Asymptotically i̇sometric c0-summing basic sequences and fixed point theory
Asimtotik izometrik c0 toplam baz dizileri ve sabit nokta teorisi
- Tez No: 687186
- Danışmanlar: DOÇ. DR. VEYSEL NEZİR
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: genişlemeyen fonksiyon, sabit nokta özelliği, kapalı sınırlı konveks küme, yansımalı Banach uzay, 𝑐0 Banach uzayı, asimtotik izometrik 𝑐0-toplam baz dizisi 2021, 28 Sayfa, nonexpansive mapping, fixed point property, closed bounded convex subset, reflexive Banach space, 𝑐0 Banach space, asimtotically isometric 𝑐0 -suming basic sequence 2021, 28 pages
- Yıl: 2021
- Dil: Türkçe
- Üniversite: Kafkas Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: 39
Özet
1981'de Maurey tarafından 𝑐0'ın her zayıf kompakt konveks alt kümesi 𝐶 üzerinde tanımlı her 𝑇: 𝐶 → 𝐶 genişlemeyen fonksiyonunun en az bir sabit noktası vardır; yani, her zayıf kompakt konveks 𝐶 alt kümesi sabit nokta özelliğine sahiptir sonucu verilmiştir. 1998 yılında ise Llorens-Fuster ve Sims tarafından 𝑐⃗ = (𝑐𝑛)𝑛∈ℕ dizisi (0, ∞) aralığında keyfi artmayan ve azalarak pozitif bir sayıya yakınsayan dizi ise 𝑐0'da (𝑔𝑛)𝑛∈ℕ dizisi her 𝑛 ∈ ℕ için 𝑔𝑛: = 𝑐𝑛 𝑒𝑛 şeklinde tanımlandığında 𝑐0'da kapalı, sınırlı ve konveks aşağıdaki şekilde tanımlı bir 𝐷 = 𝐷𝑐⃗ kümesi bulunabilir 𝐷: = {∑ ∞ 𝑛=1 𝑠𝑛 𝑔𝑛: 1 = 𝑠1 ≥ 𝑠2 ≥ ⋯ ≥ 𝑠𝑛 ↓𝑛 0} öyle ki bu durumda en az bir sabit noktasız ∥⋅∥∞-genişlemeyen 𝑉:𝐷 → 𝐷 fonksiyonu mevcuttur sonucu elde edilmiştir. Ayrıca, eğer 𝑐⃗ = (𝑐𝑛)𝑛∈ℕ azalan ise bu durumda sabit noktasız, daralan bir 𝑉 fonksiyonu bulunabilir sonucunu vermişlerdir. Ayrıca, LlorensFuster ve Sims çalışmalarında 𝑐0'da sabit nokta özelliğine sahip kümelerin sadece zayıf kompakt olanlar olduğu kestirimini yapmıştır. 2004'de Dowling, Lennard ve Turett çalışmaları ile bu kestirimi doğrulamıştır. Gerçekten de, (𝑐0, ∥⋅∥∞)'da her zayıf kompakt olmayan, kapalı, sınırlı ve konveks alt kümesi 𝐾 üzerinde tanımlanabilen en az bir sabit V noktasız ∥⋅∥∞-genişlemeyen 𝑇 fonksiyonunun varlığı ilk defa kendileri tarafından gösterilmiştir. Dowling, Lennard ve Turett'in çalışmasında elde edilen 𝑇 fonksiyonu genelde afin değildir. Hatta (𝑐0, ∥⋅∥∞)'da her zayıf kompakt olmayan, kapalı, sınırlı ve konveks alt kümesi 𝐾 üzerinde tanımlanabilen en az bir sabit noktasız afin ∥⋅∥∞- genişlemeyen 𝑆 fonksiyonunun var olup olmadığı halen açık olan çözülememiş sorudur. Tez danışmanı Nezir ve Chris Lennard'ın 2011'de ortak çalışmasında ve Nezir'in Doktora tezinde bu soru incelenmeye başlanmıştır. Göstermişlerdir ki eğer bir Banach uzayı bir asimtotik izometrik (ai) 𝑐0-toplam baz dizisi (𝑥𝑛)𝑛∈ℕ 'i içerirse (𝑥𝑛)𝑛∈ℕ dizisinin kapalı konveks kabuğu olan 𝐷: = co({𝑥𝑛: 𝑛 ∈ ℕ}) kümesi afin genişlemeyen fonksiyonlar için sabit nokta özelliğine sahip olamaz. Ayrıca, sabit noktasız afin daralan bir 𝑈:𝐷 → 𝐷 fonksiyonunun varlığı gösterilmiştir. Daha da özele inilerek Llorens-Fuster