Lıe simetrileri ile bağlantılı bazı analitik metotlar ve diferansiyel denklemlere uygulamaları
Some analytical methods connected with lie symmetries and their applications to differential equations
- Tez No: 936082
- Danışmanlar: DOÇ. DR. GÜLDEN GÜN POLAT
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2025
- Dil: Türkçe
- Üniversite: Gebze Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: 76
Özet
Diferansiyel denklemler, bir sistemin zaman içindeki değişimini incelemek için kullanılan, doğa bilimlerinden sosyal bilimlere, mühendislikten ekonomiye kadar geniş bir alanda fiziksel, biyolojik ve yapay sistemlerin dinamiklerini anlamak ve sistemleri modelleyip tahminler yapmak için bir araçtır. Diferansiyel denklem sistemlerinin çok büyük bir kısmı, karmaşıklıkları ve birbirlerine bağlı olmaları sebebiyle lineer olmayan yapıdadır. Diferansiyel denklemlerin çözümleri, yüksek hızlı ve verimli bilgisayarların gelişmesiyle birlikte; sayısal ve çesitli hesaplama yöntemleri ile elde edilebilir. Fakat elde edilen çözümlerden fiziksel anlamlı sonuçlar çıkarmak ve bu çözümlerle disiplinler arası bağlantı kurmak kolay olmadığından lineer olmayan denklem sistemleri için analitik çözüme ihtiyaç doğmuştur. Lineer olmayan adi diferansiyel denklemlerin integrasyonuna yönelik ilk çalışmalar, 19.yüzyılda Sophus Lie tarafından başlatılmıştır ve simetri grubu kavramı ortaya konmuştur. Bir diferansiyel denklem sisteminin simetri grubu; sistemin herhangi bir çözümünü, sistemin başka bir çözümüne dönüştüren dönüşüm grubudur. Lie, modern cebir metotları yardımıyla, sürekli bir-parametreli dönüşüm gruplarını incelemiş ve grup teorisini kullanarak bazı diferansiyel denklemlerin integre edilebileceğini göstermiştir. Bir adi diferansiyel denklemin, sürekli bir-parametreli bir dönüşüm grubu altında değişmez kaldığı durumlarda, denklemin mertebesini bir derece düşürmenin mümkün olduğunu ispatlamıştır. Simetri yöntemlerinin diferansiyel denklemlere uygulama yöntemlerinden biri yapay hamiltonyen metodudur, diğer bir adıyla kısmi hamiltonyen yaklaşımı olarak bilinmektedir. Bu yaklaşım kısmi hamiltonyen operatörlerinin belirlenmesini sağlar ve operatörlere karşılık gelen ilk integraller ile analitik çözümler üretilebilir. Bu çalışmada ele alınan matematiksel modeller literatürdeki tümör modelleri olup, yapay hamiltonyen metodu ile analitik çözümler elde edilmiştir. Araştırmada, tedavi sırasında ve sonrasında tümör hacimlerinin evrimini matematiksel olarak modelleyen iki boyutlu doğrusal olmayan dinamik sistemlerin analizi incelenmiştir. Bu tez altı bölümden oluşmaktadır: Birinci bölümde, matematikte simetri kavramı ve simetrinin kısa tarihinden bahsedilmiştir. İkinci bölümde, Lie dönüşüm gruplarından, sonsuz küçük dönüşümlerden ve genişlemiş dönüşümlerle ilgili tanım ve teoremler belirtilmiştir. Üçüncü bölümde, Lie'nin değişmezlik koşulu ve standart integrasyon tekniklerinde sonsuz küçük dönüşümlerle elde edilen değişmezlik durumları ele alınmıştır. Noether teoremi ve teoremin sonucunda elde edilen simetri grupları ve korunum yasası arasındaki bağlantıya yer verilmiştir. Dördüncü bölümde, standart hamiltonyen denklemlerinden ve standart hamiltonyen metodunun farklı bir versiyonu olan yapay hamiltonyen yaklaşımından bahsedilmiştir ve ilk integral için tanımlama yapılmıştır. Beşinci bölümde, tümör modelleri için yapay hamiltonyen metodu kullanılarak analitik çözümler elde edilmiştir. Altıncı ve son bölümde sonuçlara yer verilmiştir.
