γ-Butson-Hadamard matrices and their cryptographic applications

γ-Butson-Hadamard matrisleri ve onların kriptografik uygulamaları

PDF İndir

Tez No: 478463
Yazar: SİBEL KURT
Danışmanlar: YRD. DOÇ. DR. OĞUZ YAYLA
Tez Türü: Yüksek Lisans
Konular: Matematik, Mathematics
Anahtar Kelimeler: Butson-Hadamard matrisleri, cebirsel sayı cisimleri, neredeyse mü- kemmel diziler, konferans matrisleri, kriptografik fonksiyonlar, Butson-Hadamard matrices, algebraic number fields, nearly perfect sequences, conference matrices, cryptographic functions
Yıl: 2017
Dil: İngilizce
Üniversite: Hacettepe Üniversitesi
Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
Sayfa Sayısı: 54

Özet

Hadamard matrisleri uygulamalı matematikte, kuantum bilgisayar bilimlerinde, telekomünikasyon, uydu teknolojileri, akıllı telefonlar ve kablosuz iletişim gibi alanlarda kullanılır Modern KBÇE (Kod bölmeli çoklu erişim) tabanlı cep telefonları, baz istasyonlarına ulaşan sinyallerin karışması gibi durumları minimize etmede ve sinyalleri modülüze etmek için Hadamard matrisleri kullanılır Kablosuz ağlarda saklanan bilgi, optik telekomünikasyon, sinir bilimi ve örüntü tanıma, Hadamard matrislerinin kullanıldığı diğer alanlardandır Ek olarak, Hadamard matrisleri bilgisayar bilimlerinde örneğin, Hadamard kodlar (en iyi doğru- lama kodu olarak bilinir ) ve Hadamard kapıları (kuantum kapılarında kullanılır ) gibi bir çok alana doğrudan uygulanabilir (bkz [8]) Bu tezde, Butson-Hadamard matrislerinin bir sınıfı çalışılmış ve onların uygulamaları araştırılmıştır Yakın tarihte γ ∈ Z için m-li γ-Butson Hadamard matrisleri WYZ [16] makalesinde çalışılmıştır Bu tezde, m-li γ-Butson Hadamard matrisleri γ ∈ (Z[ζm] ∩ R)\Z için çalışılmış ve yeni γ-Butson Hadamard örnekleri, onların var olmasını sağlayan gereklilikler m ∈ Z+ ve ζm birimin m-inci dereceden kökü olmak üzere araştırılmıştır WYZ [16] çalışmasındaki ve cebirsel sayı teorisindeki yöntemlerden ve sonuçlardan yararlanılıp m-li γ-Butson-Hadamard matrisleri üzerinde yeni sonuçlar bulunmuştur Buna ek olarak, Hadamard matrisleri üzerindeki bu yeni sonuçlar, kodlama teorisi ve kriptografideki yeni uygulamaların araştırılmasında kullanılmıştır Bu tezde γ-Butson-Hadamard matrislerini yeni metotlarla analiz edip, onları kodlama teorisi ve kriptografiye uygulanması amaçlanmıştır γ-Butson-Hadamard matrisleri üzerindeki yakın zamanlı çalışmalarda kullanılan analizlerin daha genel hali geliştirilmiş ve yeni γ-Butson- Hadamard matrisleri keşfedilmiştir Girdileri ±1 olan ve tüm satırları birbirine dik olan karesel matrise, Hadamard matrisi denir Hadamard matrislerinin ilk genelleştirilmesi, 1962 yılında Butson tarafından yapılmıştır. Butson, Hadamard matrislerinin girdileri için birimin 2-inci dereceden kökünü almak yerine, birimin m-inci dereceden karmaşık kökünü almıştır [3] γ-Butson-Hadamard matrisleri, bir satırın diğer satırın karmaşık eşleniğiyle iç çarpımından elde edilen γ değeri dışında, Butson Hadamard matrislerine benzerdir Butson-Hadamard matrisleri için en yaygın sonuç Brock'un [2] ve Winterhof vd [16]'nin çalışmalarıdır Winterhof vd γ-Butson-Hadamard matrisinin var olabilmesi için olan koşulları siklotomik cismin sayı halkası üzerindeki bir denkleme indirgediler Yani, onlar aşada verilen denkle- min, αα ̄ = ((γ + 1)v − γ)(v − γ)v−1, (0 1) v ∈ Z+ boyutlu γ-Butson Hadamard matrisini γ ∈ Z olmak üzere α ∈ Z çözümlerini düşündüler Onlar, D = ((γ + 1)v − γ)(v − γ)v−1'nin temel ideal çarpanlarına ayrılmasını ve (1 1) denkleminin çözümünün var olmama koşullarını ele almışlardır Ayrıca, D'nin ideal çarpanlarına ayrılabilmesi için yalnızca γ tam sayısını düşünmüşlerdir Bu tezde, Bölüm 3'de γ ∈ Z[ζm] ∩ R için olan yöntem geliştirildi γ ∈ Z[ζm] ∩ R olmak üzere (1 1) denkleminin çözümü olmaması için koşulları ele alındı γ ∈ Z[ζm]∩R olduğunda (1 1)'in çözümü olamaması için ekstradan D'nin temel olmayan ideal çarpanının normu ile temel