On geodesic mappings of Riemannian manifolds
Riemann manifoldlarında jeodezik dönüşümler
- Tez No: 708799
- Danışmanlar: PROF. DR. ELİF CANFES
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2022
- Dil: İngilizce
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 76
Özet
Riemann geometrisi, diferansiyel geometrinin en önemli alanlarından birisidir. Bernhard Riemann tarafından 1850'li yıllarda üç boyutlu yüzeylerin genelleştirilmesi ile keşfedilmiştir. Bu geometride kullanılan metriğe Riemann metriği, bu geometride incelenen uzaylara ise Riemann uzayları (Riemann manifoldları) adı verilir. Sadece diferansiyel geometri alanında değil, aynı zamanda mekanik ve genel görelilik kuramında da önemli bir yere sahip olan jeodezik dönüşümler, jeodeziklerin, bir manifold üzerindeki iki nokta arasındaki en kısa yolun, korunmasıyla elde edilir. Tezin amacı, jeodezik dönüşümleri Riemann manifoldları üzerinde ayrıntılı olarak incelemek ve bu dönüşümlerin ele alınmadığı özel Riemann manifoldları ile ilgili gerek ve yeter koşullar elde etmektir. Beş bölümden oluşan tezin giriş bölümünde jeodezik dönüşümlerin tanımı yapılmış ve bu dönüşümler altında geçerli olan temel formüller verilmiştir. Jeodezik dönüşümlerin literatür taraması yapılarak giriş bölümü tamamlanmıştır. Sonraki bölümde; düzgün manifoldlar, tensörler, afin koneksiyonlar ve Riemann manifoldlar ile ilgili tanımlar ve formüller verilmiştir. Üçüncü bölümde, tezin ana konusuna geçilmiştir. Jeodezik tanımı yapılmış ve jeodeziklerin diferansiyel denklemleri elde edilmiştir. Riemann manifoldları üzerinde jeodezik dönüşüm tanımı yapıımış ve bu dönüşümlerin genel kuralları açıklanmıştır. Dördüncü bölümde, özel Riemann manifoldları üzerindeki jeodezik dönüşümler incelenmiş ve bu manifoldlar arasında jeodezik dönüşümlerin var olabilmesi için gerek ve yeter koşullar elde edilmiştir. Öneriler ve sonuçlar bölümü ile tez tamamlanmıştır. Tezin birinci bölümü olan giriş bölümünde jeodezik dönüşümlerin tanımı ve bu alandaki çalışmalara yer verildi. Çalışmalarının çoğunluğunu jeodezik dönüşümlere adayan Josef Mikes bu alandaki en önemli isimlerden biridir. Jeodezik dönüşümlerin incelendiği manifoldlara; sabit eğriliğe sahip manifoldlar, simetrik manifoldlar, Ricci $m$-simetrik manifoldar, Einstein manifoldlar, afin koneksiyona sahip manifoldlar, konformal düz manifoldlar, Ricci rekürent manifoldlar, Einstein olmayan Ricci 2-simetrik manifoldlar, 4 boyutlu ve sabit eğriliğe sahip olmayan Einstein manifoldlar, 3-simetrik Riemann manifoldlar örnek verilebilir. Ayrıca, Riemann manifoldlarındaki jeodezik dönüşümler altında geçerli olan temel formüllere de bu bölümde yer verildi. Sonraki bölüm ise tezin ön hazırlığını oluşturan bölümdür. İlk olarak bir Hausdorff uzayının lokal olarak bir Öklid uzayına benzemesi tanımlanmıştır. Bu tanım kullanılarak topolojik manifold tanımı yapılmıştır. Daha sonrasında iki kartın $C^{\infty}$ uyumlu olması için gereken koşullar belirtilmiştir. Atlas ve maksimal atlas tanımı yapıldıktan sonra düzgün manifoldlar tanımlanmıştır. Düzgün manifoldlara örnekler verilmiş ve bu manifoldlar üzerinde geometrik yapılar incelenmiştir. Bu yapılara diferansiyellenebilir fonksiyonlar, difeomorfizmalar, teğet vektörler, teğet uzaylar, vektör alanlar ve Lie işlemcileri örnek verilebilir. Daha sonra ise, tezde kullanılan notasyonlar ve konvansiyonlar açıklanmıştır. Dual uzay tanımı verildikten sonra kotanjant uzayı ve $1$-form tanımlanmıştır. $\mathbb{R}^{n}$ ve düzgün manifoldlar üzerinde tensör tanımı yapıldıktan sonra, diferansiyel geometri ve fizik için önemli bir kavram olan tensör alan tanımı verilmiştir. Simetrik ve asimetrik tensör tanımları da bu kısımda yapılmış olup, lokal koordinatlarda $(0,2)$ tensörlerin simetrik ve asimetrik olma durumları incelenmiştir. Afin koneksiyonun tanımı ve özellikleri açıklandıktan sonra Christoffel sembolleri (koneksiyon