Özet (Çeviri)
Differential equations are tools used to examine the change of a system over time and to understand the dynamics of physical, biological, and artificial systems. They are widely applied across various fields, including natural sciences, social sciences, engineering and economics for modeling systems and making predictions. A significant portion of differential equation systems are nonlinear due to their complexity and interdependencies. The solutions of differential equations can be obtained through numerical and various computational methods, and computers can perform these operations quickly and efficiently. However, deriving physically meaningful results from these solutions and establishing interdisciplinary connections is not always straightforward. This difficulty has led to a need for analytical solutions for nonlinear differential equation systems. The first studies on the integration of nonlinear ordinary differential equations were initiated in the 19th century by Sophus Lie. The symmetry group of a differential equation system is the transformation group that maps one solution of the system to another. Using modern algebraic methods, Lie examined continuous one-parameter transformation groups and demonstrated that some differential equations could be integrated using group theory. He proved that if an ordinary differential equation remains invariant under a continuous one-parameter transformation group, it is possible to reduce its order by one. One of the methods for applying symmetry techniques to differential equations is the artificial Hamiltonian method, also known as the partial Hamiltonian approach. This approach allows the determination of partial Hamiltonian operators, which correspond to first integrals and can be used to obtain analytical solutions. This thesis focuses on mathematical models of tumors found in the literature. This thesis aims to obtain analytical solutions using artificial hamiltonian method on mathematical models of tumors found in the literature. This thesis consists of six chapters: The first chapter discusses the concept of symmetry in mathematics and provides a brief history of symmetry. The second chapter introduces Lie transformation groups, infinitesimal transformations, and definitions and theorems related to extended transformations. The third chapter examines Lie's invariance condition and the invariance cases obtained using infinitesimal transformations in standard integration techniques. Additionally, Noether's theorem and the relationship between the symmetry groups derived from the theorem and conservation laws are discussed. The fourth chapter explains standard Hamiltonian equations and introduces the artificial Hamiltonian approach, which is a modified version of the standard Hamiltonian method, along with a definition for the first integral. The fifth chapter explores tumor models, where analytical solutions were derived using the artificial Hamiltonian method. The sixth and final chapter presents the conclusions.
Benzer Tezler
- Bazı kesirli lineer olmayan kısmi diferansiyel denklem sistemlerinin lie simetri metodu yardımıyla çözümü ve korunum kanunları
Solutions and conservation laws of some systems of fractional nonlinear partial differential equations with the help of lie symmetry method
SELAHATTİN GÜLŞEN
- Group classification for a higher-order boussinesq equation
Yüksek mertebeli boussınesq denkleminin grup sınıflandırması
YASİN HASANOĞLU
Yüksek Lisans
İngilizce
2020
Matematikİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. CİHANGİR ÖZEMİR
- Diferensiyel denklemlerin korunum kanunları, ilk integralleri, integrasyon çarpanları, simetri grup sınıflandırmaları ve benzerlik çözümleri
Conservation laws, first integrals, integration factors, symmetry group classifications and similarity solutions of differential equations
GÜLDEN GÜN POLAT
Doktora
Türkçe
2017
MatematikEge ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. TURGUT ÖZİŞ
PROF. DR. TEOMAN ÖZER
- Gravity as a gauge theory
Ayar teorisi olarak kütle çekimi
ORHAN TUNCA
Yüksek Lisans
İngilizce
2019
Fizik ve Fizik Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiFizik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. MEHMET ÖZKAN
- Kısmi diferensiyel denklemlerin q-koşullu simetrileri
Q-conditional symmetries for partial differential equations
HACER BOZDAĞ
Yüksek Lisans
Türkçe
2014
MatematikEskişehir Osmangazi ÜniversitesiMatematik ve Bilgisayar Bilimleri Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. FİLİZ TAŞCAN