On the hypersurfaces with non-diagonalizable shape operator in Minkowski spaces
Minkowski uzaylarında köşegenleştirilemeyen şekil operatörüne sahip hiperyüzeyler üzerine
- Tez No: 736965
- Danışmanlar: DOÇ. DR. NURETTİN CENK TURGAY
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2022
- Dil: İngilizce
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 73
Özet
Metrik tensörü $$\tilde g = d x_1^2 + d x_2^2 + \cdots + d x_n^2 - d x_{n+1}^2$$ ile verilen $(n+1)$ boyutlu $\mathbb E^{n+1}_1$ Minkowski uzayının bir $M$ hiperyüzeyi göz önüne alınsın ve $N$ ile $M$ hiperyüzeyinin birim normal vektörü gösterilsin. $M$ alt manifoldu üzerinde tanımlı en önemli dışsal nesnelerden biri, $$SX=-\tilde \nabla_X N$$ Wiengarten formülü ile tanımlanan $S$ şekil operatörüdür. Burada, $\tilde \nabla$ ile Minkowski uzayının Levi-Civita konneksiyonu gösterilmiştir. Şekil operatörü, teğet düzlemin ve normalinin her yöne nasıl hareket ettiğini belirlemek için kullanılır. $S$ şekil operatörünün $TM$'de kendine eş bir endomorfizmdir. Bu nedenle, $M$ hiperyüzeyi Riemannian olduğunda köşegenleştirilebilir. Ancak, $M$ Lorentzian ise, şekil operatörü her zaman köşegenleştirilemez. Bu durumda, $S$ şekil operatörünün dört kanonik formu vardır. Bu kanonik formlar, ortonormal veya sözde-ortonormal baza göre yazılabilir. $M$ hiperyüzeyinin teğet uzayının bir $\{ E_1, \hdots, E_n \}$ baz alanına $2 \leq i, \ j \leq n$ olmak üzere $$(E_1,E_1)=-1, \quad (E_1,E_i)=0, \quad (E_i,E_j)=\delta_{ij}$$ şeklinde ise ortonormaldir denir. Diğer taraftan, $M$ hiperyüzeyinin teğet uzayının bir $\{ X, Y, E_1, \hdots, E_{n-2} \}$ çatı alanına $1 \leq i, \ j \leq n-2$ olmak üzere $$(X,X)= (Y,Y)=0, \quad (X,E_i)=(Y,E_i)=0, \quad (X,Y)=-1$$ ve $$(E_i, E_j)=\delta_{ij}$$ denklemlerinin sağlanması durumunda ise sözde ortonormaldir denir. $S$ şekil operatörünün özdeğerleri ve özvektörleri, sırasıyla asal eğrilikler ve asal doğrultular olarak adlandırılır. $S$ şekil operatörü köşegenleştirilebilirse ve $M$ hiperyüzeyi sabit asal eğriliklere sahipse, o zaman $M$ hiperyüzeyinin izoparametrik olduğu söylenir. Ayrıca, $S$ şekil operatörü köşegenleştirilemezse ve minimal polinomu sabitse, o zaman $M$ hiperyüzeyine izoparametriktir denir. Eğer $S$ şekil operatörü köşegenleştirilemez ise üç kanonik durumdan birine indirgenebilir. Eğer $S$ şekil operatörünün geometrik katlılığı 1, cebirsel katlılığı ise 2 veya 3 olan bir özdeğeri varsa, matris temsili, sırasıyla, \begin{equation*} S=\left(\begin{array}{cccccc} \lambda&1\\ 0&\lambda\\ &&D_{n-2}\\ \end{array} \right) \end{equation*} veya \begin{equation*} S=\left(\begin{array}{ccccccc} \lambda&0&1\\ 0&\lambda&0\\ 0&-1&\lambda\\ &&&D_{n-3}\\ \end{array} \right). \end{equation*} olacak şekilde sözde ortonormal bir baz alanı mevcuttur ki burada $D_k$ ile $k$-boyutlu diagonal bir matris gösterilmiştir. Diğer taraftan, eğer $S$ şekil operatörünün kompleks eşlenik bir özdeğer çifti varsa, matris temsili \begin{equation*} S=\left(\begin{array}{cccccc} \lambda&-\nu&\\ \nu&\lambda&\\ &&D_{n-2}\\ \end{array} \right). \end{equation*} olacak şekilde ortonormal bir baz alanı mevcuttur. Minkowski uzaylarındaki izoparametrik hiperyüzeyler, şekil operatörü köşegenleştirilebilir olduğu durumda 1981 yılında Nomizu; köşegenleştirilemez olduğu durumda ise 1985 yılında Magid tarafından incelenmiştir. Magid'in elde ettiği sonuçlar özel olarak $n=3$ durumu göz önüne alındığında $\mathbb E^{4}_1$ Minkowski uzayındaki bir $M$ izoparametrik hiperyüzeyinin dört hiperyüzey ailesinden birinden olduğu görülür. Eğer $M$ hiperyüzeyinin şekil operatörünün minimal polinomu $P(\lambda)=\lambda^2$ veya $P(\lambda)=(\lambda - a)^2 \lambda$ ise yerel parametrizasyonu uygun seçilmiş bir $x(s)$ ışıksal eğrisi için \begin{equation*} f(s,u,w)=x(s)+uY(s)+wW(s) \end{equation*} şeklindedir. Diğer taraftan, $P(\lambda)=\lambda^2 (\lambda - a)$ veya $P(\lambda)=(\lambda - a)^2$ olması durumunda ise $M$ hiperyüzeyinin yerel parametrizasyonu \begin{equation*} f(s,u,z)=x(s)+uY(s)+zZ(s)+\left(\frac{1}{a}-\sqrt{\frac{1}{a^2}-z^2}\right)C(s) \end{equation*} olur. Yarı-Riemann uzay formlarındaki başka bir önemli hiperyüzey ailesi de rotasyonel hiperyüzeylerdir. Her rotasyonel hiperyüzeyin $\lambda$ ve $\nu$ şeklinde sadece iki tane ayrık asal eğriliği vardır ve bu asal eğrilikler arasında $$\lambda=f(\nu)$$ şeklinde fonksiyonel bir ilişki vardır. Bu tez çalışmasında, $\mathbb E^{4}_1$ Minkowski uzayında köşegenleştirilemeyen şekil operatörüne sahip izoparametrik hiperyüzeyleri incelenmiştir. Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. Tezin ilk bölümünde, konunun tarihsel gelişimi anlatılmıştır. Tezin ikinci bölümünde, diğer bölümlerde kullanılacak olan notasyon ve Minkowski uzaylarının hiperyüzeyleri hakkında temel bilgiler verilmiştir. Tezin üçüncü bölümünde, 1985 yılında Magid tarafından elde edilmiş izoparametrik hiperyüzeylere ait bazı teoremler farklı bir yöntem kullanılarak yeniden ispat edilmiştir. Bu teoremlerden ilkinde minimal polinomu $$P(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^2 (\lambda - \lambda_2)$$ olan bir izoparametrik hiperyüzey için $$\lambda_1 \lambda_2 = 0$$ olduğu, Codazzi ve Gauss denklemleri kullanılarak gösterilmiştir. Diğer teoremde ise $\mathbb E^{4}_1$ Minkowski uzayında $$\lambda \pm i r$$ kompleks özdeğerlere sahip izoparametrik bir hiperyüzeyin olmadığı gösterilmiştir. Tezin dördüncü bölümünde, $\mathbb E^{5}_1$ Minkowski uzayında köşegenleştirilemeyen şekil operatörüne sahip bir hiperyüzey ailesi oluşturulmuştur. Bu hiperyüzeyin asal eğrilikleri arasında aynı rotasyonel hiperyüzeylerde olduğu gibi $\lambda=f(\nu)$ şeklinde fonksiyonel bir ilişki bulunmaktadır. Bu hiperyüzeyin şekil operatörü, ortalama eğriliği, Gauss-Kronecker eğriliği ve Levi-Civita konneksiyonu elde edilmiştir. Daha sonra bu hiperyüzeyin minimal olması için gerek ve yeter koşul bir teorem ile verilmiştir.
