Üç değişik metrik fon uzayında skaler bir alanın kuantum dalgalanmaları
Quantum fluctuations for a scalar field in the background of three different metrics
- Tez No: 100662
- Danışmanlar: PROF.DR. MAHMUT HORTAÇSU
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Fizik ve Fizik Mühendisliği, Physics and Physics Engineering
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 1999
- Dil: Türkçe
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: 89
Özet
UÇ DEĞİŞİK METRİK FON UZAYINDA SKALER BİR ALANIN KUANTUM DALGALANMALARI ÖZET“Dönen”bir kozmik sicimin kopması ile oluşan küresel impulsif gravitasyonel dalganın fon uzayında skaler bir alamn enerji gerilim tansörünün boşluk beklenen değeri hesaplandı. Birinci mertebe pertürbasyonda sıfır boşluk dalgalanmaları bulundu, impulsif düzlem ve sandviç dalgaların, kesin ve pertürbatif sonuçlan da karşılaştırıldı. Pertürbatif yöntemden kaynaklanan sahte etkilerin enerji gerilim tansörünün boşluk beklenen değeri gibi fiziksel olarak anlaşılabilen büyüklüklerde sonlu ifadelere yol açmadığı gösterildi. Einstein alan denklemlerinin farklı çözümlerinden oluşan boşluk dalgalanmaları geniş bir şekilde çalışılmıştır. Bu hesaplamalarda yarı-klasik yaklaşım kullanarak genel relativitenin kuantum etkileri hesaplanabilir. Birçok örneklerde bu dalgalanmalar vardır. Eğer asimptotik olarak düz metrik kullanılırsa, bunlar parçacık yaratılması olarak yorumlanabilir. Bazı metrikler bu gibi etkilere neden olmazlar. Konformal kovaryant metriklerde, kütlesiz parçacık yaratılması teorideki simetri ile yasaklanmıştır. Küresel gravitasyonel impulsif dalga çözümleri bulunduğunda, sıfırdan farklı dalgalanmalar bulabileceğimizi yani enerji gerilim tansörünün beklenen değerinin bu durum için sonlu bir değer olabileceğini düşündük. Küresel impulsif dalga için enerji gerilim tansörünün boşluk beklenen değerini hesapladık. Birinci mertebe pertürbasyonda sonlu bir ifade bulamadık. Bir kozmik sicimin kopması sonucu oluşan küresel gravitasyonel dalgalar için Nutku-Penrose metriği ds2 = 2dudv - 2\ud£ + vd(vjf(v, 0\ - \\. Boşluk dalgalanmalarını birinci mertebeden s için araştıracağız. Bu bize pertürbatif çözüm önerir. L operatörünü, özdeğer ve özfonksiyonlan s'nin mertebesine göre seriye açtık ve sıfır olmayan katkıyı araştırdık. Birinci mertebede F ^ ' ;“ \x) V 16tt (u - u')(v - v>)2 8tt (ti - u')(v - v>) eT u'8(v) - u9(v') \ ~~&k(u-u')2(v -v')J ifadesini elde ettik. Aynı nokta limit aldıktan sonra bu ifadeden sonlu bir kısım elde edemeyiz. Düzlem impulsif dalga için kesin ve pertürbatif sonuçları karşılaştırdık. Önce kesin hesaplamayı yapalım. Burada impulsif düzlem dalgayı tanımlayan metriği alıyoruz, ds2 = 2dvdv - \dÇ + q) 9(v> - v) Gf = ~ W~ + 1^5- (7) ifadesini buluruz. Burada a2 =2(t;-t;')(t*-«')-(^-*')2(l+t;o varsayımım yapalım, /'yi çözmeye çalışalım., (fe? ~ k2)u 7 İR i Ku v + - - R 2R? (10) ifadesini buluruz. ikinci mertebeden çözüm için fa - ho şeklinde alalım. Burada h = v2hı(x, y, u) + vh,2(x, y, u) + hz(x, y, u) formundadır. Özmodları topladığımızda paydada (u - u') ve m2'nin kuvvetleri olan propagatörü elde ederiz. Sonlu bir sonuç bulmak için sadece (u - u')~lm~2 terimine ihtiyacımız vardır. Bu de Sitter uzayında regularize olur ve üzerinde türev alınırsa bize sonlu bir sonuç verir. Bu terim A 'yi 77i2 'ye orantılı olarak aldığımızda A/m2 sonlu olacak terim ile çarpılacaktır. Boyutsal sonuç için bu tek doğru seçimdir. Burada böyle bir terim elde edemedik. Buna en yakın (u - u')~2m~2 terimini elde ettik. Kızılötesi ve morötesi ıraksakhğı kaldırmak için de Sitter uzayına gidersek, Green fonksiyonunu (l + -^p) f 1 + Au6v ) ile çarpmak zorundayız. Bu ifadeyi ?u, it', v, u”nün toplam ve farkları cinsinden açarız. Bu işlem, ifadenin morötesi ıraksamanın seviyesini en fazla iki mertebe düşürür. Amacımız A ile lineer olan terim elde etmektir. De Sitter uzayında (Tvv)a-2\e(v-v') (11) vıısonlu kısmanı elde ederiz. A' yi m2 'ye orantılı aldığımızdan yukarıdaki ifadede.