ve Sims'in çalışmasının bir analoğunu (0, ∞) aralığında en az bir 𝜅 > 0 sayısına yakınsayan keyfi ⃗𝑐⃗ = (𝑐𝑛)𝑛∈ℕ dizisi için ispatlamışlardır. Tez çalışması bu sonuçları ayrıntıları ile sunmaktadır. Ayrıca en son bölümde tez danışmanı Nezir'in ve Lennard'ın çalışmasının en genel sonuçlardan birisi olan şu takip eden sonuç sunulmuştur: Reel sayılar kümesi ℝ'den alınan 0 < 𝑚: = inf𝑛∈ℕ 𝑐𝑛 ve 𝑀: = sup𝑛∈ℕ 𝑐𝑛 < ∞ olacak şekildeki keyfi bir sınırlı ⃗𝑐⃗ = (𝑐𝑛)𝑛∈ℕ dizisi yardımıyla 𝑔𝑛: = 𝑐𝑛 𝑒𝑛 alınarak elde edilen 𝑐0'ın aşağıdaki kapalı sınırlı ve konveks 𝐷 = 𝐷𝑐⃗ kümesi 𝐷 ≔ {∑ ∞ 𝑛=1 𝑠𝑛 𝑔𝑛: 1 = 𝑠1 ≥ 𝑠2 ≥ ⋯ ≥ 𝑠𝑛 ↓𝑛 0} üzerinde tanımlanabilen sabit noktasız afin daralan bir 𝑈:𝐷 → 𝐷 fonksiyonu vardır. Yani özetle danışman hocamızın Chris Lennard ile olan çalışmasında ve tezinde 𝑐0 Banach uzayında çok geniş bir sınıf üzerinde tanımlı sabit noktasız en az bir genişlemeyen fonksiyonun var olduğunu ve hatta herhangi Banach uzayın çok büyük bir sınıfında da bu durumun izlendiğini göstermiştir. Tez çalışmasında bu konular tanımlar, teoremler ve ispatlar ile Materyal ve Yöntemler ile Araştırma Bulguları bölümlerinde sunulmuştur.
Özet (Çeviri)
Graduate School of Applied and Natural Sciences Department of Mathematics Supervisor: Assoc. Prof Dr. Veysel NEZİR In 1981, it has been shown by Maurey that every nonexpansive function defined on every weakly compact convex subset of 𝑐0 has at least a fixed point; that is, every weakly compact convex subset has the fixed point property. In 1998, it was shown by LlorensFuster and Sims that if 𝑐⃗ = (𝑐𝑛)𝑛∈ℕ ⊂ (0, ∞) is any decreasing sequence converging to a positive scalar then by defining another sequence (𝑔𝑛)𝑛∈ℕ in 𝑐0 with the rule 𝑔𝑛: = 𝑐𝑛 𝑒𝑛 for each 𝑛 ∈ ℕ, a closed bounded and convex subset 𝐷 = 𝐷𝑐⃗ of 𝑐0 as 𝐷: = {∑ ∞ 𝑛=1 𝑠𝑛 𝑔𝑛: 1 = 𝑠1 ≥ 𝑠2 ≥ ⋯ ≥ 𝑠𝑛 ↓𝑛 0} there exists a fixed-point free ∥⋅∥∞-nonexpansive mapping 𝑉:𝐷 → 𝐷. In addition, they concluded that if 𝑐⃗ = (𝑐𝑛)𝑛∈ℕ is decreasing, then a fixed point free contraction function 𝑉:𝐷 → 𝐷 can be found. Moreover, Llorens-Fuster and Sims made the estimation in their study that only subsets with fixed point properties in 𝑐0 are those the weakly compact convex ones. In 2004, Dowling, Lennard and Turett confirmed this prediction with their work. Indeed, they have shown for the first time that at least one fixed point-free nonexpansive function can be defined on every non-weakly compact, closed, bounded, VII and convex subset in 𝑐0. The function obtained in the study of Dowling, Lennard, and Turett is generally non-affine. Whether there is at least one fixed point-free affinenonexpansive function that can be defined on every non-weakly compact, closed, bounded, and convex subset in 𝑐0 is still an open question. This question was started to be examined in the joint work of the thesis advisor Nezir and Chris Lennard in 2011 and in Nezir's PhD thesis. They