Geri Dön

A study on perfect and regular rings

Tam ve düzenli halkalar üzerine bir çalişma

PDF İndir

  1. Tez No: 299513
  2. Yazar: PINAR AYDOĞDU
  3. Danışmanlar: PROF. DR. AYŞE ÇİĞDEM ÖZCAN
  4. Tez Türü: Doktora
  5. Konular: Matematik, Mathematics
  6. Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
  7. Yıl: 2011
  8. Dil: İngilizce
  9. Üniversite: Hacettepe Üniversitesi
  10. Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
  11. Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
  12. Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
  13. Sayfa Sayısı: 98

Özet

Değişmeli olmayan halkaların ve bu halkalar üzerindeki modüllerin tarihi gelişimindeki başlangıç noktalarından biri bir K cismi üzerindeki cebirlerdir. Bu cebirler, bunların idealleri ve bu cebirler üzerindeki modüller K-vektör uzaylarıdır. Eğer bir K-vektör uzayı sonlu boyutlu ise bu modüller üzerinde bazı sonluluk özellikleri sağlanmaktadır. Emmy Noether, artan zincir koşulunu sağlayan değişmeli halkalar üzerinde çalışmıştır. Bu halkalar günümüzde, Noether halkalar olarak adlandırılmaktadır. Noether'in çalışmalarından etkilenen Emil Artin, Wedderburn'ün cebirler üzerindeki yapısal teoremlerini azalan zincir koşulunu sağlayan değişmeli olmayan halkalara genellemiştir. Literatürde bu halkalar, Artin halkalar olarak bilinmektedir.Von Neumann düzenli halkalar, 1930'larınn ortalarında, von Neumann tarafından operatör cebirlerin projeksiyon latislerini çalışmak için cebirsel bir çerçeve oluşturmak amacıyla tanımlanmıştır. Von Neumann'ın oluşturduğu bu cebirsel çerçeve projektif geometride kullanılmıştır.Artin ve (von Neumann) düzenli halkalar pek çok yazarın ilgi odağı olmuş ve araştırmacılar tarafından farklı şekillerde genelleştirilmiştir. Tam (perfect), yarıtam (semiperfect) ve yarıdüzenli (semiregular) halkalar bu genellemelerin bazılarıdır. Bu tezin amacı tam ve (von Neumann) düzenli halkalar ile bu halkaların bazı genellemelerini, bir altmodüle göre yarıdüzenli ya da yarıtam olan modüller ile bazı zincir koşulları göz önüne alınarak karakterize etmek; bir takım özel idealler ele alınarak tanımlanan yarıdüzenli ve yarıtam halkaları incelemektir.Bu tezin birinci bölümü, çalışmalarımızda ihtiyaç duyulan bazı temel kavramların ve yukarıda söz konusu olan halka ile modüllerin tanıtılmasına ayrılmıştır.Yarıdüzenli ve yarıtam halka kavramları, Yousif ve Zhou (2002) tarafından, bir I ideali göz önüne alınarakI-yarıdüzenli ve I-yarıtam halkalara genelleştirilmiştir. Nicholson ve Zhou (2005), I-yarıdüzenli veI-yarıtam halkaları karakterize etmek amacıyla kuvvetli yükselten (strongly lifting) ideal kavramıüzerinde çalışmışlardır. Nicholson ve Zhou'nun elde ettiği sonuçlara göre, bir R halkası I-yarıdüzenlidir (I-yarıtamdır) ancak ve ancak R/I halkası düzenlidir (yarıbasittir) ve I kuvvetli yükselten bir idealdir. I-yarıdüzenli ve I-yarıtam halka kavramları sağ-sol simetriktir.Alkan ve Özcan (2004-2006), bir modülün endomorfizmalar altında korunan bir U altmodülünü göz önüne alarak, I-yarıdüzenli ve I-yarıtam halkaların modül versiyonları olan U-yarıdüzenli ve U-yarıtam modülleri tanımlamışlar; I-yarıdüzenli ve I-yarıtam halkaların bazı özelliklerini modüllere taşımışlardır.Tezin ikinci bölümünde, kuvvetli yükselten ideal tanımına paralel olarak kuvvetli yükselten altmodül tanımı verilmiş ve bu altmodüllerin bazı özellikleri incelenmiştir. Bir R halkasının bir I ideali kuvvetli yükselten idealdir ancak ve ancak I, R sağ R-modülünün kuvvetli yükselten bir altmodülüdür.Yarı-projektif (self-projective) modüllerin dik toplananları kuvvetli yükselten altmodüllerdir. Ayrıca,yarı-projektif bir modülün sonlu değişim özelliğini (finite exchange property) sağlaması ileher altmoülünün kuvvetli yükselten olması denk ifadelerdir.Bu bölümde, I-yarıtam halkaların karakterizasyonunda önemli bir rol oynayan I-yarıgüçlü ideal kavramı modüllere taşınmıştır. U izdüşümler altında korunan bir altmodül ve M U-yarıgüçlü bir mod\"{u}l ise M/U 0-güçlüdür. Bu ifadenin tersi U'nun kuvvetli yükselten bir altmodül olması durumunda doğrudur. M U-yarıgüçlü bir modül ise M'nin