Çaprazlanmış modüllerin kategorisinde cat1-objeler
Cat1-objects in the category of crossed modules
- Tez No: 977829
- Danışmanlar: PROF. DR. TUNÇAR ŞAHAN
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2025
- Dil: Türkçe
- Üniversite: Aksaray Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Cebir ve Sayılar Teorisi Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: Belirtilmemiş.
Özet
Çaprazlanmış modül kavramı, ilk kez 1946 yılında tanımlanmış ve bağlantılı homotopi 2-tipleri için önemli bir cebirsel model olarak ortaya çıkmıştır. Bu yapı, homotopi teorisinin yanı sıra grup temsilleri, homoloji ve kohomoloji, cebirsel K-teorisi ve diferansiyel geometri gibi matematiğin birçok alanında uygulanmıştır. Sonraki yıllarda Brown, Higgins ve Loday gibi araştırmacılar, çaprazlanmış modüllerin farklı yönlerini geliştirerek, bu yapıları hem cebirsel hem de kategorik açıdan zenginleştirmiştir. Özellikle, 1982'de, cat¹-gruplar tanımlanarak, çaprazlanmış modüller ile cat¹-gruplar arasında doğal bir kategorik denklik kurulmuş ve bu nesnelerin homotopi tipleriyle bağlantısını gösterilmiştir. Bu tezde temel amaç, çaprazlanmış modüller kategorisinde cat¹-objelerin incelenmesi ve bu yapıların sistematik biçimde karakterize edilmesidir. İlk olarak kategori teorisi, grup teorisi ve çaprazlanmış modüller ile ilgili temel kavramlar verilmiş, ardından cat¹-grupların tanımı ve özellikleri sunulmuştur. Daha sonra, çaprazlanmış modüller kategorisinde cat¹-çaprazlanmış modüller tanımlanmış, bu yapıların homotopik ve cebirsel özellikleri araştırılmıştır. Ayrıca, cat¹-çaprazlanmış modüller ile bazı cebirsel yapılar arasındaki doğal denklikler ayrıntılı biçimde incelenmiş ve bu yapılar arasındaki ilişkiler örneklerle desteklenmiştir. Sonuç olarak, tez çalışması hem çaprazlanmış modüller kuramına katkıda bulunmakta hem de bu yapıların kategorik denklikler üzerinden farklı alanlarda uygulanabilirliğini göstermektedir. Böylece elde edilen sonuçlar, yüksek boyutlu cebirsel modellerin daha derinlemesine anlaşılması için önemli bir adım teşkil etmektedir.
Özet (Çeviri)
The concept of crossed modules was initially introduced in 1946 as a fundamental algebraic model for connected homotopy 2-types. This structure has found applications not only in homotopy theory but also in representation theory of groups, homology and cohomology, algebraic K-theory, and differential geometry. In the following decades, researchers such as Brown, Higgins, and Loday further developed various aspects of crossed modules, enriching these structures from both algebraic and categorical perspectives. In particular, in 1982, the consept of cat¹-groups is introduced and a natural categorical equivalence is established between crossed modules and cat¹-groups, highlighting their deep connection with homotopy types. The main aim of this thesis is to investigate cat¹-objects within the category of crossed modules and to characterize these structures systematically. First, fundamental notions from category theory, group theory, and crossed modules are presented, followed by the definition and properties of cat¹-groups. Subsequently, cat¹-crossed modules are introduced in the category of crossed modules, and their homotopical and algebraic properties are explored. Furthermore, the natural equivalence between cat¹-crossed modules and cat¹-groups is studied in detail, with several illustrative examples provided. In conclusion, this thesis contributes to the theory of crossed modules and demonstrates the applicability of these structures through categorical equivalences. The results obtained represent a significant step toward a deeper understanding of higher-dimensional algebraic models and their potential applications across different areas of mathematics.
Benzer Tezler
- Cat^1-grupların kategorisinde çaprazlanmış modüller
Crossed modules in the category of cat^1 groups
EMRE KENDİR
- Modifiye interest kategorilerde cat1-objeler
Cat1-objects in modified categories of interest
EKREM SERDAR SERT
Yüksek Lisans
Türkçe
2017
MatematikAksaray ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. TUNÇAR ŞAHAN
- Genelleştirilmiş çaprazlanmış modüllerin örtüleri ve yükselmeleri
Coverings and liftings of generalized crossed modules
GAMZE AYTEKİN ARICI
- Grupoidler üzerindeki çaprazlanmış modüller ve cat1-grupoidler
Crossed modules over grupoids and cat1-grupoids
OSMAN ÇAN
Yüksek Lisans
Türkçe
2021
MatematikRecep Tayyip Erdoğan ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DR. ÖĞR. ÜYESİ SEDAT TEMEL