Wn-cebirlerinin WAn-1-casimir cebirleri
Başlık çevirisi mevcut değil.
- Tez No: 55894
- Danışmanlar: PROF.DR. HASAN RIFAT KARADAYI
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Fizik ve Fizik Mühendisliği, Physics and Physics Engineering
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 1996
- Dil: Türkçe
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: 42
Özet
ÖZET Koııfbrm değişmezlik iki boyutlu alan teorilerinde temel bir öneme sahiptir. Bu nedenle sicim teorisinin yanında istatistik fizikte kritik olayların incelenmesinde de dikkate değer ölçüde uygulama alanları bul muştur. Konform değişmezliğin altında yatan simetri Virasoro cebiri olup doğal olarak iki boyutlu alan teorilerinde ortaya çıkmaktadır. Virasoro cebirini yüksek spinli doğuraylarla genişletme düşüncesi de bu teoriler için uygun görülmektedir. Bu genişletmeler WN- cebirleri olarak ad landırılmakta ve bu kapsamda Virasoro cebiri bir W2- cebiri olmaktadır. W3- cebiri süperkonformal cebirlerin dışında W2- cebirinin triviyal ol mayan ilk genişletmelerinden biri olup ilk defa Zamolodchikov tarafından ortaya konulmuştur. Bu tür teorilerin kurulması ve sınıflandırılmasıyla ilişkili olarak bir çok çalışmalar mevcuttur. Bunlarla ilgili olarak çıkan zorluklardan biri W2- cebiri dışında tüm genişletilmiş cebirlerin doğrusal olmayan cebirler olarak karşımıza çıkmasıdır. Bu durum WN- cebir lerinin açık kuruluşlarında büyük karışıklıkları da beraberinde getirmek tedir. Bu cebirler hakkında W3- ötesindeki cebirler için bilinen çok az şey vardır. Diğer yandan WN -cebirleri ile Casimir cebirleri arasındaki ilişkiyi ortaya çıkaran bazı yeni çalışmalar da vardır. Çalışmamızda da anlatılacağı üzere esas olarak temel düşüncemiz W2- cebirinin Sug- awara kuruluşuna dayanmaktadır. Çalışmamızın amacı da bu yönde bir yöntem ortaya koymaktır. Bunun için Feigin-Fuchs tipinde serbest skalar alanlar vasıtasıyla Miura dönüşümü olarak bilinen bir kuruluşu kul lanıyoruz. Bunun da bize WN- cebirleri ile AN t- Lie cebirleri arasında bir ilişki kurma imkanı verdiği görülmektedir. " Bizim yöntemimizin en genel olarak uygulanabilmesine rağmen bilgisayar kapasitemizle orantılı olarak bu genel yöntemimizi sadece W4- cebiri örneğinde gerçekleştire bilmekteyiz. Tüm bu çalışmalar Mathematica paket programının çok yoğun bir uygulamasıyla mümkün olmaktadır. Bu çalışmada yukarıda sözünü ettiğimiz Feigin - Fuchs tipi serbest skalar alanlar kullanarak W4- cebirinin açık bir kuruluşunu bir Casimir cebiri şeklinde yani bir WAA- cebiri olarak tanımlanması yapılmıştır. Bu nedenle cebire girmesi düşünülen birincil konform alanlar bahsedilen skalar alanlar aracılığıyla kurularak neticede WA±- cebirini oluşturan triviyal ve triviyal olmayan operator çarpım atılımları gerçeklenmiştir. Son kısımda ise W4- cebirine giren birincil alanların özdeğerlerini, sözünü ettiğimiz serbest alanların Ajv-i grubunun Fock uzaymdaki özdeğerleri cinsinden hesaplanması ve son olarak da bu sonuçların AN_1 Lie cebirine ait daha önceden bilinen Casimir özdeğerlerinin mevcut mertebelerdeki ilişkisi ortaya çıkarılmıştır. iv
Özet (Çeviri)