^2 terimi A ile sadeleşir, fakat geri kalan A terimi Minkowski uzayına geri döndüğümüzde sıfıra doğru gittiğinden katkı vermez. Deşer ve Gibbons'm genel tartışmalarıyla uygun olan bu sonuç bizim yöntemimizin bilinen sonuçlarla çelişmediğini gösterir. Sandviç dalga için de kesin ve pertürbatif sonuçlan karşılaştırdık. Önce kesin hesaplamayı yapalım. Burada Halilsoy tarafından bulunan [26] saf gravitasyonel sandviç metriğin düz olmayan kısmım kullandık. Bu bölgedeki metrik ds2 = 2dudv - cosh2(gu)dx2 - cos2(gu)dy2 (12) ifadesiyle tanımlanır. Bu metriğin d'Alembertian operatörü L = 2dudv - sech2(gu)dl - sec2(gu)d2 + ^(tanh^u) - tan(gu))dv (13) şeklinde elde edilir. Green fonksiyonu Q“ ~ (14) * 2Tr[2(u-u')(v-v')D1-(x-x'yD2-(y-y')2D3] K ' şeklinde yazılabilir. Burada Aj, B{ i = 1, 2, 3 u'nun fonksiyonlarıdır. Eğer bu ifadeden enerji gerilim tansörünün boşluk beklenen değerini Çıkarmaya çalışırsak önce onu regularize etmek zorundayız ve türev almadan önce aynı nokta limitinden sonlu bir kısım elde etmek zorundayız, u'yu göre türevlemeden önce bütün diğer değişkenlere göre aynı nokta limitini alabiliriz. Seri açılımı sadece u - «”ye göredir, son ifadede başka farklar yoktur. Bu limitte (Tp'den sonlu bir ifade elde edemeyiz. Eğer de Sitter uzayına gidersek tekilliklerden kurtuluruz ve sonlu bir sonuç elde ederiz. De Sitter uzayının eğriliği bu durum için bizim ifademizle çarpılır. Minkowski limitinde bu eğriliği sıfır alırsak sonuç sıfıra doğru gider. Bu durumda boşluk dalgalanmalarının olmadığım bulduk. Pertürbatif hesaplama için, modelimizde tek serbest parametre g'yi küçük alırız. Operatörümüz L'yi g'ye göre açarız. Böylece L « 2dudv -%-& + -- + glu\di - di) + ^ ( -\{d2x + d2y) - \{dudv + \dv + ^) (15) ifadesini elde ederiz. Burada kütleyi, hesaplarımızda kızılötesi parametre olarak kullanmak için ekledik. Kütle hesapların sonunda sıfıra eşitlenir. Birinci mertebeden çözümü bulmak için 4>ı = ffo varsayımım yapalım. Burada o sıfırıncı mertebeden çözümdür. Ve vııı(j>Q = \ ]__eiKv/2R iklX ik2y iRu ^gN şeklinde buluruz. /, </>o'm fourier modlan &i, &2) if, R cinsinden bulunur. Ve şeklinde verilir. Ikinci mertebeden çözüm için 2 = g
Özet (Çeviri)
QUANTUM FLUCTUATIONS FOR A SCALAR FIELD IN THE BACKGROUND OF THREE DIFFERENT METRICS SUMMARY The vacuum expectation value of the stress-energy tensor for a scalar field in the background metric of spherical impulsive gravitational wave due to the snapping of a“rotating”cosmic string is calculated. Zero vacuum fluctuations were found in first-order perturbation theory. The exact and the perturbative results in two metrics, plane impulsive and sandwich waves, are also compared. It is shown that the spurious effects due to the perturbation method do not survive for physically relevant such as the vacuum expectation value of the stress-energy tensor. Vacuum fluctuations due to different solutions of Einstein's field equations are extensively studied. In these calculations one attempts to compute quantum effects in the theory of general relativity using a semi-classical approximation. In many examples these fluctuations are indeed present. If the metric used is asymptotically flat, they can be interpreted as particle production. It is, perhaps, also interesting that certain metrics do not give rise to such effects. In conformally covariant metrics, massless particle production is prohibited by the existing symmetry. When spherical gravitational impulsive wave were found there was new hope for nonzero fluctuations. We thought that the expectations value of the stress-energy tensor may have a finite value for this case. We calculated the vacuum expectations value of the stress-energy tensor, (T^ji/), for spherical impulsive wave function. We found that a finite expression can not be extracted in the first order calculation. The Nutku-Penrose metric for spherical gravitational waves formed as a result of snapped cosmic strings is given by ds2 = 2dudv - 2\ud£ + v6(v)f(v, £K|2. (1) Here v is the retarded time, u is a Bondi-type luminosity distance and £ is the angle of the stereographic projection, /(£) is the Schwarzian derivative of an arbitrary function h(£). Our first choice corresponds to a“rotating”string and is given by h = (£)1+ÎS which gives /(£) = - 4f in first order in s. First we go to real coordinates £ = -js{x + iy).The d'Alembertian operator, written in this background metric reads 2 d2.