J}^{j}-\rho_{J}^{i}\partial_{i}\rho_{I}^{j}-\eta^{KL}\rho_{K}^{j}T_{LIJ}=0, ∗4\rho^{i}_{[L}\partial_{i}T_{IJK]}+3\eta^{MN}T_{M[IJ}T_{KL]N}=0. Yukarıda verilen şartlar, sırasıyla, güçlü kısıt, akıların tanımı ve akıların sağlaması gereken koşullardır. Bunun yanı sıra, fizik literatüründe son koşula Bianchi özdeşliği denmektedir. Tezde gösterilmiştir ki; güçlü kısıtlama altında Çift Alan Teorisi eyleminin ayar değişmezliği gibi fiziksel prensipler tarafından Çift Alan Teorisi akılarına uygulanan koşullar tam olarak bu şartlara denk gelmektedir. Yukarıdaki çalışmalarımızın yanı sıra, Courant cebiroidin kotanjant lif demetindeki kesitlerini tanjant lif demetindeki kesitlere götüren çapanın bileşenlerinin Yang-Baxter deformasyonuyla ilişkili bir iki-vektör alanı (Poisson iki-vektör alanı) tarafından belirlendiği durum incelenmiştir. Bu standart olmayan Courant cebiroidi için lokal koordinatlarda yukarıda verilen üç koşul; akıların tanımlarını ve sağlaması gereken denklemleri vermiştir. Örneğin, R-akısı; klasik Yang-baxter denkleminin sağlanması ve çapanın bileşeninin Poisson iki-vektör alanı olması sebebiyle sıfırlanmıştır. R-akısı ile birlikte diğer akılar da \widetilde{U}^{-1} matrisinin akıları ile aynı gelmektedir ki bu beklenen bir durumdur. Bunun sebebi; bu matrislerin akılarını bulmak için kullanılan O(d,d) matrisinin de Poisson iki-vektör alanını içermesidir. Son olarak, Yang-Baxter deformasyonunu Courant cebiroid lisanında, tüm çalışmalarımızı birleştirecek şekilde, inceledik. E = 𝑇 𝑀 ⊕ 𝑇*𝑀 üzerinde tanımlanan genelleştirilmiş metriğin yukarıda verilen özel formda nasıl seçilebileceği ve eski genelleştirilmiş metrikten yeni olanının nasıl inşa edilebileceği gösterilmiştir. Çözüm yaratan O(d,d) dönüşümünün; dönüşümden önceki ve sonraki akıları koruduğu gerçeği önceden gösterilmişti. Bunun yanı sıra, bu dönüşüm bir Courant cebiroid otomorfizması olmakla birlikte parantezi korumamaktadır. Ancak her iki durumdaki parantez yapısında akıların dışında gelen terimler grup manifoldunun koordinatlarına bağlı değildir. Dolayısıyla bu tür terimler, çözüm üretme mekanizmasında bir rol oynamamaktadır.
Özet (Çeviri)
The aim of the thesis is to study the homogeneous Yang-Baxter (YB) deformation proposed in the physics literature for a generic Green-Schwarz sigma model from a geometric point of view. It has been shown that these kind of deformations are generated by a certain kind of non-constant O(d,d) transformation, called β transformation, which acts as solution generating transformations in string theory. We study the construction of such an O(d,d) transformation from a bi-vector field related to the Poisson structure on the manifold. It is a well-known fact that there is a Lie algebroid structure on the cotangent bundle of the manifold when there is a Poisson structure on the manifold. Moreover, this Lie algebroid structure is compatible with the standard Lie algebroid structure on the tangent bundle, so that there is a Courant algebroid structure on the direct sum of the tangent and cotangent bundle (called the generalized tangent bundle) of the manifold. We also study Courant algebroid structures in order to understand and to generalize the transformation and the YB deformation. Given a Lie algebra with a non-degenerate inner product, if there exists an endomorphism R, which satisfies the classical Yang-Baxter equation (CYBE), then the direct sum of the Lie algebra and its dual has a natural Drinfel'd structure. Such an endomorphism can be extended to the tangent bundle of the integral Lie group by the help of the adjoint action. In this way, an automorphism called the dressed R-matrix can be constructed, which satisfies the CYBE since the adjoint action is an automorphism of the Lie bracket. It is possible to build a Poisson bi-vector field on the manifold from the dressed R-matrix. It can be shown that the Schouten-Nijenhuis bracket of the bi-vector field with itself vanishes following directly from the fact that the dressed R-matrix satisfies CYBE. The Lie algebroid structure on the cotangent bundle induced from the Poisson structure is compatible with the standard Lie algebroid structure on the tangent bundle. Then the tangent and cotangent bundles with the stated Lie algebroid structures form a Lie bialgebroid, which is an example of a triangular Lie bialgebroid. The Drinfel'd double of the resulting triangular Lie bialgebroid is a Courant algebroid with transversal Dirac structures. This geometrical structure plays a prominent role in the solution generating mechanism stated above. The dynamical fields in the universal sector of the low energy effection action of string theory are the Riemannian metric, a 2-form field called the B-field and a scalar field called the dilaton field. The first two of these fields become the constituents of the generalized metric, which is a tensor on the generalized tangent bundle T M ⊕ T^{∗}M that transforms naturally under O(d,d). There is a O(d,d) covariant version of string theory, called Double Field Theory (DFT), which is written in terms of the generalized metric and the generalized dilaton field. DFT provides a suitable framework to demonstrate the fact that YB deformation preserves the solutions of string theory. From a geometric point of view, the existence of a generalized metric is equivalent to the existence of a subbundle of the generalized tangent bundle on which the inner product is positive definite. If one starts with a generalized metric of a specific form that solves the field equations of DFT in the limit in which it reduces to the field equations of supergravity and transforms it with the O(d,d) matrix generating the YB deformation, the resulting generalized metric also solves the field equations of DFT in the same limit. In the physics literature, the proof of this is based on comparing the“fluxes”before and after the transformation and showing that these fluxes do not change. From a geometrical point of view the fluxes are just the“structure functions”of the Courant algebroid structure on the generalized tangent bundle, when a specific basis is chosen for the sections of tangent and cotangent bundles. In order to understand this“flux preservation”principle from a geometrical point of view, we also study the axioms defining a Courant algebraid in local coordinates. We also work out in detail the case where the anchor of the Courant algebroid is determined by a bi-vector field associated by the YB deformation.
Benzer Tezler
- Rh(2/1) süper uzayı üzerine bir diferansiyel hesap
A differential calculus on Rh(2/1) super space
ESENGÜL SALTÜRK
Yüksek Lisans
Türkçe
2007
MatematikYıldız Teknik ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. SALİH ÇELİK
- GLh(1|1) kuantum süper grubunun Gauss ayrışımı
Gauss decomposition of GLh(1|1) quantum super group
EMRAH YILDIRIM
Yüksek Lisans
Türkçe
2011
MatematikYıldız Teknik ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. SALİH ÇELİK
- Z3-dereceli GLq(2) kuantum grubun gauss ayrışımı
Gauss decomposition of Z3-graded quantum group GLq(2)
ÖZTÜRK SAVAŞ
Yüksek Lisans
Türkçe
2023
MatematikYıldız Teknik ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. SALİH ÇELİK
- Dynamics of classical Yang Mills fields coupled to Higgs field
Klasik Yang Mills Higgs alanlarının dinamiği
BERC DERUNİ
Doktora
İngilizce
2019
Fizik ve Fizik MühendisliğiYeditepe ÜniversitesiFizik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. AVADİS SİMON HACINLIYAN