ON THE CONSTRUCTION OF W“- ALGEBRAS IN THE N FORM OF AN_r CASIMIR ALGEBRAS SUMMARY Conformed invariance is of fundamental importance in two-dimensio nal field theories and hence it founds remarkable applications in string theory as well as in the study of critical phenomena in statistical physics. Its underlying symmetry algebra is Virasoro algebra which appears natu rally in two-dimensional field theories. The idea to extend Virasoro alge bra with the introduction of higher conformal spin generators is also seem to be relevant in these theories. A seminal type of these extensions is the so-called WN -algebras and Virasoro algebra is a W2 -algebra within this framework. W”is, except superconformal algebras, one of the first non- trivial extensions of W2 and it was constructed first by Zamolodchikov. There are several works which deal with the classification and also the construction of these type of algebras. To this end, a difficulty is the fact that, except W2, all the extended ones are non-linear algebras. This poses great complications in explicit constructions of WN - algebras. One must emphasize that very little is known beyond W3. There are, on the other hand, some recent efforts to bring out a relation between these algebras and Casimir algebras. As will be explained in our work, the idea is prin cipally based on the Sugawara construction of W2 -algebra. The purpose of our work is to establish a method in this direction. For this, we made use of construction known as Miura transformation with Feigin-Fuchs type of free massless scalar fields. It is seen that this gives us the possibility to exploit a relation between WN- algebras and AJV_1-Lie algebras. Although our method can be applied generally, we are able to realize it on the ex ample of W4 as being in accordance with our computational capabilities. All these have been possible with a dense application of Mathematica Package program. It will be convenient to begin with a brief discussion of conformal group in D-dimensions. This also gives the possibility to understand why it is infinite dimensional in 2-dimensions. Let us take a D-dimensional manifold having the metric gap(x) where a, b = 1, 2,... D. If the geom etry of this manifold is governed by a.D-dimensional version of general relativity, the metric will change in the form ofunder infinitesimal general coordinate transformations 8xa = £°(x). In order to discuss possible symmetries of a D-dimensional manifold, we must introduce the notation of a Killing vector R(Q = £ da which is a linear differantial operator, so that: 6gap(x) = 0. We know that the conformal transformations do not leave the metric invariant, so we introduce a conformal Killing vector C(£) - £ da and conformal Killing vectors generate transformations which leave the metric invariant up to a scale change 8gap = X(x)gap, A(x) = - |jLV£ and the conformal Killing equations becomes when using a D-dimensional manifold of Minkowski signuture and the solution in two-dimensions so it is convenient to introduce light-cone co ordinates: z = -TjfOc1 +ix2) and z = -^(x1 -ix2). In these coordinates the conformal Killing equation reduces to a set of two independent equa tions dzÇ,z = 0, &z£t = 0 ? Therefore the solutions is given by £2 = f(z), £x = f(z) with f(z) and f(z) arbitrary analytic functions of z and z. We find the conformal Killing vectors as: l n=- oo where en - a-x-n, en = öı_n, then the generators of this transforma tion can be written as: Ln = z1~ndz, Ln = ~zl~ndz which obey the algebraic