“ d d2 d2 t^ğU =211*-^-=- + 2u- dudv dv dx2 dy2 (2) 8sv u{x2 + y2)2 [d2 d2 \. 2 2N a2 k9x2 dy2 J dxdy We compute the Green's function by summing the eigenfunctions of the operator gF = _^M*)fl(»') (3) A where Z^a = A^x- Vacuum fluctuations, if present, must exist at the lower order in s. This fact suggests a perturbative solution to the problem. We expand our operator L and the solutions in powers of s and look for non-vanishing contribution. In first order we get C*»(r ^ - tan”1 (V-\ ( *e“ %V> ~ ' _ «”*(«) + W) F {X' } ~ \x) \ 16tt (u - u')(v - v')2 8tt (u - u')(v - v>) eT u'd{v)-u9(v') 8ir (u - u')2(v - v')J ' We could not extract a finite portion out of these expressions in the coincidence limit. We compare the exact and perturbative results in plane impulsive wave. First we perform an exact calculation. Here we take the metric describing an impulsive plane wave, ds2 = 2dudv - \dC + q) e(v' - v) gf = -^^+^^- (7) where a2 = 2(v-vl)(u-u')-(x-x')2(l + vg)(l + v'g)-(y-y')2(l-vg)(l-v'g) (8) and 6 is the Heavyside unit step function. It is clear that we do not get a finite part for the vacuum expectation value of the stress-energy tensor which is obtained from this expression by taking the appropriate derivatives after the coincidence limit is taken. Here we will perform the same calculation perturbatively and see if there are spurious effects due to the perturbation algorithm. If we expand up to second order in the coupling constant g, we get L « 2dudv - 2g2vdu - (1 + 3v2g2)(d2x + d2y) + 2gv(d2x - dl). (9) We expand the solution in powers of g and take the first order solution as 4>^ = f(°\ It is straight forward to solve for / and we get f_{k\-k2)u 1 İR i Ku R 2R2 (10) For the second order solution we take ^2' = (f>(°'h. Here h = v2hx(x, y, u) + vh2(x, y, u) + h3(x, y, u). When we sum over the eigenmodes, we get the propagator where we have powers of (u - u') and m2 in the denominator. To get a finite result we need a term which has only (u - u')~2m~2 which will be regularized in the de Sitter space and upon different ation gives us a finite result. This term will be multiplied by A/m2 which will be finite when we take A proportional to m2. This is the only correct choice due to dimensional reasons. Here we do not get such a term. The closest we get is with (u - u')~1m~2. If we go to de Sitter space to cancel both the ultra-violet and infrared divergences, we have to multiply the expression for the Green's function by (1 + Auu/6)(1 + f\u'v' /6). We expand this expression in sums and differences of it, u', v, v'. This process reduces the ultraviolet divergence level of the expression by two orders at most. We aim to the term which is linear in A, however, we see that the finite part of (Tvv) goes as (Tvv) oc -2^0(v - v') (11) which is finite only in de Sitter space. One power of the curvature cancels with xiithe infrared parameter since we take A oc ra2, but the remaining power takes the contribution to zero when we go back to Minkowski space. This result which is in accord with general arguments of Deser and Gibbons, is a check our method does not contradict any known results. We also compare the exact and perturbative results in sandwich wave. First, we perform the an exact calculation. Here we use a non-fiat portion of the pure gravitational sandwich metric given by Halilsoy. At this region the metric is described by the expression ds2 = 2dudv - cosh (gu)dx2 - cos2 (gu)dy2. (12) We can easily form the d'Alembertian operator L = 2dudv - sech2(gu)dl - sec2(gu)d2 + gr(tanh(gu) - tan(#u))d“. (13) The Green's function goes as 1 1 Gv w. (14) F 2ır{2{u-u')(v-v>)D1-{x-x>YD2-{y-y')2D3\ K } Here Ai, B{, i =1-3 are functions