Biharmonic and biconservative submanifolds of lorentizan space forms
Lorentz uzay formlarının biharmonik ve bikonservatif altmanifoldları
- Tez No: 903738
- Danışmanlar: DOÇ. DR. NURETTİN CENK TURGAY
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2022
- Dil: İngilizce
- Üniversite: İstanbul Teknik Üniversitesi
- Enstitü: Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Matematik Mühendisliği Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 108
Özet
1964'te Eels ve Sampson enerji fonksiyonelinin geometrik ve fiziksel özellikleri üzerine çalı¸sırken harmonik tasvirlerin bir genelle¸stirilmesi olarak k-harmonik tasvir tanımını literatüre sundular. Sonrasında bir çok geometrici biharmonik tasvirler üzerine çalı¸smalara ba¸sladı. ˙Iki yarı-Riemann manifold arasındaki bir φ : M → N tasvirine, τ(φ) = trace∇dφ ile φ tasvirinin gerilme alanı gösterilmek üzere, eger ˘ E2 = 1 2 Z M ∥τ(φ)∥ 2 vg ¸seklinde tanımlanan bienerji fonksiyonelinin kritik noktası ise biharmoniktir denir. Özel olarak φ bir izometrik daldırma ise τ(φ) = mH denklemi saglanır ki burada ˘ m ve H, M manifoldunun, sırasıyla, boyutunu ve ortalama egrilik vektörünü göstermektedir. ˘ 1980'li yılların ortalarında, Chen, Öklid uzayların sonlu tipten altmanifoldlarının yapısının anla¸sılması üzerine çalı¸sırken bu çalı¸smanın bir parçası olarak biharmonik altmalifoldları çalı¸smı¸stır. Öklid uzayların biharmonik altmanifoldlarının alternatif tanımını vermi¸stir. Bu tanımın, sonradan yarı-Öklid uzaylar için de dogru oldu ˘ gu˘ anla¸sılmı¸stır. Bir E n s yarı-Öklid uzayının bir M altmanifolduna, eger ˘ x yer vektörü, ∆ 2 x = 0 denklemini saglıyorsa biharmoniktir denir ki burada ˘ ∆ ile Laplace operatörü gösterilmi¸stir. Laplace-Beltrami formülünden dolayı bu ko¸sul, M altmanifoldunun H ortalama egrilik vektörünün ˘ ∆H = 0 denklemini saglamasıdır. ˘ Hemen hemen aynı zamanlarda Jiang bienerji fonksiyonelinin Euler-Lagrange fonksiyonu üzerine çalı¸sırken bu fonksiyonun φ tasvirine kar¸sılık gelen bigerilim alanı oldugunu göstermi¸s ve bunu ˘ τ2(φ) ile ifade etmi¸stir. Bu kavram a¸sagıdaki ¸sekilde ifade ˘ edilir: τ2(φ) = −∆τ(φ)−traceR N (dφ, τ(φ))dφ. Burada R N izometrik olarak daldırılan uzayın Riemann egrilik tensörüdür. Ayrıca bir ˘ φ tasvirinin biharmonik olabilmesi için gerek ve yeter ko¸sulun τ2(φ) = 0 e¸sitliginin ˘ saglanması oldu ˘ gunu göstermi¸stir. Bundan yakla¸sık kırk yıl sonra Caddeo v.d. ˘ yaptıkları çalı¸smada izometrik daldırma φ : M → E n 1 için τ2(φ) = 0 xxiii e¸sitligi sa ˘ glanmasının gerek ve yeter ko¸sulunun ˘ ∆H = 0 oldugu göstermi¸slerdir. Sonuç olarak, Chen ve Jiang tarafından verilen biharmoniklik ˘ tanımları Öklid ve yarı-Öklid uzayların altmanifoldları için birbirlerine denktirler. Bikonservatif altmanifoldlar, biharmonik altmanifoldlardan ortaya çıkmı¸stır. Hilbert tarafından 1924'te tanımlanan stress-enerji tensörünün, divS2 = −⟨τ2(φ),dφ⟩ olmak üzere, bienerji fonksiyonlarına geni¸sletilmesi S2(X,Y) = 1 2 ∥τ(φ)∥ 2 ⟨X,Y⟩+⟨dφ,∇τ(φ)⟩⟨X,Y⟩ −⟨dφ(X),∇Y τ(φ)⟩ − ⟨dφ(Y),∇Xτ(φ)⟩ ¸seklinde verilmi¸stir. Eger div ˘ S2 = 0 ise φ tasvirine bikonservatif tasvir denir. Özel olarak, φ tasviri bir izometrik daldırma ise bu ko¸sul (∆ 2 x) T = 0 denkleminin veya, Laplace-Beltrami