The relativistic Burgers equation on a Friedmann–Lemaitre-Robertson–Walker (FLRW) background and its finite volume approximation
Friedmann–Lemaitre–Robertson–Walker (FLRW) uzayzamanında rölativistik Burgers denklemi ve sonlu hacim metotları
- Tez No: 383023
- Danışmanlar: YRD. DOÇ. DR. BAVER OKUTMUŞTUR
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2015
- Dil: İngilizce
- Üniversite: Orta Doğu Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: 91
Özet
Klasik Burgers denklemi hesaplanılabilir sıvılar dinamiğinde önemli bir modeldir ve hiperbolik korunum kanunlarına en basit örneklerden biri olarak gösterilebilir. Yakın zamanda LeFloch ve meslektaşları tarafından, sıkıştırılabilir rölativistik Euler denklemleri kullanılarak hiperbolik denge kanununa uyan rölativistik ve rölativistik olmayan Burgers denklemleri olarak adlandırılan yeni modeller elde edilmiştir. Bu modellerin ve klasik Burgers denkleminin, kıvrık uzayzamanlarında basınç sıfır alınarak sıkıştırılabilir rölativistik Euler denklemlerinden elde edilebilir olduğu da gösterilmiştir. Ayrıca bu modellerin rölativistik genellemeleri, değişik kıvrık uzayzamanlarında (Minkowski ve Schwarzshild uzayzamanlarında) ele alınmıştır. Bu tezde uzayzamanı olarak Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker (FLRW) ele alındı. Schwarzshild ve FLRW metriklerinin, Einstein alan denklemlerinin çözümü olmaları, Schwarzshild uzayzamanında olduğu gibi FLRW uzayzamanında da Burgers denklemini elde etmemize ilham kaynağı oldu. Benzer tekniklerin izlenmesi sonucunda FLRW uzayzamanında Burgers denklemi, sıkıştırılabilir sıvılar için Euler sistemleri kullanılarak elde edildi. Bu sebeple ilk olarak Christoffel semboller, sıkıştırılabilir sıvılar için tensörler hesaplandı ve böylece tensörlerin ıraksaması kullanılarak Euler denklemlerine ulaşıldı. Bunu takiben, daha önceki uzayzamanlarında (Minkowski ve Schwarzshild) olduğu gibi Euler sistemi üzerinde basınç sıfır olarak kabul edildi. Son olarak, basıncın sıfır olduğu kabul edilerek elde edilen bu iki denklemin ortak çözümünden FLRW uzayzamanında rölativistik Burgers denklemi elde edildi. Bütün rölativistik denklemlerde olduğu gibi, söz konusu denklemin de özel bir durumu kullanılarak denklemin rölativistik olmayan durumuna yani klasik Burgers denklemine ulaşıldı ve daha önceki çalışmalardan farklı olarak, FLRW uzayzamanında Burgers denklemine ait, uzay koordinatına bağlı olmayan çözümler elde edildi. FLRW uzayzamanında Burgers denkleminin uzay koordinatına bağlı olmayan çözümlerinin bulunması, bu çalışmayı diğer uzayzamalarında yapılan çalışmalardan ayıran orijinal bir özelliktir. Daha sonra, FLRW uzayzamanında Burgers denkleminin ve uzay koordinatına bağlı olmayan çözümlerinin limit özellikleri değerlendirildi. Nümerik deneylerde kullanılmak üzere, her bir uzay aralığı için Riemann problemini çözen Godunov tipi bir şema oluşturuldu. Buna ek olarak, FLRW uzayzamanında Burgers denkleminin ve uzay koordinatına bağlı olmayan çözümlerinin limit özelliklerini detaylı olarak incelemek üzere 'well-balans' Godunov tipi şemalar oluşturuldu. Bu modelin nümerik şemaları için sonlu hacim metodlar kullanılarak kıvrık uzayzamanlarında [2], [37] ve [38]'de formalize edilen şemalar geliştirildi. Bu şemaların, rölativistik Burgers denkleminin şok dalgaları barındıran sürekli olmayan çözümlerini içerdiği gösterildi. Ayrıca nümerik hesaplamalar neticesinde, önerilen şemaların yakınsadığı ve uzay koordinatına bağlı olmayan çözümleri koruduğu gözlemlendi.