U içinde kapsanmayan her N altmodünün ayrıştırılamaz (indecomposable) olması ile yerel (local) olması denktir. U-yarıgüçlü modüller yardımıyla U-yarıtam modüller karakterize edilmiştir. U, izdüşümler altında korunan bir altmodül olmak üzere, kuvvetli yükselten altmodüller göz önüne alınarak, U-yarıdüzenli ve U-yarıtam modüllerin yeni karakterizasyonları elde edilmiştir.Bu bölümün son kısmında, her (projektif) modülü bir preradikale göre yarıtam olan halkalar incelenmiştir.Jacobson radikali Rad, Goldie torsion altmodülü ve delta gibi bazı özel preradikaller göz önünealınarak, her (projektif) modülü bu özel preradikallere göre yarıtam olan halkalarla ilgili bazı karakterizasyonlar elde edilmiştir.Xiao ve Tong'un tanımlamış olduğu genelleştirilmiş yarıdüzenli halkalar (generalized semiregular rings), yarıdüzenli ve AP-injektif halkaları kapsamaktadır. Aynı çalışmada, söz konusu yazarlar, yarıdüzenli ve AP-injektif halkalar için bilinen bazı sonuçları genellemişlerdir. Tezin üçüncü bölümünde, bazı (özel) idealler gözönünde bulundurularak tanımlanan halka ve modüller, bu genellemelerden yararlanılarak, incelenmiştir.Tezin bu bölümünde, F-yarıdüzenli modüllerle ilgili yeni karakterizasyonlar elde edilmiştir. Sağ yaklaşık I-yarıdüzenlü halkaların ne zaman I-yarıdüzenli olabileceği sorusu üzerinde durulmuş ve Xiao ile Tong'un elde ettiği bazı sonuçlar sağ yaklaşık I-yarıdüzenli halkalara genelleştirilmiştir. Bazı özel idealler göz onüne alınarak sağ yaklaşık I-yarıdüzenli halkalar ve bu halkalar arasındaki ilişkiler incelenmiştir.Bir modülün öz geniş altmodülleri ve sıfırdan farklı dar altmodülleri o modülün dik toplanan olmayan altmodülleridir. Bu durumda, eğer bir modül dik toplanan olmayan altmodüller üzerindeartan (azalan) zincir koşulunu sağlıyorsa, o zaman geniş ve dar altmodülleri üzerinde de artan (azalan) zincir koşulunu sağlar. Ancak, bu basit gözlemin tersinin her zaman doğru olmadığına dair değişmeli ve (von Neumann) düzenli bir halka örneğ vardır . Bir M R-modülünün geniş altmodülleri üzerinde artan zincir koşulunu sağlaması için gerek ve yeter koşul M/Soc(M)'nin Noether modül olmasıdır (Goodearl, 1972). Armendariz (1980), bu sonucun bir duali olarak, bir M R-modülünün geniş altmodülleri üzerinde azalan zincir koşulunu sağlaması ile M/Soc(M)'nin Artin olmasının denk ifadeler olduğunu ispatlamıştır. Varadarajan (1979) ise,bir M R-modülünün dar altmodülleri üzerinde artan zincir koşulunu sağlaması ile Rad(M)'nin Noether olmasının denk olduğunu göstermiştir. Bu sonucun duali Al-Khazzive Smith (1991) tarafından ispatlanmıştır. Yani, bir M R-modülü dar altmodülleri üzerinde azalan zincir koşulunu sağlar ancak ve ancak Rad(M) Artindir.Tezin dördüncü ve son bölümünde, dik toplanan olmayan altmodüller üzerinde azalan ve artan zincir koşullarını sağlayan modüller, bazı modül sınıfları ele alınarak, detaylı olarak incelenmiştir. Dik toplanan olmayan altmodüller üzerinde artan ya da azalan zincir koşullarını sağlayan modüller yardımıyla Noether ve Artin modüllerle ilgili bazı karakterizasyonlar elde edilmiştir. Bir M R-modülünün Noether (Artin) ya da yarıbasit olması için gerek ve yeter koşul M'nin dik toplanan olmayan altmodüller üzerindeartan (azalan) zincir koşulunu sağlamasıdır. R bir sağ Noether halka ise, bir M R-modülü dik toplanan olmayan sonlu üretilmiş altmodüller üzerinde artan zincir koşulunu sağlar ancak ve ancak M dik toplanan olmayan altmodüller üzerinde artan zincir koşulunu sağlar. Bir M modülü dik toplanan olmayan sonlu üretilmiş altmodüller üzerinde azalan zincir koşulunu sağlar ancak ve ancak M yerel Artin bir modüldür. Bir R halkasının sol tam olması ile devirli sağ idealler üzerinde azalan zincir koşulunu sağlamasının denk ifadeler oluşu iyi bilinen bir sonuçtur. Buradan, bir R halkası sol tamdır ancak ve ancak R,hem dik toplanan sağ idealler hem de dik toplanan olmayan devirli sağ idealler üzerinde azalan zincir koşulunu sağlar. Ayrıca, R halkası dik toplanan olmayan devirli sağ idealler üzerinde azalan zincir koşulunu sağlıyorsa R, Jacobson radikali sol T-üstelsıfır olan yarıdüzenli bir halkadır.