katsayıları) tanımlanmıştır. Bu bölümün sonunda Riemann geometrisinin temel tanımları ve formülleri verilmiştir. İlk önce, Riemann manifoldları ve Riemann metriği tanımlanmıştır. Ardından, Riemann koneksiyon tanımı verilip Riemann geometrisinin temel teoremi kanıtlanmıştır. Riemann eğrilik tensörü, Ricci tensörü, kesit eğriliği ve skaler eğrilik tanımları da bu bölümde verilmiştir. Schur teoremi ispatlandıktan sonra sabit eğrilik tanımı yapılmıştır. Jeodezik dönüşümlerin inceleneceği özel Riemann manifoldlarının tanımı verilerek bu bölüm tamamlanmıştır. Üçüncü bölümde tezin ana konusuna giriş yapılmıştır. Riemann manifoldları üzerinde bir vektör alanın bir eğri boyunca paralel olmasının tanımı verilmiş ve bu tanım kullanılarak jeodezikler tanımlanmıştır. Jeodeziklere ait eşdeğer bir tanım verildikten sonra, jeodeziklerin diferansiyel denklemleri elde edilmiştir. İki Riemann manifoldu arasında tanımlanan bir difeomorfizma bütün jeodezikleri koruyorsa, bu difeomorfizmaya jeodezik dönüşüm denir. Jeodeziklerin diferansiyel denklemleri dikkate alınarak jeodezik dönüşümlerin gerek ve yeter koşulları elde edilmiştir. Bu koşullar sonucunda elde edilen denklem Levi-Civita denklemi olarak adlandırılır. Sonra, iki önemli sanı kanıtlanıp, iki manifold arasındaki Riemann eğrilik tensörü ve Ricci tensörü arasındaki ilişki bulunmuştur. Ayrıca, Riemann manifoldları üzerinde Weyl tensörü tanımlanmış ve jeodezik dönüşüm altında bu tensörün korunduğu kanıtlanmıştır. Daha sonra ise Beltrami'nin Teoremi ispatlanmıştır. Bu teoreme göre iki Riemann manifoldu arasında bir jeodezik dönüşüm var ise ve bir manifold sabit eğriliğe sahip ise, diğer manifold da sabit eğriliğe sahiptir. Jeodezik dönüşümlerin eşdeğer gerek ve yeter koşulu olan Sinyukov denklemleri elde edilerek bu bölüm tamamlanmıştır. Sinyukov denklemleri, özel Riemann manifoldları üzerinde jeodezik dönüşümleri araştırmak için çok önemli bir yere sahiptir. Dördüncü bölümde jeodezik dönüşümler özel Riemann manifoldları üzerinde incelendi. Bu bölümdeki hesaplar lokal koordinatlar kullanarak yapıldı. İlk olarak daha önce yapılmış çalışmalara yer verildi. Mikes'in Einstein manifoldları üzerine olan teoreminin ispatı verildi. Bu teoreme göre iki Riemann manifoldu arasında bir jeodezik dönüşüm var ise ve bir manifold Einstein manifoldu ise diğer manifold da Einstein manifoldudur. Ayrıca, Einstein tensörünü koruyan jeodezik dönüşümleri ele alan Chepurna'nın doktora tezindeki önemli sonuçlar belirtildi. Chepurna'nın tezindeki sonuçlar kullanılarak bir yarı Einstein manifold üzerinden tanımlanan ve Einstein tensörünü koruyan jeodezik dönüşümler için özel bir şart bulundu. Daha sonra ise genelleştirilmiş Ricci rekürent manifodlar için yeni sonuçlar elde edildi. Sözde Ricci simetrik ve hemen hemen sözde Ricci simetrik manifoldların jeodezik dönüşümleri de incelendi. Beşinci bölümde elde ettiğimiz yeni sonuçlara yer verilmiştir. Bu sonuçlar aşağıdaki gibidir: $(i)$ Bir $V_{n}= \left(M,g\right)$ yarı Einstein manifoldu üzerinden herhangi bir $\bar{V}_{n} = \left(\bar{M},\bar{g} \right)$ Riemann manifoldu üzerine tanımlı Einstein tensörünü koruyan jeodezik dönüşüm var ise $\bar{V}_{n}$ neredeyse yarı Einstein'dır. $(ii)$ Genelleştirilmiş Ricci rekürent manifoldu üzerinden herhangi bir Riemann manifolduna tanımlı jeodezik dönüşüm mevcut ise aşağıdaki koşul sağlanmaktadır: \begin{equation*} \lambda_{h}\left(nR^{h}_{k} - \delta^{h}_{k}R\right) = 0, \end{equation*} bu denklemde $\nabla$ kovaryant türev operatörü, $R_{ij}$ Ricci tensörü ve $\psi_{ij}$ ise bir $(0,2)$ simetrik tensördür. $(iii)$ $V_{n} = (M,g,\nabla)$ ve $\bar{V}_{n} = (\bar{M}, \bar{g},\bar{\nabla})$ iki Riemann manifoldu olsun. ${V_n}$'den $\bar{V}_{n}$'e tanımlı bir jeodezik dönüşüm olduğunu ve $V_{n}$'in sözde Ricci simetrik olduğunu varsayalım. $\displaystyle{\nabla_{k}\psi_{ij} = 2A_{k}\psi_{ij}+A_{i}\psi_{kj}+A_{j}\psi_{ik}}$ koşulu sağlanıyorsa, $\bar{V}_{n}$ manifoldu da sözde Ricci simetriktir. $(iv)$ $V_{n} = (M,g,\nabla)$ ve $\bar{V}_{n} = (\bar{M}, \bar{g},\bar{\nabla})$ iki Riemann manifoldu olsun. ${V_n}$'den $\bar{V}_{n}$'e tanımlı bir jeodezik dönüşüm olduğunu ve $V_{n}$'in hemen hemen sözde Ricci simetrik olduğunu varsayalım. $\displaystyle{\nabla_{k}\psi_{ij} = \left(A_{k}+B_{k}\right)\psi_{ij} +A_{i}\psi_{kj}+A_{j}\psi_{ik}}$ koşulu sağlanıyorsa, $\bar{V}_{n}$ manifoldu da hemen hemen sözde Ricci simetriktir. Ayrıca, bu bölümde jeodezik dönüşümler üzerine yapılabilecek çalışmalara yer verildi. Ricci solitonları üzerine yeni bir çalışma yapılabilir veya tezimizde quasi Einstein manifoldlar için kabul ettiğimiz için koşul değiştirilerek daha genel bir sonuç elde edilebilir.
Özet (Çeviri)
Riemannian geometry is a branch of differential geometry that studies smooth manifolds with Riemannian metric, which is a non-degenerate and a positive definite tensor field. It was found by Bernhard Riemann in 1850's by the generalization of three dimensional surfaces. In this thesis, we will investigate geodesic mappings of Riemannian manifolds. These maps play a key role in mechanics and general theory of relativity. First, the literature on geodesic mappings is reviewed. Then, the definitions and formulas of smooth manifolds and Riemannian manifolds are given. Next, the general rules and the basic formulas of geodesic mappings are considered. Furthermore, geodesic mappings on some special Riemannian manifolds are investigated. The thesis ends with our conclusions and recommendations. The thesis consists of five chapters. In the introduction chapter, a brief description of geodesic mappings on Riemannian manifolds is given. This chapter also includes the literature review of geodesic mappings. We should remark that Josef Mikes, a mathematician from Palacky University Olomouc, Czech Republic, has important contributions to the investigation of geodesic mappings. Some of the manifolds that he has studied so far involve 2 Ricci symmetric manifolds, Einstein manifolds, 3 symmetric manifolds, manifolds with affine connection, generalized Ricci symmetric manifolds and Ricci flat manifolds. The second chapter is the preliminaries part of the thesis. This chapter begins with the definition of a topological manifold. Extra structures that are needed to define smooth manifolds are given, namely $C^{\infty}$-compatible charts and maximal atlases. Next, the vital concepts of differential geometry are explained. These involve differentiable maps, tangent vectors, tangent spaces, vector fields and Lie brackets. Furthermore, the conventions and the notations that will be used throughout the thesis are stated. Then, tensors on smooth manifolds are defined and their properties are given. Next, an affine connection (covariant derivative) and the connection coefficients (Christoffel symbols) are defined. In the last part, a Riemannian manifold and a Riemannian connection are defined. Moreover, the fundamental theorem of Riemannian geometry is proven. Important geometrical objects such as Riemannian curvature tensor, Ricci tensor, scalar curvature are defined. In addition, the definitions of the special Riemannian manifolds on which geodesic mappings will be investigated are given. In the next chapter, the main subject of the thesis is explained in detail. This chapter begins with the definition of vector fields parallel along a curve. Next, geodesics are defined by using this concept. After giving these definitions, the differential equations of geodesics are derived. Next, geodesic mappings are defined and the necessary and sufficient conditions for the existence of such mappings are stated. Moreover, the important formulas under arbitrary geodesic mappings are given. This chapter ends with the derivation of Sinyukov equations, which are the equivalent