Değişken üslü bazı hiperbolik tipten denklemlerin çözümlerinin kalitatif analizi
Qualitative analysis of solutions of some of hyperbolic type equations with variable exponent
- Tez No: 947926
- Danışmanlar: PROF. DR. METİN YAMAN
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2025
- Dil: Türkçe
- Üniversite: Sakarya Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Uygulamalı Matematik Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 128
Özet
Birinci bölümde, enerji azalımı ve çözümlerin patlamasıyla ilgili olarak bugüne kadar gerçekleştirilen çalışmaların tarihsel süreci incelenmiştir. İkinci bölümde, tezde kullanılacak olan temel kavramlar, ana teoremler ve önemli eşitsizlikler ayrıntılı olarak verilmiştir. Üçüncü bölümde, çalışmada yararlanılacak enerji azalımı ve çözümlerin patlamasına ilişkin temel lemmalar ile bunların ispatları sunulmuştur. Dördüncü bölümde lineer olmayan kaynak ve sönümleme terim içeren bir Lame ters probleminin çözümlerinin enerji azalmasına çalışılmıştır. Bu problem elastisite teorisinden gelmekte olup, yapısal analizlerde sıklıkla karşılaşılan bir modeldir. Çözümlerin enerji fonksiyonelinin zamanla azaldığı, belirli koşullar altında sıfıra yakınsadığı gösterilmiştir. Luxemburg normu altında yapılan analizler, Poincaré tipi eşitsizlikler ve türevsel enerji tahminleri ile desteklenmiştir. Teorem 4.3.1 ile çözümlerin enerji fonksiyonelinin zamana bağlı olarak üstel biçimde azaldığı ispatlanmıştır. Beşinci bölümde, doğrusal olmayan yarı lineer bir dalga denklemi tipi için değişken üslü sönümleme ve kaynak terimleri içeren ters problem analiz edilmiştir. Negatif başlangıç enerjisine sahip çözümlerin sonlu zamanda patladığı Georgiev-Todorova metodu ile gösterilmiştir. Bu sonuç, fiziksel sistemlerde enerji birikimi veya instabilite durumlarının matematiksel modellemesi açısından önemlidir. Teorem 5.3.1 ile enerji fonksiyonunun negatif kaldığı sürece çözümlerin sonsuz hale gelmeden önce bir sonlu zamanda patladığı ispatlanmıştır. Altıncı bölümde, doğrusal olmayan değişken üslü sönümleme ve kaynak terim içeren lokal olmayan tekil viskoelastik denkleminin çözümlerinin global varlığı, enerji azalması ve patlaması incelenmiştir. Enerji azalımı Nakao eşitsizliği kullanılarak ispatlanmıştır. İlk olarak bu denklem sistemine bağlı bir $E(t)$ fonksiyonu bulunup, $E(t)$ fonksiyonunun artmayan olduğu gösterilmiştir. Daha sonra belli eşitsizlikler, lemmalar kullanılarak $\rho =1$ için ve $10$ ve $E(0)
Özet (Çeviri)
The first chapter thoroughly reviews the historical development of studies concerning energy decay and blow-up of solutions. In the second chapter, the fundamental concepts, main theorems, and important inequalities that will be utilized throughout the thesis are presented in detail. In the third chapter, the basic lemmas related to energy decay and blow-up of solutions, along with their proofs, are provided, forming the essential analytical tools employed in the subsequent analysis. In the fourth chapter, the energy decay of solutions to a Lame-type inverse problem involving nonlinear source and damping terms is studied. The following problem is examined: $\begin{align} & {{u}_{tt}}-{{\Delta }_{e}}u-div(|\nabla u{{|}^{r(x)-2}}\nabla u)+\beta {{u}_{t}}+h(x,t,u,\nabla u)+a|{{u}_{t}}{{|}^{m(x)-2}}{{u}_{t}}+b|u{{|}^{p(x)-2}}u \\ & =f(t)w(x),(x,t)\in \Omega \times (0,\infty ), \\ & u(x,t)=\frac{\partial u}{\partial v}(x,t)=0,\qquad (x,t)\in \partial \Omega \times (0,\infty ), \\ & u(x,0)={{u}_{0}}(x),{{u}_{t}}(x,0)={{u}_{1}}(x),\qquad x\in \Omega , \\ & \int_{\Omega }{u}(x,t)w(x)dx=\phi (t),\qquad t>0, \\ \end{align}$ where $\Omega $ is a bounded domain with smooth boundary $\partial \Omega $ in ${{\mathbb{R}}^{n}}(n\ge 1)$, $\beta ,b,a>0$ and $w(x)$, $h(x,t,u,\nabla u)$ are real functions. Also, ${{\Delta }_{e}}$refers to the elasticity operator, which is a differential operator of size $n\times n$ and is defined as follows; \[{{\Delta }_{e}}u=\mu \Delta u+(\alpha +\mu )\nabla (div\ u),\quad u={{({{u}_{1}},{{u}_{2}},...,{{u}_{n}})}^{T}},\] where $\mu $ and $\alpha $ are the Lame constants such that, \[\mu >0,\quad \alpha +\mu \ge 0.\] This problem originates from elasticity theory and represents a model frequently encountered in structural analysis. It is demonstrated that the energy functional of the solutions decreases over time and converges to zero under certain conditions. The analysis carried out under the Luxemburg norm is supported by Poincaré-type inequalities and differential energy estimates. In Theorem 4.3.1, it is proved that the energy functional of the solutions decays exponentially with respect to time. In the fifth chapter, blow up of solutions of inverse problem for the wave equation with source and nonlinear damping terms is studied. The following problem is examined: \[\begin{align} & {{u}_{tt}}-div({{\left| \nabla u \right|}^{r(x)-2}}\left| \nabla u \right|)+a{{\left| {{u}_{t}} \right|}^{m(x)-2}}{{u}_{t}}-b{{\left| u \right|}^{p(x)-2}}u=f(t)w(x),(x,t)\in \Omega \times (0,T), \\ & u(x,t)=0,\partial \Omega \times (0,T), \\ & u(x,0)={{u}_{0}}(x),{{u}_{t}}(x,0)={{u}_{1}}(x),\Omega , \\ & \int\limits_{\Omega }{u(x,t)w(x)dx}=\phi (t),t>0, \\ \end{align}\] where $\Omega $ is a bounded domain with smooth boundary $\partial \Omega $ in ${{\mathbb{R}}^{n}}(n\ge 1)$, and a unit outer normal ν. Also, $a$ and $b$ are positive constants and $w(x)$ and \[\phi (t)\]are real valued functions. The exponents $p(x)$, $m(x)$, and $r(x)$ are measurable and continuous functions on $\bar{\Omega }$ such that satisfy the following inequality; \[2\le {{r}_{2}}0$ and $00$, $E(0)=0$, and $E(0)
Benzer Tezler
- Gecikmeli terim içeren hiperbolik tipten denklemlerin çözümlerinin matematiksel davranışı
Mathematical behavior of solutions of hyperbolic type equations with delay term
HAZAL YÜKSEKKAYA
- Weighted variable sobolev spaces and some basic properties
Ağırlıklı değişken üslü sobolev uzayları ve bazı temel özellikleri
CİHAN KÖKSAL
- Değişken üslü Lebesgue uzaylarında maksimal operatörün sınırlılığı
Boundedness of maximal operator on variable exponent Lebesgue spaces
CİHAN ÜNAL
Yüksek Lisans
Türkçe
2013
MatematikSinop ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. İSMAİL AYDIN
- Bazı fonksiyon uzaylarında trigonometrik polinomlar ile yaklaşım
Approximation by trigonometric polynomials in some function spaces
ÖNDER YILMAZ
Yüksek Lisans
Türkçe
2020
MatematikBalıkesir ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. BURÇİN OKTAY YÖNET
- Ağırlıklı değişken üslü Sobolev uzayları ve bazı uygulamaları
Weighted variable exponent Sobolev spaces and some applications
CİHAN ÜNAL