Exit probabilities of Markov modulated constrained random walks
Markov modülasyonlu kısıtlı rastgele yürüyüşlerin çıkış olasılıkları
- Tez No: 520843
- Danışmanlar: DOÇ. DR. ALİ DEVİN SEZER
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2018
- Dil: İngilizce
- Üniversite: Orta Doğu Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Uygulamalı Matematik Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Finansal Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: 95
Özet
X'in Z^2_+'de (0, 0), (1, 0), (−1, 1), (0,−1) adımlarını atan kısıtlı bir rastgele yürüyüş olduğunu ve adımların artış olasılıklarının homojen Markov zincirinin durumuyla belirlendiğini söyleyelim. X, ortalama servis oranları μ_1(M_k) ve μ_2(M_k) olan arka arkaya çalışan iki hizmet sağlayıcıdan hizmet almak için bekleyen, ortalama varış oranı λ(M_k) olan müşterilerin (paket, iş v.b.) her bir servis sağlayıcıyı beklerken oluşturdukları iki kuyruğun uzunluklarını temsil eder. M_k Markov zincirinin şu andaki durumunu gösterir. Ortalama varış oranının ortalama servis oranlarından daha küçük olduğunu varsayalım, yani X'in dengeli bir süreç olduğunu kabul edelim. X dengeli olduğunda, süreç orijine her çarptığında yeniden başlayan döngülerle hareket eder. X sürecinin kuyruk uzunluklarının toplamının n olduğu sınıra, yani ∂A_n = {x : x(1) + x(2) = n}'e ilk çarpma anını τ_n ile gösterelim. Eğer kuyruklar ortak kapasite kullanıyorsa, p_n = P_(x,m)(τ_n < τ_0) sistemin herhangi bir döngüde kapasite aşımı, bir başka deyişle, sistemin başarısız olma olasılığıdır. Y, X ile aynı rastgele yürüyüş olmakla birlikte, sadece ∂_2 = {y ∈ Z×Z_+ : y(2) = 0} üzerinde kısıtlıdır ve birinci bileşeninin artış olasılıkları yer değiştirmiştir. Y 'nin bileşenlerinin birbirine eşit olduğu sınırı B = {y ∈ Z^2 : y(1) = y(2)}, B sınırına ilk çarpma anını τ olarak gösterelim. x ∈ R^2_+ ve x(1) + x(2) < 1 için x_n = ⌊nx⌋ şeklinde tanımlayalım ve Markov zinciri M'in ilk noktasını m ∈ M ile gösterelim. Bu tezde, x(1) > 0 için, P_((x_n(1),x_n(2)),m)(τ_n < τ_0) olasılığının P_((n−x_n(1),x_n(2)),m)(τ < ∞) olasılığı ile, üstel olarak 0'a yakınsayan göreli hatayla, yaklaşık olarak hesaplanabileceği gösterilmiştir. (Y,M)-harmonik fonksiyonları oluşturulmuş ve bunların doğrusal kombinasyonlarıyla P_(y,m)(τ < ∞) için yaklaşık formüller geliştirilmiştir. Harmonik fonksiyonlar, bileşenleri modülasyon zincirinin geçiş olasılıklarına ve Y sürecinin artış olasılıklarına bağlı olan bir matrisin özdeğerleri ile tanımlanan ve Y sürecine ait karakteristik yüzey üzerinde bulunan noktalar ile oluşturulmuştur. Çalışmamızın bulguları ve yaklaşımının finans ve sigortacılık alanlarındaki olası uygulamaları gösterilmiştir.
Özet (Çeviri)
Let X be the constrained random walk on Z^{2}_+ with increments (0, 0), (1, 0), (−1, 1), (0, −1) whose jump probabilities are determined by the state of a finite state Markov chain M. X represents the lengths of two queues of customers (or packets, tasks, etc.) waiting for service from two servers working in tandem; the arrival of customers occur with rate λ(M_k), service takes place at rates μ_1(M_k), and μ_2(M_k) where M_k denotes the current state of the Markov chain M. We assume that the average arrival rate is less than the average service rates, i.e., X is assumed stable. Stability implies that X moves in cycles that restart each time it hits the origin. Let τ_n be the first time X hits the line ∂A_n ={x:x(1)+x(2)=n}, i.e., when the sum of the queue lengths equals n for the first time; if the queues share a common buffer, τ_n represents the time of a buffer overflow and p_n = P_(x,m)}(τ_n < τ_0) is the probability that a given cycle ends with a buffer overflow, i.e., system failure. Let Y be the same random walk as X but only constrained on ∂_2 = {y ∈ Z×Z+ : y(2) = 0} and its jump probabilities for the first component reversed. Let B = {y∈Z^2: y(1) = y (2)} and let τ be the first time Y hits B. For x∈R^2_+, with x(1) + x(2)< 1 define x_n = ⌊nx⌋ and let m ∈ M denote the initial point of the Markov chain M. We show that P_(n−x_n(1),x_n(2)),m)(τ < ∞) approximates P_(x_n(1),x_n(2)),m)(τ_n < τ_0) with exponentially vanishing relative error when x(1) > 0. We then construct a class of harmonic functions for (Y, M) and use their linear combinations to develop approximate formulas for P_(y,m)(τ < ∞). The construction is based on points on a characteristic surface associated with Y defined through the eigenvalues of a matrix whose components depend on the transition matrix of the modulating chain and the jump probabilities of Y. We indicate possible applications of our results and approach in finance and insurance.
Benzer Tezler
- Predicting financial stress in emerging countries
Gelişmekte olan ülkelerde finansal stresin öngörülmesi
ERAY SÖNMEZ
- Exit probabilities of constrained simple random walks
Kısıtlı basit rastgele yürüyüşlerin çıkış olasılıkları
KAMİL DEMİRBERK ÜNLÜ
Doktora
İngilizce
2018
MatematikOrta Doğu Teknik ÜniversitesiFinansal Matematik Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. ALİ DEVİN SEZER
- Robotik radikal prostatektomili hastalarda perinöral invazyonun prognoz üzerine etkisi
The effect of perineural invasion on prognosis in patients undergoing robotic radical prostatectomy
VUSAL RZAYEV
Tıpta Uzmanlık
Türkçe
2024
ÜrolojiSağlık Bilimleri ÜniversitesiÜroloji Ana Bilim Dalı
PROF. DR. SELAHATTİN BEDİR
- Üç boyutta atom-iki atom reaktif saçılma probleminin kuantum dalga paketi metodu ile incelenmesi
A Study of the atom diatom reactive scattering problems by a quantum wave packet method in three dimensions
NİYAZİ BULUT
Doktora
Türkçe
2002
Fizik ve Fizik MühendisliğiFırat ÜniversitesiFizik Ana Bilim Dalı
DOÇ.DR. FAHRETTİN GÖĞTAŞ
- Exit from the crisis mode: The case of Kuwaiti firms
Kriz halinden çıkış: Kuveyt şirketleri örneği
FARAH AL SURAİHİ
Yüksek Lisans
İngilizce
2022
EkonomiMarmara Üniversitesiİşletme (İngilizce) Ana Bilim Dalı
DR. ÖĞR. ÜYESİ ALPEREN MANİSALIGİL