Geri Dön

Diferansiyel denklemlerin ağırlıklandırılmış merkezli uyarlanabilir nelder-mead simpleks yöntemi ile sayısal çözümleri

Numerical solutions of differential equations with the adaptive nelder-mead simplex method having weighted centroids

PDF İndir

  1. Tez No: 962869
  2. Yazar: TÜRKAN ÖZYÖRÜK
  3. Danışmanlar: DOÇ. DR. KORHAN GÜNEL
  4. Tez Türü: Yüksek Lisans
  5. Konular: Matematik, Mathematics
  6. Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
  7. Yıl: 2025
  8. Dil: Türkçe
  9. Üniversite: Aydın Adnan Menderes Üniversitesi
  10. Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
  11. Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
  12. Bilim Dalı: Matematik Bilim Dalı
  13. Sayfa Sayısı: 75

Özet

Bu tez çalışmasında, adi diferansiyel denklemlerin sayısal çözümünde kullanılan sezgisel optimizasyon tabanlı yöntemlerden Nelder-Mead Simpleks(NMS), Adaptif Nelder-Mead Simpleks (ANMs) ve Ağırlıklandırılmış Merkezli Uyarlanabilir Nelder-Mead Simpleks (wANMS) algoritmaları karşılaştırmalı olarak incelenmiştir. Özellikle kapalı formda çözümü bulunamayan ya da klasik nümerik yöntemlerle çözümü zor olan diferansiyel denklemler için alternatif arayışlar, son yıllarda sezgisel yaklaşımların öne çıkmasına neden olmuştur. Bu tür yaklaşımlarda diferansiyel denklemler, optimizasyon problemi olarak modellenerek çözülür ve bu süreç, global minimumu bulmaya yönelik stratejilerle yönlendirilir. Böylece çözüm sürecine esneklik ve adaptasyon sağlar. Klasik Nelder-Mead Simpleks yöntemine dayanan ANMS algoritması, adaptif genişleme ve daraltma katsayıları sayesinde arama sürecinde dinamik bir yapı kazanmakta ve bu sayede yerel minimumlara takılma olasılığı azaltılmaktadır. wANMS algoritmasında ise, ağırlık merkezine dayalı çözüm üretimi ile birlikte düşük kaliteli çözümlerin iteratif olarak rastgele yenilenmesini içeren stratejiler uygulanmış, böylece algoritmanın genel performansı önemli ölçüde iyileştirilmiştir. Tez kapsamında, bu üç algoritma farklı diferansiyel denklem örnekleri üzerinde test edilerek doğruluk, yakınsama hızı ve hesaplama maliyeti gibi ölçütler açısından karşılaştırılmıştır. Ayrıca diferansiyel denklemlerin çözümünde alternatif bir yaklaşım olarak Fizik Bilgili Sinir Ağı (PINN) yöntemleri uygulanmış ve bu yapılar seçilen optimizasyon algoritmalarıyla entegre edilerek çözüm kalitesi değerlendirilmiştir. Bu tez çalışmasının temel amacı, optimizasyon tabanlı yapay sinir ağları kullanılan yöntemlerin diferansiyel denklemlerin çözümünde ne derece etkili olabileceğini göstermek, aynı zamanda klasik ve geliştirilmiş Nelder-Mead Simpleks algoritmalarının güçlü ve zayıf yönlerini ortaya koyarak daha kararlı ve verimli çözümler elde etmeye yönelik katkı sunmaktır. Farklı diferansiyel denklemler ile yapılan testler ile çalışma desteklenmiş olup, elde edilen bulgular için algoritmaların performansları analiz edilmiştir. Ayrıca, diferansiyel denklemlerin çözümünde alternatif bir yaklaşım olarak Fizik Bilgili Sinir Ağları (Physics-Informed Neural Networks, PINNs) kullanılmış ve bu yöntemlerin optimizasyon süreçlerinde yukarıda belirtilen algoritmalarla birlikte çalışması sağlanmıştır. Böylece, PINN tabanlı yaklaşımların klasik türlere kıyasla sunduğu esneklik ve çözüm kalitesi ortaya konulmuştur.