relations [Ln, Lm] = (n - m)Ln+m, [Ln, Lm] = (n - m)Ln+m This is called Loop algebra. When the central terms is added, it becomes the Virasoro algebra [Ln, Lm] = (n - m)Ln+m + -(n3 - n)6(n + m; 0) In two dimensions, the number of generators become infinite, so this symmetry algebra is infinite dimensional. We now introduce two dimensional conformal transformations. An arbitrary holomorpbic conformal field ^ of conformal spin J transforms under z - > z' as vior, for an infinitesimal reparametrization z' = z + e{z) This infinitesimal transformations can be written using Cauchy's theorem 8eVl(z) = I e{z)T{w)^(z)dw Jcz where T{z) is stress-energy tensor which implements the conformal trans formation and T(z)ty(w) is operator product expansion(OPE) T(z)*(w) = t *-4 + - - +... {z - W)2 z - w The OPE of any two fields A(z) and B(w) can be written as oo A(z)B{w) = B(z)A{w) = Y^ {ab}t{T){z ~ u>Y r=ro where r runs integer values. In general, r0 is negative so that the OPE contains a finite number of singuler OPE or contractions is given by A{z)B{w) = ^2{AB}r{w)(z - w)r 1 i r. Explicitly a0|A>=A|A> where A is eigenvalue of ao mode over |A > state of SU(N). Let m, (i = 1,..., JV) be the set of weight of the vector representation of SU(N), satisfying the conditions X)i_i ^» = 0 > Pi-W = KhJ) ~ Tf- The simple roots of SU(N) are given by on = m - pi+ı, and the fundamental weights Xi = £}=1 m, which are satisfy the orthonormality condition Xi.aj = 6{i, j) and the Weyl vector of SU(N) p = X)a>0 a+ which is a summation of all positive roots of SU(N). We consider a set of fields {Uk(z)}, of conformal dimension k, denned a formal differantial operator Rn(z) of degree N, given by *»« = -x>*(*)(«o0)n-* = n v, fc=o i=i where V;. = a0dz - hj(z), h.{z) = i jjl. d(p this is called Miura transfor mation which determines completely the fields Uk{z). One can see that #2(2) = T(z) has spin-2, which is stress-energy tensor, Uz{z) has spin-3, and so on, the standard OPE of T{z) with itself by using dtp(z)dip(w) single contraction T(rYT(L\ - C/2 ? 2T(W) ? OT(U;) ? 1 (Z)l [W) = 7 77 + 7 rr i 1 v ' v ' (z - wp (z - w)2 z - w viiiwhere the central charge, for SU(N) is given by c = (JV - 1) (1 - N(N + l)a02) The fields {Uk(z)} are not primary fields since IW(«) = lT,iJ^f --T(z)T(w) so we used Wick theorem T(z)(TT)(w) = ±-l J±-{T{z)T(x)T{w) + T{x)T(z)T(w)} ' I I.*“ * J Z - W, i,, substituting the (TT)(z) OPE but in the first integral we must expand (z - w)~2 and (z - to)-1 in x about w since any positive powers of (x - w) can be overcome by the singularities in the OPE of T(x)T(w), one obtains m, wmmw ^ 3c (8 + c)T(w) ZdT(w) (z - u>)6 (z - tw)4 (z - to)3 4(TT)(tp) (TdT + dTT)(w) (z - to)2 (z - w) Therefore all coefficients of primary spin-4 field L(z) for SU(N) depend ing on y _ (*-3) 2 -y. y2 = s - «0y IXthen the normalised forms of the Wi-algebra generators are given by the folowing expressions for SU(4) W(z) = y/6ZW(z), !(*) = y/ÖZL(z) where the normaHzation factors 6w and 9l are given by respectively for a _£±I a _(H4 + 7c)(c + 7)(c + 2) »wr- 1Q, »L- 300(22 + 5c) and the stress-energy tensor T(;z) is not in the normalized form, Therefore W4-algebra realized as follows m/ ^”» x 3W(u;) dW(iu),mTTrw N (z - t/>) (* - w) 1 and m/ % w % 4If(tü) dL(w),m,w s T(*) ü(w) =, V ;2 + 7-Mr + (TL)(w) +... (z - lü) (.