Özet (Çeviri)
The inviscid Burgers equation is an important model in computational fluid dynamics, and represents one of the simplest example for a nonlinear hyperbolic conservation law. Recently, several relativistic and non-relativistic generalizations of the classical Burgers equation have been introduced by LeFloch and collaborators, by identifying a hyperbolic balance law by the Euler equations of relativistic compressible fluids. Both the model and the classical Burgers equations are obtained from derivation of the Euler system of relativistic compressible fluids by considering vanishing pressure on a curved background. The relativistic generalization of the model is considered on different curved spacetimes, in particular on Minkowski (flat) and Schwarzshild spacetimes. In this thesis we consider the Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker (FLRW) background. Since both Schwarzshild and FLRW metric are the solutions of Einstein field equations, this common property inspired us to derive a relativistic version of Burgers equation on FLRW background as it is done on Schwarzshild spacetime. The relativistic Burgers equation on this spacetime is obtained from the Euler system of relativistic compressible fluids. Firstly, Christoffel symbols and tensors for perfect fluids on FLRW background are calculated. Then, by using divergence of the tensors, the Euler equations are obtained. Next, we impose the pressure to be zero on this Euler system as it is carried out in the flat and Schwarzshild spacetimes. Finally, by combining the equations derived by the Euler system, we obtain the desired relativistic Burgers equation on FLRW background. A particular case of the concerning equation gives exactly the classical Burgers equation which is a common property shared by relativistic equations. Different from the flat and Schwarzshild spacetimes cases, some special types of solutions which are spatially homogeneous are found for the concerning equation, which provides an originality to this study. Next, the limiting properties of the relativistic Burgers equation on FLRW background and spatially homogeneous solutions are examined. For the numerical experiments we construct a Godunov type of scheme which solves the Riemann problem on each grid cell. In addition, a well-balanced scheme is constructed for investigating the limiting properties of the homogeneous solutions in detail. The numerical schemes are developed by using the finite volume methodology which are formulated for curved spacetimes in [2], [37] and [38]. These numerical schemes allow to capture discontinuous solutions containing shock waves for the relativistic Burgers equation. Finally, we observe that the proposed scheme is well-balanced, in the sense that it preserves all spatially homogeneous solutions and the numerical experiments illustrate the convergence of the scheme on a FLRW background.
Benzer Tezler
- Coulomb alanı içinde spini sıfır olan negatif yüklü parçacığın göreli D-boyuttaki hareketi
Relativistic D-dimensional motion of negatively charged spin zero particle in the coulomb field
OSMAN IŞIK
Yüksek Lisans
Türkçe
2019
Fizik ve Fizik MühendisliğiTrakya ÜniversitesiFizik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. MUSTAFA ÖZCAN
- Çiftlenimli relativistik harmonik osilatör
The Coupled relativistic harmonic ossilator
FEVZİYE YAŞUK
Yüksek Lisans
Türkçe
1995
Fizik ve Fizik MühendisliğiErciyes ÜniversitesiFizik Ana Bilim Dalı
DOÇ.DR. COŞKUN ÖNEM
- Fourier analysis on the Lorentz group and relativistic quantum mechanics
Lorentz grubu üzerine fourier analizi ve rölativistik kuantum mekaniği
ZAHİDE OK
Yüksek Lisans
İngilizce
2008
Matematikİzmir Yüksek Teknoloji EnstitüsüMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. RIFAT MİRKASIM
- Kuantum tellerinde hidrojen türü yanancı atomların bağlanma enerjisinin göreli olarak incelenmesi
Relativistic consideration of the binding energy of a hydrogenic impurty in quantum well-wires
ALİ İHSAN MEŞE
Yüksek Lisans
Türkçe
2004
Fizik ve Fizik MühendisliğiTrakya ÜniversitesiFizik Ana Bilim Dalı
DOÇ.DR. EROL OKAN
- Göreli ortalama alan kuramında izovektör kanal
The isovector channel in the relativistic mean field theory
ŞÜKRÜ SAĞLAM
Yüksek Lisans
Türkçe
2006
Fizik ve Fizik MühendisliğiMersin ÜniversitesiFizik Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. SERBÜLENT YILDIRIM