Özet (Çeviri)

In this thesis study, heuristic optimization-based methods for the numerical solution of ordinary differential equations are comparatively analyzed, focusing on the Nelder-Mead Simplex (NMS), Adaptive Nelder-Mead Simplex (ANMS), and Weighted Centroid-Based Adaptive Nelder-Mead Simplex (wANMS) algorithms. In recent years, heuristic approaches have gained prominence as alternatives for solving differential equations that lack closed-form solutions or are difficult to solve using classical numerical methods. These approaches model differential equations as optimization problems and guide the solution process using strategies aimed at locating the global minimum, thereby providing flexibility and adaptability. The ANMS algorithm, based on the classical Nelder-Mead Simplex method, introduces adaptive expansion and contraction coefficients, enabling a more dynamic search process and reducing the risk of getting trapped in local minima. The wANMS algorithm enhances performance significantly by employing strategies such as centroid-based solution generation and iterative random replacement of low-quality solutions. Within the scope of the thesis, the three algorithms were tested on different differential equation examples and compared in terms of accuracy, convergence speed, and computational cost. Additionally, Physics-Informed Neural Networks (PINNs) were used as an alternative method for solving differential equations, and these networks were integrated with the aforementioned optimization algorithms to assess the overall solution quality. The main objective of this thesis is to demonstrate the effectiveness of optimization-based artificial neural network methods in solving differential equations and to highlight the strengths and weaknesses of both classical and enhanced Nelder-Mead Simplex algorithms in order to contribute to the development of more stable and efficient solution frameworks. The study is supported by tests on various differential equations, and the algorithm performances were analyzed based on the obtained results. Moreover, as an alternative approach to solving differential equations, Physics-Informed Neural Networks (PINNs) were employed, and these methods were integrated with the optimization algorithms mentioned above. In doing so, the flexibility and solution quality offered by PINN-based approaches compared to classical methods were clearly demonstrated.

Benzer Tezler

  1. Tez No

    507459

    Thermo-elastic analysis and multi objective optimal design of functionally graded flywheel for energy storage systems

    Enerji depolama sistemleri için fonksiyonel derecelendirilmiş volan termoelastik analizi ve çok parametreli optimizasyonu

    ALPER UYAR

    Yüksek Lisans

    İngilizce

    İngilizce

    2018

    Uçak Mühendisliğiİstanbul Teknik Üniversitesi

    Uçak ve Uzay Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. İBRAHİM OZKOL

  2. Tez No

    629356

    BEM solution of unsteady convection-diffusion type fluid flow problems

    Zamana bağlı konveksiyon-difüzyon tipindeki akışkan akımı problemlerinin sınır elemanları metodu ile çözümü

    HANDE FENDOĞLU

    Doktora

    İngilizce

    İngilizce

    2020

    MatematikOrta Doğu Teknik Üniversitesi

    Matematik Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. CANAN BOZKAYA

    PROF. DR. MÜNEVVER TEZER

  3. Tez No

    245003

    Diferansiyel denklemlerin Laguerre polinom çözümleri

    Laguerre polynomial solutions of differantial equations

    HASAN EMRE SARI

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2009

    MatematikMuğla Üniversitesi

    Matematik Bölümü

    PROF. DR. MEHMET SEZER

  4. Tez No

    65177

    Diferansiyel denklemlerin yaklaşık simetrileri

    Approximate symmetric of differential equations

    TESLİM ÖZDEMİR

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    1997

    MatematikCelal Bayar Üniversitesi

    Matematik Ana Bilim Dalı

    DOÇ. DR. MEHMET PAKDEMİRLİ

  5. Tez No

    252528

    Diferansiyel denklemlerin sayısal çözümlerinde Adomian ayrışım metodu ve Homotopi perturbasyon metodu'nun karşılaştırılması

    Comparison of Adomian decomposition method and Homotopy perturbation method on numerical solutions of differantial equations

    SEMA AKKUŞ

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2009

    MatematikKahramanmaraş Sütçü İmam Üniversitesi

    Matematik Ana Bilim Dalı

    YRD. DOÇ. DR. YAŞAR ASLAN

Geri Dön