Özet (Çeviri)

One of the starting points of the historical developments of non-commutative rings and their modules is algebras over a field K. A K-algebra, its ideals and its modules are K-vector spaces. If a K-vector space is finite dimensional, then it satisfies some finiteness conditions. Emmy Noether worked on commutative rings with the ascending chain condition which are now called Noetherian rings. Emil Artin, who inspired by Noether's works, generalized Wedderburn's structure theorems on algebras to non-commutative rings with the descending chain condition, which are now called Artinian rings.Regular rings were invented by von Neumann in the mid-1930's in order to provide an algebraic framework for studying the lattices of projections in the operator algebras. Von Neumann modelled this framework on the coordinatization of projective geometry.Artinian and regular rings have been studied extensively and generalized in different ways by many authors. Some of these generalizations are perfect, semiperfect and semiregular rings.The goal of this dissertation is to work on new concepts which are derived from Artinian and regular rings.Our aim is to characterize perfect and regular rings and some of their generalizationsby considering some chain conditions as well as semiregular and semiperfect modules, and to investigatesemiregular and semiperfect rings relative to some special ideals.In the first chapter of this dissertation, we give the definitions of some basic notions and investigate some of their properties which are useful tools for our further studies, and we study the rings that are mentioned above.In the second chapter, we introduce the notion of `strong lifting submodule' which is a modüle theoretic version of the notion of strong lifting ideal. Strongly lifting ideals were studied by Nicholson and Zhou (2005) to characterize semiregular and semiperfect rings relative to an ideal. Inspired by these works, we investigate strongly lifting submodules and obtain some new characterizations of semiregular and semiperfect modules relative to a projection-invariant submodule. In the last section of this chapter, we investigate rings over which every (projective) module M is semiperfect relative to a preradical, and notice that this condition is one of the necessary and sufficient conditions for a ring to be (delta-)perfect.The class of semiregular rings and the class of almost principally injective rings are contained in the class of generalized semiregular rings which are defined by Xiao and Tong (2005). In the third chapter, we introduce generalized semiregular rings relative to an ideal, and investigate some of their properties. We also consider generalized semiregular rings relative to some special ideals such as the socle, the delta radical and the singular ideal of the ring.The last chapter, Chapter 4, is concerned with chain conditions on non-summands. We investigate the properties of modules with chain conditions on non-summands by considering some module classes. We characterize Artinian and Noetherian modules in terms of these chain conditions. It is well known that a ring is right perfect if and only if it satisfies descending chain condition on cyclic left ideals. We deduce that a ring is right perfect if and only if it satisfies descending chain condition on non-summand cyclic left ideals and on summand left ideals. Moreover, if a ring satisfies descending chain condition on non-summand cyclic right ideals, then it is a semiregular ring with a left T-nilpotent Jacobson radical.

Benzer Tezler

  1. Tez No

    537837

    Local cohomology and radically perfect ideals

    Yerel kohomoloji ve radikal olarak mükemmel idealler

    TUĞBA YILDIRIM

    Doktora

    İngilizce

    İngilizce

    2018

    Matematikİstanbul Teknik Üniversitesi

    Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    PROF. DR. VAHAP ERDOĞDU

  2. Tez No

    401193

    Investigation of structural and functional properties of the betaine transporter BetP from Corynebacterium glutamicum by using infrared spectroscopy

    Başlık çevirisi yok

    GÜNNUR GÜLER

    Doktora

    İngilizce

    İngilizce

    2013

    Fizik ve Fizik MühendisliğiJohann-Wolfgang-Goethe-Universität

    PROF. DR. WERNER MANTELE

  3. Tez No

    66760

    Küçük ölçekli bir kimya sanayi işletmesinde kalite güvence sisteminin incelenmesi ve değerlendirilmesi

    The examination and evolution of a quality assurance system from a small-scale chemical industry plant

    ZEKİ YÖRÜR

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    1997

    Mühendislik Bilimleriİstanbul Teknik Üniversitesi

    İşletme Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    DOÇ. DR. SEMRA DURMUŞOĞLU

  4. Tez No

    767451

    Hibrit üç yönlü periyodik minimal yüzeyli üç boyutlu grafen yapıların mekaniği ve tasarımı

    The mechanics and design of hybrid triply periodic minimal surfaces of three dimensional graphene

    OSMAN FURKAN YILMAZ

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2022

    Makine Mühendisliğiİstanbul Teknik Üniversitesi

    Makine Mühendisliği Ana Bilim Dalı

    DOÇ. DR. MESUT KIRCA

  5. Tez No

    111966

    Güvenlik hizmetlerinde yerelleşme

    Localisation of security services

    SAVAŞ ÖZCAN

    Yüksek Lisans

    Türkçe

    Türkçe

    2001

    Kamu YönetimiSakarya Üniversitesi

    Kamu Yönetimi Ana Bilim Dalı

    DOÇ. DR. MUSA EKEN

Geri Dön