ideal çarpanının normunun aralarında asal olması koşuluna ihtiyacımız vardır (bkz Theorem 3 3) İkinci olarak, Bölüm 4'te, belirli γ ∈ Z[ζm] ∩ R için γ-Butson Hadamard matrisi var olmadığını kontrol etmek için bir yeni yöntem üretildi (1 1) denklemindeki α'yı bölen asal ideallerin normunun α ̄ 'yı da böldüğü gerçeği de kullanıldı Bu yüzden, D'yi bölen her asal ideal p için, eğer p'nin normu tarafından bölünen D'nin normu, p'nin normuyla aralarında asalsa, (1 1)'in çözümü yoktur (bkz Theorem 4 1) Ayrıca, D'nin normunun çarpanlarına ayrıldığında üsler en fazla bir ise (1 1)'nin hiç bir çözümü olmadığı açıktır (bkz Corollary 4 2) Sabit bir m ve ζm için v ∈ {2, 3, , 100} üzerinde Teoremler 3 3 ve 4 1'in gücünü görmek için (1 1) denkleminin var olmaması bilgisayar tarama programı olan MAGMA [1] ile detaylı bir araştırma yapıldı Teorem 3 3 ve Teorem 4 1 kullanılarak bazı değerler için γ-Butson-Hadamard matrislerinin var olmadığı görüldü Diğer yandan, bu iki teoremin birbirlerini kapsamadığı gözlendi (bkz Remark 4 4) Uygulamamızın MAGMA kodları tezin ek kısmında verilmiştir Bölüm 5'te Teorem 3 3 ve Teorem 4 1'den çıkan iki yeni sonucu γ-Butson-Hadamard matrislerine uyguladık Yani, γ-Butson-Hadamard matrislerinin var olmama koşulları için uygun v ∈ Z ve γ ∈ Z[ζm] ∩ R bulmaya çalıştık Bu ise α ∈ Z[ζm] için αα ̄ = ((γ + 1)v − γ)(v−γ)v−1 denkleminin çözümü için gerekli koşullar bulmaya denktir Bu yüzden, ana teoremlerimizi kullanarak, γ-Butson-Hadamard matrislerinin var olmadığı koşulları elde ettik (bkz Corollary 5 9-(i) ve Corollary 5 11-(i)) Diğer yandan, dolanır (circulant) γ-Butson- Hadamard matrisinin ilk satırı neredeyse mükemmel diziye denktir (bkz [5] ve Remark 5 8) Mükemmel diziler literatürde detaylı bir şekilde çalışılmış ve onların bir çok uygulaması üretilmiştir (bkz [7]) Bu yüzden, bizim teoremlerimizi neredeyse mükemmel dizilere uygu- layıp, onların var olmama durumlarında gerekli koşulları belirttik(bkz Corollary5 9-(ii) ve 5 11-(ii)) Buna ek olarak, γ-Butson Hadamard matrisinin köşegeninin sıfır olma durumunda bu mat- ris, γ-Konferans matrisi adını alır Benzer olarak, γ-Butson Hadamard matrisinin ve m-li neredeyse mükemmel dizilerinin birbirlerine denklikleri gibi, bir γ-Konferans matrislerinin de neredeyse mükemmel dizilere denklikleri vardır (bkz Remark 5 8) Bölüm 5'te, γ- Konferans matrisleri ve m-li neredeyse mükemmel diziler için benzer var olmama sonuçları elde ettik (bkz Corollary 5 10 ve 5 12) Dolanır γ-Butson-Hadamard matrislerinin ve küçük |γ| için γ tipinde neredeyse mükemmel dizilerinin var olan durumları da tez kapsamında düşünülebilir Çünkü, küçük |γ| değerlerine sahip mükemmel diziler bir çok uygulamada kullanılır Bu yüzden, v ∈ {1, 2, , 11} ve m ∈ {1, 2, , 11} için MAGMA'yı kullanarak detaylı bir bilgisayar taraması yaptık ve γ tipinde neredeyse mükemmel dizilerin varlığı (ya da dolanır γ-Butson Hadamard matrisi) için γ aradık γ tipinde yeni bir çok neredeyse mükemmel diziler elde ettik gerçekten de çok küçük γ'ya sahip bazı diziler bulduk (bkz Tablo 5 1) Uygulamamızın MAGMA kodları tezin ekler bölümünde verilmiştir Sonuç olarak, tezde, bir Butson-Hadamard matrisi ile kriptografik fonksiyon arasındaki ilişki araştırıldı Kriptografide, gizlilik (ya da güvenlik) doğrusal olmayan Boolean fonksiyonlar aracılığıyla şifreli metnin içindeki mesajı karıştıran blok şifreleme kullanılarak sağlanır Lineer olmama durumu maksimum olan bir Boolean fonksiyonu, Bent fonksiyon olarak adlandırılır Butson Hadamard matrisleri, kriptografik bent fonksiyonlarının bir eşiti (dengi) olarak bilinir (bkz [10] ya da Teorem 6 7) Bölüm 6'da bu denklik kullanarak, γ-Butson-Hadamard matrisini bir Boolean fonksiyonuna dönüştürüldü Bir hayli küçük bir |γ| değeri- ne sahip dolanır γ-Butson-Hadamard matrisleri kullanılarak elde edilen büyük bir lineer ol- mama ölçüsüne sahip Boolean fonsiyonları bulunabileceği gözlemlenmiştir (bkz Tablo 6 1)