Özet (Çeviri)
Let $M$ be an oriented hypersurface of the Minkowski space $\mathbb E^{n+1}_1$. One of the most important extrinsic object of $M$ is its shape operator $S$ defined by the Wiengarten formula $$SX=-\tilde \nabla_X N,$$ where $N$ is the unit normal vector field to $M$ whenever $X \in TM$. The shape operator can be used to determine how the tangent plane and its normal move in all directions. Note that $S$ is a self adjoint endomorphism in $TM$. Therefore, it is diagonalizable when $M$ is Riemannian. However, if $M$ is Lorentzian, then its shape operator can be non-diagonalizable. In this case, the shape operator $S$ has four canonical forms. These canonical forms are written with respect to either an orthonormal basis or a pseudo-orthonormal basis. If the basis is orthonormal, then it is called a orthonormal frame field. An orthonormal frame of vector fields in a neighborhood of any point in $M$ is a basis $\{ E_1, \hdots, E_n \}$ such that $$(E_1,E_1)=-1, \quad (E_1,E_i)=0, \quad (E_i,E_j)=\delta_{ij}$$ for $2 \leq i, \ j \leq n$. On the other hand if the basis is pseudo-orthonormal, then it is called a pseudo-orthonormal frame field. A pseudo-orthonormal frame of vector fields in a neighborhood of any point in $M$ is a basis { X, Y, E_1, \hdots, E_{n-2} } such that $$(X,X)= (Y,Y)=0, \quad (X,E_i)=(Y,E_i)=0, \quad (X,Y)=-1$$ and $$(E_i, E_j)=\delta_{ij}$$ for $1 \leq i, \ j \leq n-2$. The eigenvalues and eigenvectors of $S$ are called the principal curvatures and principal directions of $M$, respectively. If the shape operator $S$ is diagonalizable and $M$ has constant principal curvatures, then the hypersurface $M$ is said to be isoparametric. If $S$ is non-diagonalizable and its minimal polynomial is constant, then $M$ is said to be isoparametric. In this thesis, we study isoparametric hypersurfaces with non-diagonalizable shape operator in Minkowski space $\mathbb E^{4}_1$. This thesis consists of five sections. First section is introduction. In the second section, we give some basic concepts on Lorentzian inner product and also some basic facts on hypersurfaces of $\mathbb E^{n+1}_1$. In the third section, a theorem about isoparametric hypersurfaces is given. We note that these theorems are proved by Magid in 1985. We prove these theorems by using another method. In fact, this theorem implies that there is only four classes of isoparametric hypersurface using the Codazzi and Gauss equations in $\mathbb E^{4}_1$. Then, we give another theorem which proves that there is no isoparametric hypersurface in $\mathbb E^{4}_1$ with complex principal curvatures. In the fourth section, we construct a family of hypersurfaces with non-diagonalizable shape operator in $\mathbb E^{5}_1$. We obtain the shape operator, the mean curvature, Gauss-Kronecker curvature and Levi-Civita connection of this hypersurface. Then, we give the necessary and sufficient condition for this hypersurface to be minimal with a theorem.
Benzer Tezler
- Biharmonic and biconservative submanifolds of lorentizan space forms
Lorentz uzay formlarının biharmonik ve bikonservatif altmanifoldları
AYKUT KAYHAN
Doktora
İngilizce
2022
Matematikİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. NURETTİN CENK TURGAY
- Sonlu tipten alt manifoldlar ve Gauss tasvirleri
Finite type submanifolds and Gauss maps
BURCU BEKTAŞ
Doktora
Türkçe
2017
Matematikİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. ELİF CANFES
PROF. DR. UĞUR DURSUN
- Hiperbolik ve yarı-hiperbolik uzaylarda sonlu tipten genelleştirilmiş Gauss tasvirine sahip alt manifoldlar
Submanifolds of hyperbolic and pseudo-hyperbolic spaces with finite type generalized Gauss map
RÜYA ŞEN
Doktora
Türkçe
2016
Matematikİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
PROF. DR. UĞUR DURSUN
- Sonlu boyutlu minkowski uzaylarında fokal eğriler ve fokal yüzeyler
Focal curves and focal surfaces in finite dimensional minkowski space
HAKAN ŞİMŞEK
- Complete intersection monomial curves and non-decreasing hilbert functions
Tek terimli tam kesişim eğrileri ve azalmayan hilbert fonksiyonları
MESUT ŞAHİN
Doktora
İngilizce
2008
Matematikİhsan Doğramacı Bilkent ÜniversitesiMatematik Bölümü
DOÇ. DR. ALİ SİNAN SERTÖZ