* _ w) At the end of a straightforward calculation, the first non-trivial OPE of W{z) with itself for SU(4) takes the form (z - w) (z - tü) (z - io) ^-j[2 £A A (to) + ^ öT(to) + & JD(to)] (z-tx;)'1“A v ' 10 -[/?AdA(ti>) + - Ö3 T(w) + ^ ÖL(w)] + (WW)(u;) + (z-w)^A v ' 15 v ' 2 where a 16 a =±&i- /l6(U4 + 7c)(c + 2) Pa 22 + 5c ' Pl 0w Y 3 (c + 7)(22 + 5c) In addition the normaüsation factor 6w is also given by the general form for SU(N) _ (N - 2)(-2 + 2c - N + cN + 3İV2) w ~.. 2(JV - l)iV(JV + 1)The second non-trivial OPE of W(z) with L(w) takes the form W(w) 1 dW(w) W{z)L{w) = n (z - w) 3 (z-w) 7T2 [w ({TW)(»)~# W(wj) + 2=. d2W(w) (z-w) ?^[^(T,,ö(TO(t«)-^2%)) -W ((TdW)(w)-^-d3W(w))] +(WL)(w)+ where 2 3 ”39 lw ^r-i, -,tW 114 + 7C Vw - A Pl î 'Ztw - 1 1,(, 7“ (”i 15 (22 + 5c) _ 3 *7.*t- 70(c+2)(114+7c) ' P8TflT~28(7c+114)(c+2) 96(9c-2) 45(22+5c) ^TT>T~(7c+114)(5c+22)(c+2) ' Pww ~2(7c+114)(c+2) 48(114+7c) _ -(23016+12948c-3190c2+25c3) Plt ~ (5c+22)(c+7)(c+2) ' Pfl2A~ 28(7c+114)(5c+22)(c+2) 2424+70c-c2 P**L = v/48(7c+114)(5c+22)(c+7)(c+2) 3(-1444-1592c+5c2) 3(526 -345c+c2) P°(T62T)- 280(7c+114)(c+2) ' /VTn~ 56(7c+114)(c+2) _ -3(28568+15676c-1934c2+5c3) P*s*~ U2(7c+114)(5c+22)(c+2) We denote the Fock space of a free massless scalar field i dıp(z) by F\, where A is the dominant weight of the Lie algebra An-i, which can be expressed as A = Şj,-_7 n A* where Aj 's are fundamental dominant weights which are defined by Aj. ai - Sij as dual vectors to simple roots a. (i = 1, 2,..., N - 1). Cartan matrice Cij = a.. c^. being in accordange with the Dynkin diagram o o o o ? ?. o o o 1 2 3... N-l N of An-i chain where N = 1, 2, 3,.... The parameters r,- are taken to be positive integers including zero, and also A labels the eigenvalue of the scalar zero modes a3Q = p3 on the Fock space vacuum A >. Explicitly aj|A>= A|A> We shall now compute the eigenvalues {î7fc(A)} of the zero mode of {Uk{z)} on the highest weight state Fock space Fa, we find k Uk(A) = (-l)“”1 £ II [ = e { n «? } «l2 [Rep[A]]) and Ct[Rep[A]\ = dimBcp[A]09xP.[Bep[A]] + P2Pa
Benzer Tezler
- WN Cebirlerinin kuruluşunda genel bir yöntem
A New method in the construction of WN algebras
CENGER HANSOY
Yüksek Lisans
Türkçe
1993
Fizik ve Fizik Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiPROF.DR. HASAN RIFAT KARADAYI
- Woo cebrinin genel bir kuruluşu
A General constructıon of Woo algebra
MELTEM GÜNGÖRMEZ
Yüksek Lisans
Türkçe
1994
Fizik ve Fizik Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiPROF.DR. HASAN R. KARADAYI
- $B_{n}$-tipi coxeter gruplarının indirgenmiş cebirleri
Descent algebras of B n-type coxeter group
HASAN ARSLAN
- Asetil salisilik asit (ASA) uygulamalarının, ekmeklik buğday (Triticum aestivum L.) çeşitlerinde verim ve verim öğelerine etkisi
The effect of acetyl salicylic acid (asa) treatments on yield and yield components of bread wheat (Triticum aestivum L.) cultivars
BARIŞ ÇAĞRI KARACAÖREN
Yüksek Lisans
Türkçe
2014
ZiraatAnkara ÜniversitesiTarla Bitkileri Ana Bilim Dalı
PROF. DR. HASAN YAVUZ EMEKLİER
- Assesment of the educational structure in the department of statistics at METU
ODTÜ İstatistik Bölümündeki eğitim yapısının değerlendirilmesi
HAKAN SAVAŞ SAZAK
Yüksek Lisans
İngilizce
1999
İstatistikOrta Doğu Teknik Üniversitesiİstatistik Ana Bilim Dalı
ÖMER GÜCELİOĞLU