Özet (Çeviri)

A Hadamard matrix is a square matrix with entries ±1 whose rows are orthogonal to each other. Hadamard matrices appear in various fields including cryptography, coding theory, combinatorics etc. This thesis takes an interest in γ-Butson-Hadamard matrix that is a gen- eralization of Hadamard matrices for γ ∈ R ∩ Z[ζm]. These matrices are examined for non-existence cases in this thesis. In particular, the unsolvability of certain equations is stud- ied in the case of cyclotomic number fields whose ring of integers is not a principal ideal domain. Winterhof et al. considered the equations for γ ∈ Z. We first extend this result to γ ∈ R ∩ Z[ζm] by using some new methods from algebraic number theory. Secondly, we obtain another method for checking the non-existence cases of these equations, which uses the tool of norm from algebraic number theory. Then, the direct applications of these results to γ-Butson-Hadamard matrices, γ-Conference matrices, nearly perfect sequences are obtained. Finally, the connection between nonlinear Boolean cryptographic functions and γ-Butson-Hadamard matrices having small |γ| is established. In addition, a computer search is done for checking the cases which are excluded by our results and for obtaining new examples of existence parameters.

Benzer Tezler

Tez No
661736
Development of novel and potent inhibitors for gaba-at enzyme via in silico screening methods
Başlık çevirisi yok
ANAS ABDULQADER ABBAS AL-OBAIDI
Yüksek Lisans
İngilizce
2020
Bilim ve Teknoloji Kadir Has Üniversitesi
Biyoinformatik ve Genetik Ana Bilim Dalı
Prof. Dr. KEMAL YELEKÇİ
Tez No
610606
γ-poliglutamik asit/kitosan kompleksi içeren antibakteriyal özellikte bakteriyel selüloz esaslı yeni bir yara örtüsü üretimi
Production of a novel antibacterial wound dressing based on bacterial cellulose containing γ-polyglutamic acid/chitosan complex
GİZEM ARGUNŞAH
Yüksek Lisans
Türkçe
2019
Biyomühendislik Ege Üniversitesi
Biyomühendislik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. ELİF ESİN HAMEŞ TUNA
Tez No
537042
γ dor yıldızlarının genel özellikleri
General characteristics of γ dor stars
MEHMET KAYA
Yüksek Lisans
Türkçe
2019
Astronomi ve Uzay Bilimleri Ege Üniversitesi
Astronomi ve Uzay Bilimleri Ana Bilim Dalı
PROF. DR. ÖMÜR ÇAKIRLI
Tez No
170624
γ-Hidroksi α,β-doymamış enonların epoksidasyonu: Stereoseçicilikte elektronik etkenler
Epoxidation of γ-hydroxy α,β-unsaturated enones: Electronic effects in stereoselectivity
ENGİN ŞAHİN
Yüksek Lisans
Türkçe
2005
Kimya Atatürk Üniversitesi
Kimya Ana Bilim Dalı
DOÇ.DR. HAMDULLAH KILIÇ
PROF.DR. YUNUS KARA
Tez No
430376
Γo(N) grubunun alt yörüngesel graflarındaki minimal uzunluklu imprimitif hareket
Imprimitive action of minimal length on the suborbital graphs of the group Γo(N)
ÜMMÜGÜLSÜN AKBABA
Yüksek Lisans
Türkçe
2016
Matematik Karadeniz Teknik Üniversitesi
Matematik Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. ALİ HİKMET DEĞER

Geri Dön