Değişken üslü bazı hiperbolik tipten denklemlerin çözümlerinin kalitatif analizi
Qualitative analysis of solutions of some of hyperbolic type equations with variable exponent
- Tez No: 947926
- Danışmanlar: PROF. DR. METİN YAMAN
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Global varlık, Çözümlerin patlaması, Enerji azalması, Değişken üs, Ters problem, Dalga denklemi, Viskoelastik denklem, Global existence, Blow-up of solutions, Energy decay, Variable exponent, Inverse problem, Wave equation, Viscoelastic equation
- Yıl: 2025
- Dil: Türkçe
- Üniversite: Sakarya Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.
Özet
Birinci bölümde, enerji azalımı ve çözümlerin patlamasıyla ilgili olarak bugüne kadar gerçekleştirilen çalışmaların tarihsel süreci incelenmiştir. İkinci bölümde, tezde kullanılacak olan temel kavramlar, ana teoremler ve önemli eşitsizlikler ayrıntılı olarak verilmiştir. Üçüncü bölümde, çalışmada yararlanılacak enerji azalımı ve çözümlerin patlamasına ilişkin temel lemmalar ile bunların ispatları sunulmuştur. Dördüncü bölümde lineer olmayan kaynak ve sönümleme terim içeren bir Lame ters probleminin çözümlerinin enerji azalmasına çalışılmıştır. Bu problem elastisite teorisinden gelmekte olup, yapısal analizlerde sıklıkla karşılaşılan bir modeldir. Çözümlerin enerji fonksiyonelinin zamanla azaldığı, belirli koşullar altında sıfıra yakınsadığı gösterilmiştir. Luxemburg normu altında yapılan analizler, Poincaré tipi eşitsizlikler ve türevsel enerji tahminleri ile desteklenmiştir. Teorem 4.3.1 ile çözümlerin enerji fonksiyonelinin zamana bağlı olarak üstel biçimde azaldığı ispatlanmıştır. Beşinci bölümde, doğrusal olmayan yarı lineer bir dalga denklemi tipi için değişken üslü sönümleme ve kaynak terimleri içeren ters problem analiz edilmiştir. Negatif başlangıç enerjisine sahip çözümlerin sonlu zamanda patladığı Georgiev-Todorova metodu ile gösterilmiştir. Bu sonuç, fiziksel sistemlerde enerji birikimi veya instabilite durumlarının matematiksel modellemesi açısından önemlidir. Teorem 5.3.1 ile enerji fonksiyonunun negatif kaldığı sürece çözümlerin sonsuz hale gelmeden önce bir sonlu zamanda patladığı ispatlanmıştır. Altıncı bölümde, doğrusal olmayan değişken üslü sönümleme ve kaynak terim içeren lokal olmayan tekil viskoelastik denkleminin çözümlerinin global varlığı, enerji azalması ve patlaması incelenmiştir. Enerji azalımı Nakao eşitsizliği kullanılarak ispatlanmıştır. İlk olarak bu denklem sistemine bağlı bir $E(t)$ fonksiyonu bulunup, $E(t)$ fonksiyonunun artmayan olduğu gösterilmiştir. Daha sonra belli eşitsizlikler, lemmalar kullanılarak $\rho =1$ için ve $1<\rho <\frac{3}{2}$ için iki farklı durumda enerji azalması gösterilmiştir. Çözümlerin patlaması başlangıç enerjisinin $m(x)=2$ olduğunda, $E(0)=0$, $E(0)>0$ ve $E(0)<0$ üç farklı durumu için 2003 yılında Li ve Tsai tarafından bulunan yöntem kullanılarak gösterilmiştir. Ayrıca, $m(x)\ne 2$ için, 1994 yılında Georgiev-Todorova tarafından geliştirilen yöntemle problemin bir $u(x)$ çözümü için sonlu bir ${{T}^{*}}$ zamanında çözümün patlaması gösterilmiştir. Tezin son ve yedinci bölümünde, tartışma ve sonuç bölümüne yer verilmiştir. Burada tezde yapılan sonuçların literatüre kattığı yeniliklerden ve gelecekte hangi tür çalışmalara yardımcı olabileceğinden bahsedilmiştir.