showed that if a Banach space contains an asymptotically isometric (ai) 𝑐0-summing basic sequence (𝑥𝑛)𝑛∈ℕ, then the set 𝐷: = co({𝑥𝑛: 𝑛 ∈ ℕ}), which is the closed convex hull of the sequence (𝑥𝑛)𝑛∈ℕ, cannot have the fixed point property for affine nonexpansive functions. Also, the existence of a fixed point-free affine contractive function has been demonstrated. More specifically, they proved an analog of the work of Llorens-Fuster and Sims for an arbitrary sequence that converges to at least one number in its range. The thesis study presents these results in detail. In addition, in the last section, the following conclusion, one of the most general results of the thesis advisor Nezir's and Lennard's work, is presented: In ℝ, if ⃗𝑐⃗ = (𝑐𝑛)𝑛∈ℕ is a bounded sequence with the conditions 0 < 𝑚: = inf 𝑛∈ℕ 𝑏𝑛 𝑎𝑛𝑑 𝑀: = sup 𝑛∈ℕ 𝑏𝑛 < ∞ , defining a sequence (𝑔𝑛)𝑛∈ℕ in 𝑐0 by setting 𝑓𝑛: = 𝑐𝑛 𝑒𝑛, for all 𝑛 ∈ ℕ a closed, bounded, convex subset 𝐷 = 𝐷𝑐⃗ of 𝑐0 is obtained as follows 𝐷 ≔ {∑ ∞ 𝑛=1 𝑠𝑛 𝑔𝑛: 1 = 𝑠1 ≥ 𝑠2 ≥ ⋯ ≥ 𝑠𝑛 ↓𝑛 0} such that there exists an an affine contractive mapping 𝑈:𝐷 → 𝐷. In summary, our advisor's work with Chris Lennard and in his thesis, it was shown that there is at least one nonexpansive function defined on a very large class in Banach space 𝑐0, and it was also shown that even in a very large class of any Banach space, this situation is observed. In the thesis, definitions, theorems and proofs for these topics are presented in the sections Materials and Methods and Research Findings.
Benzer Tezler
- c0 üzerinde eşdeğer norm aileleri ve sabit nokta teorisi
Family of equivalent norms on c0 and fixed point property
TAHSİN ATEŞ
Yüksek Lisans
Türkçe
2019
MatematikKafkas ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DR. ÖĞR. ÜYESİ VEYSEL NEZİR
- Sıfıra yakınsak dizilerin Banach uzayında eşdeğer normlar vasıtasıyla sabit nokta teorisini sağlayan geniş sınıflar
Large classes with fixed point property in Banach space of sequences converging to zero by renorming equivalently
SIDDIK SADE
Yüksek Lisans
Türkçe
2019
MatematikKafkas ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DR. ÖĞR. ÜYESİ VEYSEL NEZİR
- Fixed point property for affine nonexpansive mappings on a very large class of nonweakly compact subsets in c0 respect to an equivalent norm
c0'da zayıf-kompakt olmayan kümelerin çok geniş bir sınıfında bir eş değer norma göre afin genişlemeyen fonksiyonlar için sabit nokta teorisi
SERAP ORAN
Yüksek Lisans
İngilizce
2017
MatematikKafkas ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. VEYSEL NEZİR
- Banach uzaylarında asimtotik izometrik kopyalar ile sabit nokta teorisi tespiti
Detecting the fixed point property for Banach spaces using asymptotically isometric copies
MEHMET KILIÇ
Yüksek Lisans
Türkçe
2020
MatematikKafkas ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DR. ÖĞR. ÜYESİ VEYSEL NEZİR