necessary and sufficient conditions for the existence of geodesic mappings. Sinyukov equations are very crucial for the investigation of special geodesic mappings of Riemannian manifolds. In the fourth chapter, geodesic mappings of some special Riemannian manifolds are considered. First, the proof of Mikes' Theorem on geodesic mappings of Einstein manifolds is given. Then, the important results of Chepurna's PhD thesis (Einstein Tensor Preserving Geodesic Mappings) are stated. Using the results of Chepurna's thesis, a new result on quasi Einstein manifolds is obtained. In addition, we consider geodesic mappings of generalized Ricci recurrent manifolds. Next, we examine geodesic mappings of pseudo Ricci symmetric and almost pseudo Ricci symmetric manifolds. In the last chapter, the results of the thesis are stated, which are the following: $(i)$ If there exists an Einstein tensor preserving geodesic mapping from a quasi Einstein manifold $V_{n}$ onto a Riemannian manifold $\bar{V}_{n}$, then $\bar{V}_{n}$ is nearly quasi Einstein. $(ii)$ Let $V_{n} = (M,g,\nabla)$ and $\bar{V}_{n} = (\bar{M}, \bar{g},\bar{\nabla})$ be two Riemannian manifolds. If ${V_n}$ and $\bar{V}_{n}$ are in geodesic correspondence and $V_{n}$ is generalized Ricci recurrent, then the following identity holds \begin{align*} \lambda_{h}\left(nR^{h}_{k} - \delta^{h}_{k}R\right) = 0, \end{align*} where $R^{h}_{k} = g^{jh}R_{jk}$, $\lambda_{h}$ is a gradient vector and $\delta^{h}_{k}$ is the Kronecker delta. $(iii)$ If $\displaystyle{V_{n} = \left(M,g\right)}$ is a pseudo Ricci symmetric manifold admitting geodesic mapping onto $\displaystyle{\bar{V}_{n} = \left(\bar{M},\bar{g}\right)}$ and $\displaystyle{\nabla_{k}\psi_{ij} = 2A_{k}\psi_{ij}+A_{i}\psi_{kj}+A_{j}\psi_{ik}}$, then $\displaystyle{\bar{V}_{n}}$ is pseudo Ricci symmetric. $(iv)$ If $\displaystyle{V_{n} = \left(M,g\right)}$ is an almost pseudo Ricci symmetric manifold admitting geodesic mapping onto $\displaystyle{\bar{V}_{n} = \left(\bar{M},\bar{g}\right)}$ and $\displaystyle{\nabla_{k}\psi_{ij} = \left(A_{k}+B_{k}\right)\psi_{ij} +A_{i}\psi_{kj}+A_{j}\psi_{ik}}$, then $\displaystyle{\bar{V}_{n}}$ is almost pseudo Ricci symmetric. Moreover, in the same chapter, we discuss the special Riemannian manifolds for which further studies of geodesic mappings can be done. These manifolds involve Ricci solitons and quasi Einstein manifolds. For quasi Einstein manifolds, an investigation can be made by either discarding our assumption that the mapping is Einstein tensor preserving or having a new separate assumption.
Benzer Tezler
- Yarı-Riemann altmanifoldlarının bazı eğrileri üzerine bir çalışma
A Study on some curves of semi-Riemannian submanifolds
HAKAN METE TAŞTAN
Yüksek Lisans
Türkçe
2000
Matematikİstanbul ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF.DR. MEHMET ERDOĞAN
- Jeodezik uzaylar üzerinde küme değerli dönüşümler için sabit nokta sonuçları
Fixed point results for multivalued mappings on geodesic spaces
EMİRHAN HACIOĞLU
Doktora
Türkçe
2018
MatematikYıldız Teknik ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. VATAN KARAKAYA
- Yüzey üzerinde geodezik eğriler ve geodezik tasvir
Başlık çevirisi yok
PINAR TOKAL
Yüksek Lisans
Türkçe
1991
MatematikYıldız Teknik ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. MUZEFFER ABACI
- Düzgün konveks metrik uzaylarda bazı sabit nokta iterasyon yaklaşımları ve optimizasyon
Some iterative approximation of fixed points and optimization in uniformly convex metric spaces
MUHAMMET KNEFATI
Doktora
Türkçe
2023
MatematikYıldız Teknik ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. VATAN KARAKAYA
- Afin konneksiyonlu manifoldlarda jeodezik dönüşüm
Geodesic mapping on manifold with affine connection
ADEM KAPLAN
Yüksek Lisans
Türkçe
2021
MatematikIğdır ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DR. ÖĞR. ÜYESİ LOKMAN BİLEN