Özet (Çeviri)
The first chapter thoroughly reviews the historical development of studies concerning energy decay and blow-up of solutions. In the second chapter, the fundamental concepts, main theorems, and important inequalities that will be utilized throughout the thesis are presented in detail. In the third chapter, the basic lemmas related to energy decay and blow-up of solutions, along with their proofs, are provided, forming the essential analytical tools employed in the subsequent analysis. In the fourth chapter, the energy decay of solutions to a Lame-type inverse problem involving nonlinear source and damping terms is studied. The following problem is examined: $\begin{align} & {{u}_{tt}}-{{\Delta }_{e}}u-div(|\nabla u{{|}^{r(x)-2}}\nabla u)+\beta {{u}_{t}}+h(x,t,u,\nabla u)+a|{{u}_{t}}{{|}^{m(x)-2}}{{u}_{t}}+b|u{{|}^{p(x)-2}}u \\ & =f(t)w(x),(x,t)\in \Omega \times (0,\infty ), \\ & u(x,t)=\frac{\partial u}{\partial v}(x,t)=0,\qquad (x,t)\in \partial \Omega \times (0,\infty ), \\ & u(x,0)={{u}_{0}}(x),{{u}_{t}}(x,0)={{u}_{1}}(x),\qquad x\in \Omega , \\ & \int_{\Omega }{u}(x,t)w(x)dx=\phi (t),\qquad t>0, \\ \end{align}$ where $\Omega $ is a bounded domain with smooth boundary $\partial \Omega $ in ${{\mathbb{R}}^{n}}(n\ge 1)$, $\beta ,b,a>0$ and $w(x)$, $h(x,t,u,\nabla u)$ are real functions. Also, ${{\Delta }_{e}}$refers to the elasticity operator, which is a differential operator of size $n\times n$ and is defined as follows; \[{{\Delta }_{e}}u=\mu \Delta u+(\alpha +\mu )\nabla (div\ u),\quad u={{({{u}_{1}},{{u}_{2}},...,{{u}_{n}})}^{T}},\] where $\mu $ and $\alpha $ are the Lame constants such that, \[\mu >0,\quad \alpha +\mu \ge 0.\] This problem originates from elasticity theory and represents a model frequently encountered in structural analysis. It is demonstrated that the energy functional of the solutions decreases over time and converges to zero under certain conditions. The analysis carried out under the Luxemburg norm is supported by Poincaré-type inequalities and differential energy estimates. In Theorem 4.3.1, it is proved that the energy functional of the solutions decays exponentially with respect to time. In the fifth chapter, blow up of solutions of inverse problem for the wave equation with source and nonlinear damping terms is studied. The following problem is examined: \[\begin{align} & {{u}_{tt}}-div({{\left| \nabla u \right|}^{r(x)-2}}\left| \nabla u \right|)+a{{\left| {{u}_{t}} \right|}^{m(x)-2}}{{u}_{t}}-b{{\left| u \right|}^{p(x)-2}}u=f(t)w(x),(x,t)\in \Omega \times (0,T), \\ & u(x,t)=0,\partial \Omega \times (0,T), \\ & u(x,0)={{u}_{0}}(x),{{u}_{t}}(x,0)={{u}_{1}}(x),\Omega , \\ & \int\limits_{\Omega }{u(x,t)w(x)dx}=\phi (t),t>0, \\ \end{align}\] where $\Omega $ is a bounded domain with smooth boundary $\partial \Omega $ in ${{\mathbb{R}}^{n}}(n\ge 1)$, and a unit outer normal ν. Also, $a$ and $b$ are positive constants and $w(x)$ and \[\phi (t)\]are real valued functions. The exponents $p(x)$, $m(x)$, and $r(x)$ are measurable and continuous functions on $\bar{\Omega }$ such that satisfy the following inequality; \[2\le {{r}_{2}}<{{m}_{1}}\le m(x)\le {{m}_{2}}<{{p}_{1}}\le p(x)\le {{p}_{2}}\le {{r}_{*}}(x),\] with $\begin{align} & {{p}_{1}}:=ess\underset{x\in \bar{\Omega }}{\mathop{inf}}\,p(x),{{p}_{2}}:=ess\underset{x\in \bar{\Omega }}{\mathop{\sup }}\,p(x), \\ & {{r}_{1}}:=ess\underset{x\in \bar{\Omega }}{\mathop{inf}}\,r(x),{{r}_{2}}:=ess\underset{x\in \bar{\Omega }}{\mathop{\sup }}\,r(x), \\ & {{m}_{1}}:=ess\underset{x\in \bar{\Omega }}{\mathop{inf}}\,m(x),{{m}_{2}}:=ess\underset{x\in \bar{\Omega }}{\mathop{\sup }}\,m(x), \\ \end{align}$ and ${{r}_{*}}(x)=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \frac{Nr(x)}{esssu{{p}_{x\in \bar{\Omega }}}(N-m(x))}, & {{r}_{2}}<N \\ +\infty , & {{r}_{2}}\ge N \\ \end{array} \right..