The initial-boundary value problem for some nonlocal nonlinear wave type problems
Yerel ve dogrusal olmayan dalga tipi bazı problemler içinbaşlangıç-değer problemi
- Tez No: 563512
- Danışmanlar: PROF. DR. ALBERT KOHEN ERKİP
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2019
- Dil: İngilizce
- Üniversite: Sabancı Üniversitesi
- Enstitü: Mühendislik ve Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: 102
Özet
Bu doktora tezinde bazı yerel ve doğrusal olmayan dalga tipi denklemleri çalışıldı. Bu kapsamda, elastisite kuramının bazı fiziksel modelleriye bağıntılı üç problem ele alındı. Yerel olmayan terim, α çekirdeği ile belirlenen ve bir Ω ⊂ R n bölgesinde Lαv(x) = Z Ω α(x − y)v(y)dy. konvolüsyon tipi Lα operatörü vasıtasıyla tanımlanmıştır. Birinci problem utt(x, t) = Lαg(u)(x, t) x ∈ Ω, t > 0 yerel olmayan integro-diferansiyel denklemine ait bir başlangıç değer problemidir. Bu problemde ilk olarak yerel iyi konulmuşluk çalışılmıştır. Çözümün global varlık ve sonlu zamanda patlama gibi özellikleri değişik yaklaşımlarla ve doğrusal olmayan terimin düzgünlüğü ve büyüme koşulları gibi varsayımlarla araştırılmıştır. Bu tezde yer alan ikinci problem utt(x, t) = Lαg(u)(x, t) x ∈ Ω, t > 0, yerel olmayan integro-diferansiyel denklemine ait bir başlangıç değer problemidir. Bu problemde ilk olarak yerel iyi konulmuşluk çalışılmıştır. Çözümün global varlık ve sonlu zamanda patlama gibi özellikleri değişik yaklaşımlarla ve doğrusal olmayan terimin düzgünlüğü ve büyüme koşulları gibi varsayımlarla araştırılmıştır. Bu tezde yer alan ikinci problem utt − ∆u = Lαg(u) x ∈ Ω, t > 0, (0.0.3 u = 0 x ∈ ∂Ω, t > 0. denklemiyle tanımlanmıştır. Önceki problemden farklı olarak yerel olmama ¨ ve doğrusal olmama iki ayrı terimle temsil edilmektedir. İlk problemde doğrusal olmayan g(u) terimi için yeterince düzgün olma ve g(0) = 0 gibi genel koşullar varsaymamıza karşın, son iki problemde daha özel olarak g(u) = |u| p−1u, p > 1, koşulu kullanıldı. Son problemdeki integral operatörünün simetrik olması korunan bir büyüklük olan enerjiyi tanımlaya olanak sağlamaktadır. Üçüncü problemin çözümlerinin incelenmesinde Nehari Manifold yöntemini kulandık. Denklemin belirlediği toplam enerji, potansiyel enerji ve Nehari fonksiyoneli tanımlandı ve bu fonksiyoneller cinsinden potansiyel kuyusunun derinliği belirlendi. Başlangıç değerleri kümesinde, denklemin belirlediği akış altında invaryant olan, kararlı ve karasız kümeler elde edildi. Çözümlerin, başlangıç enerjisi ve başlangıç değerlerinin yer aldığı kümelere bağlı olarak patlama ya da global varlık koşulları incelendi.
Özet (Çeviri)
In this doctoral thesis we study some nonlinear nonlocal wave type equations. We consider three related problems which have connections with the study of some physical models in the theory of nonlocal elasticity. The nonlocality term is introduced via a convolution type integral operator Lα with kernel α, defined on a bounded domain Ω ⊂ R n as Lαv(x) = Z Ω α(x − y)v(y)dy. The first problem is an initial value problem for the nonlocal nonlinear integro-partial differential equation given by, utt = Lαg(u) x ∈ Ω, t > 0. For this problem firstly local well-posedness is studied. Further analysis of the solution, like global existence and finite time blow-up, are investigated by various approaches such as assumptions of various smoothness and growth conditions on the nonlinearity. The second problem included in the thesis is the initial boundary value problem for some nonlocal nonlinear wave type equation given by the equation, utt − ∆u = Lαg(u) x ∈ Ω, t > 0. (0.0.1) u = 0 x ∈ ∂Ω, t > 0. Local well-posedness of this problem is studied in proper Banach space settings. The third problem is variant form of the second problem and is given by the equation, utt − ∆u = Lαu + g(u) x ∈ Ω, t > 0. (0.0.2) u = 0 x ∈ ∂Ω, t > 0. Unlike the previous problem, here the nonlocality and nonlinearity are expressed with separate terms. While we have imposed general assumptions on g(u) such as that it should be sufficiently smooth and g(0) = 0, in the last two problems we have used power type nonlinear function of the form g(u) = |u| p−1u, p > 1. The symmetry of the integral operator involved in the last problem enables us to define an explicit energy, which is a conserved quantity. For further analysis of solutions of the third problem, we have used the method of Nehari Manifold. Functionals like the total energy, the potential energy and the Nehari functional associated to the equation are defined and the potential well depth is obtained in terms these functionals. The two subsets of the initial value space, namely the stable set and the unstable set that are invariant under the flow of the solution are obtained accordingly. Based on the initial energy and the sets where the initial data are located in, the blow-up or the global existence conditions for solutions is analysed.
Benzer Tezler
- Bazı doğrusal olmayan parabolik problemlerin çözümünün patlaması üzerine bir çalışma
A study on blow up of solutions of some non-linear parabolic problems
NEDİM UÇAR
Yüksek Lisans
Türkçe
2010
MatematikHacettepe ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. EMİL NOVRUZOV
- Yerel olmayan bazı sınır değer problemleri için green veya genelleştirilmiş green fonksiyonelinin inşası
Construction of green or generalized green's functional for some nonlocal boundary value problems
KEMAL ÖZEN
Doktora
Türkçe
2013
Matematikİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. KAMİL ORUÇOĞLU
- Nanoteknolojide eğri eksenli çubukların düzlem içi davranışları için bir sonlu eleman formülasyonu
A finite element formulation for in-plane behaviours of curved beams in nanotechnology
ÖMER EKİM GENEL
Yüksek Lisans
Türkçe
2018
Makine Mühendisliğiİstanbul Teknik ÜniversitesiMakine Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. EKREM TÜFEKCİ
- Lineer olmayan bazı q-denklem sistemlerinin çözümleri
The solutions of some nonlinear q-difference equations systems
NİHAN TURAN
- Difference schemes for fractional Schrödinger differential equations
Kesirli Schrödinger diferansiyel denklemleri için fark şemaları
BETÜL TOPCU
Yüksek Lisans
İngilizce
2010
MatematikFatih ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. ALLABEREN ASHYRALYEV