of u, but not that of u - u'. If we try to extract the vacuum expectation value of the stress-energy tensor out of this expression we have to first regularize it and obtain the finite part in the coincidence limit before we differentiate it. Before the differentiation, say, with respect to u, we can take the coincidence limit in all the other variables. Since a series expansion only in (u - u') and not in the other differences exist in the final expression, we cannot get a finite term from Gf in this limit. If we go to the de Sitter space, we can get rid of the singularities and obtain a finite result. The curvature of the de Sitter space multiplies our expression for this case, though. The result goes to zero as we take the curvature to zero in the Minkowski limit. We find that there are no vacuum fluctuations in this case. For the perturbative calculation, we take g, the only free parameter in our model, small, and we expand our operator L, eigenfunctions and the eigenvalues of the associated Sturm-Liouville problem in powers of g. The operator L reads L » 2dudv - d2x - d2y + ^ + g2u\d\ - a2) m 2 (15) + A4 {-\{dl + d2) - \(dudv + 2-dv + l£)) Here we have added a mass term that we will use as an infrared parameter in our calculations. The aim is to set this term equal to zero at the end with impunity. The first order solution is of the form fa = ffa, where o is the zeroth order contribution. We find xm1 1 J.n - _I JKv/2R ikxx ik2yJRu /1R\ f is found in terms of the fourier modes fcj, k2, K, R of 0, and is given as r /t2,2n/”«2« U ( KV*\ İ L Kv2 K2V*\\,“”, For the second order we make the same kind of ansatz, 2 - gQ. Actually this ansatz is dictated by the equations for o. The Green's function is calculated by summing over all the eigenmodes k\, k2, K, R. The calculation is standard but tedious. We just give a sample from the end result. It reads e2ni g37ri/2 &ni &m/2 Gf = TT- ( rj - ^- + r2 - ^- + r3- + r4 - - İ07T \ m° m° m4 ml g7ri/2 &iri pSm/2 -r5 in(5m) - r6 - - r7 - - r8 -^~ (19) where S2 = (u - u')(v - v') - \ [(x - x')2 + (y - y')2]. T{, i =1-8 are functions of v, v', (v - i>'), (a; - x')2 + (y - y')2, (x - a;')2 - (y - y')2. r2 contains terms that are as divergent as (u - v')~10 in the coincidence limit. Here the minimum singularity goes as l/(v - v')3. There is no way to cancel the divergence by a detour in de Sitter space, with the A term. The perturbative calculations, although they give rise to spurious infrared and ultraviolet divergences in the intermediate steps, cannot be regularized and a finite expression cannot be extracted. We interpret this fact as the absence of vacuum fluctuations for this case. This shows that the perturbative results do not contradict the exact result for the physical quantities. xiv
Benzer Tezler
- Üniversite öğrencilerinin yüz antropometrik ölçümlerinin artistik anatomi açısından fotografik analiz yöntemleriyle değerlendirilmesi
Evaluation of university students' anthropometric face measurements by using photographic analysis methods in terms of artistic anatomy
TAYLAN ÖNAL
- Servikal distoninin değerlendirilmesinde yeni bir yöntem
A new method for the evaluation of cervical dystonia
HANİFE KARAKAYA
- Çeşitli burun hastalıklarında elektrorinomanometrinin değeri (50 atrofik rinitli,50 konka hipertrofili, 25 septumperforasyonlu ve 12 nazal deformiteli hastalar üzerinde yapılan bir çalışma)
Başlık çevirisi yok
BÜLENT KARCI
Tıpta Uzmanlık
Türkçe
1985
Kulak Burun ve BoğazEge ÜniversitesiKulak Burun Boğaz Hastalıkları Ana Bilim Dalı
- Multivariate time series clustering using variable order markov models and its applications on cyber-physical systems
Değişken dereceli markov zincirleri kullanılarak çok değişkenli zaman serilerinin kümelenmesi ve siber-fiziksel üretim sistemlerinde uygulamaları
BARIŞ GÜN SÜRMELİ
Yüksek Lisans
İngilizce
2019
Bilgisayar Mühendisliği Bilimleri-Bilgisayar ve KontrolMarmara ÜniversitesiBilgisayar Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. MUSTAFA BORAHAN TÜMER