$ It is shown by the Georgiev-Todorova method that solutions with negative initial energy blow up in finite time. This result is significant for the mathematical modeling of energy accumulation or instability phenomena in physical systems. In Theorem 5.3.1, it is proven that as long as the energy functional remains negative, the solutions blow up at a finite time before becoming unbounded. In the sixth chapter, energy decay, global existence and blow up of a singular nonlocal viscoelastic system with a nonlinear damping term, nonlocal boundary condition and variable exponents are studied. We examine the following problem: \[\begin{align} & {{u}_{tt}}-\frac{1}{x}{{(x{{u}_{x}})}_{x}}+\int\limits_{0}^{t}{g(t-\tau )}\frac{1}{x}{{(x{{u}_{x}}(x,\tau ))}_{x}}d\tau +{{\left| {{u}_{t}} \right|}^{m(x)-2}}{{u}_{t}}={{\left| u \right|}^{p(x)-2}}u,(0,\ell )\times (0,T), \\ & u(x,0)={{u}_{0}}(x),{{u}_{t}}(x,0)={{u}_{1}}(x),x\in (0,\ell ), \\ & u(\ell ,t)=0,\int\limits_{0}^{\ell }{xu(x,t)dx=0}, \\ \end{align}\] where $\ell <\infty ,T<\infty ,$ and $g(\cdot ):{{\mathbb{R}}^{+}}\to {{\mathbb{R}}^{+}}$ is a function. Additionally, the exponents $m(x)$ and $p(x)$ are measurable functions on the domain that satisfy the following inequality: \[\begin{align} & 2\le {{m}_{1}},{{p}_{1}}=ess\underset{x\in (0,\ell )}{\mathop{\inf }}\,m(x),p(x) \\ & \le m(x),p(x)\le ess\underset{x\in (0,\ell )}{\mathop{\sup }}\,m(x),p(x)={{m}_{2}},{{p}_{2}}\le \frac{2n}{n-2},n\ge 3. \\ \end{align}\] The definitions of the lower and upper bounds for the variable exponents are given as follows: \[\begin{align} & {{m}_{1}}:=ess\underset{x\in (0,\ell )}{\mathop{\inf }}\,m(x),{{m}_{2}}:=ess\underset{x\in (0,\ell )}{\mathop{\sup }}\,m(x), \\ & {{p}_{1}}:=ess\underset{x\in (0,\ell )}{\mathop{\inf }}\,p(x),{{p}_{2}}:=ess\underset{x\in (0,\ell )}{\mathop{\sup }}\,p(x). \\ \end{align}\] Additionally, the log-Hölder continuity condition is written as: \[\left| r(x)-r(y) \right|\le -\frac{w}{\log \left| x-y \right|},x,y\in (0,\ell )ve\left| x-y \right|<\delta ,\] where $w>0$ and $0<\delta <1$. Energy decay has been proven using the Nakao inequality. First, an $E(t)$ function associated with this system of equations is derived, and it is shown that the function $E(t)$ is non-increasing. Then, energy decay is demonstrated in two different cases: for $\rho =1$ and for $1<\rho <\frac{3}{2}$, using certain inequalities and lemmas. The blow-up of the solutions has been shown for three different initial energy conditions: $E(0)>0$, $E(0)=0$, and $E(0)<0$, in the case where $m(x)=2$ is the given function using the method found by Li and Tsai in 2003. Additionally, for $m(x)\ne 2$, the blow-up of the solution in a finite time ${{T}^{*}}$ for a solution $u(x)$ is shown using the method developed by Georgiev-Todorova in 1994. The final and seventh chapter of the thesis contains the discussion and conclusion sections. Here, the innovations of the results presented in the thesis are discussed, as well as the potential future studies that could benefit from these findings.
Benzer Tezler
- Gecikmeli terim içeren hiperbolik tipten denklemlerin çözümlerinin matematiksel davranışı
Mathematical behavior of solutions of hyperbolic type equations with delay term
HAZAL YÜKSEKKAYA
- Ağırlıklı değişken üslü Sobolev uzayları ve bazı uygulamaları
Weighted variable exponent Sobolev spaces and some applications
CİHAN ÜNAL
- Bazı değişken üslü doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklemlerin çözümleri ve optimal kontrol problemleri
The solutions of some nonlinear variable exponent partial differential equations and optimal control problems
EMRE AYDIN
- Lp(x) değişken üslü lebesgue uzayları ve W(Lp(x),Lq) amalgam uzaylarının bazı özellikleri
The variable exponent lebesgue spaces Lp(x) and the amalgam spaces W(Lp(x),Lq) and their some properties
İSMAİL AYDIN
- Bazı fonksiyon uzaylarının bilineer çarpanları ve değişken üslü wiener amalgam uzayları
Bilinear multipliers of some functions spaces and variable exponent wiener amalgam spaces
ÖZNUR KULAK
Doktora
Türkçe
2014
MatematikOndokuz Mayıs ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. AHMET TURAN GÜRKANLI