formülünden dolayı, (∆H) T = 0 denkleminin saglanmasına denktir. ˘ Bu tez çalı¸smasında Lorentz uzay formlarının bikonservatif altmanifoldları çalı¸sılmı¸stır. Ayrıca yine Lorentz uzay formlarının biharmonik altmanifoldları ile ilgili bazı sonuçlar elde edilmi¸stir. Bu çalı¸sma yedi bölümden olu¸smaktadır ve a¸sagıdaki ˘ gibi planlanmı¸stır: ˙Ilk bölümde biharmonik ve bikonservatif alt manifold fikrinin tarihsel geli¸simi verilmi¸stir. Günümüze kadar olan çalı¸smalar özetlenmi¸stir. ˙Ikinci bölümde bu tezde faydalanılacak temel tanım ve teoremlere yer verilmi¸stir. Biharmoniklik ve bikonservatiflik denklemleri verilmi¸stir. Üçüncü bölümde, 4-boyutlu E 4 1 Minkowski uzayında, kar¸sıt boyutu 2 olan sabit ortalama egrilikli (CMC) bikonservatif altmanifoldlar üzerine çalı¸sılmı¸stır. ˘ ¸Sekil operatörleri, bikonservatiflik denklemi için önemli oldugundan öncelikle ˘ altmanifoldun ¸sekil operatörünün kanonik formları elde edilmi¸stir. 4-boyutlu E 4 1 Minkowski uzayında , bikonservatif altmanifoldlar ile ilgili örnekler verilmi¸stir. Daha sonra E 4 1 uzayının bu türden bikonservatif altmanifoldlarının sınıflandırılması yapılmı¸s ve bu durum de Sitter S 4 1 ve anti-de Sitter H4 1 uzayları için de incelenmi¸stir. Buna ˙Ilave olarak, de Sitter uzayındaki S 4 1 , bir bikonservatif yüzeyin biharmonik olabilmesinin gerek ve yeter ko¸sulu gösterilirken anti de Sitter H4 1 uzayındaki biharmonik manifoldların varlıgı incelenmi¸stir. Var olan biharmonik yüzeyler ile ilgili ˘ örnekler verilmi¸stir. Yine bu bölümde yarı-minimal alt manifoldların bikonservatiflik durumu incelenmi¸s ve bu özellige sahip bir yüzey parametrizasyonu verilmi¸stir. ˘ Dördüncü bölümde, 4-boyutlu E 4 1 Minkowski uzayında, kö¸segenle¸stirilemeyen ¸sekil operatörüne sahip bikonservatif hiperyüzeyler incelenmi¸stir. Hiperyüzeyler için bikonservatiflik denklemi A(∇H) = − nH 2 ∇H, ¸seklindedir. Burada H ve n, sırasıyla, altmanifoldun ortalama egrili ˘ gi ve boyutudur. Bu ˘ bölümde öncelikle bir hiperyüzeyin ¸sekil operatörünün kanonik formları belirlenmi¸s ve hemen ardından ortalama egrili ˘ gi, kesitsel e ˘ grili ˘ gi ve Levi-Civita konneksiyonları ˘ bulunmu¸stur. Daha sonra Frobenius Teoremi'nden faydalanılarak hiperyüzey üzerinde özel bir koordinat sistemi in¸sa edilmi¸s ve bir hiperyüzeyin bikonservatif olabilmesi xxiv için gerek ve yeter ko¸sullar verilmi¸stir. Ayrıca bu tür hiperyüzeylerin teklik durumu incelenmi¸s ve üzerine bir teorem verilmi¸s ve daha sonra bikonservatif hiperyüzeylerin tam bir sınıflandırılması yapılmı¸stır. Be¸sinci bölümde, 5-boyutlu E 5 1 Minkowski uzayında iki asli egrilikli, kö¸segenle¸stirile- ˘ meyen ¸sekil operatörünün belirli bir kanonik formuna sahip hiperyüzeyler üzerinde çalı¸sılmı¸stır. Bu bölümde bu türden bikonservatif hiperyüzeylerin varlık durumu incelenmi¸stir. Verilen teoremler ile bu duruma kesin bir sonuç getirilmi¸stir. Son bölümde, keyfi boyutlu E n+1 1 Minkowski uzayında ortalama egrili ˘ gin gradyenti ˘ ı¸sıksal olan (MCGL) bikonservatif hiperyüzeyler üzerinde çalı¸sılmı¸stır. Öncelikle bu hiperyüzeye ait ¸sekil operatörü ve ikinci temel form katsayıları belirlenip ardından konneksiyon formları bulunmu¸stur. Bu tür bir hiperyüzeyin varlık durumu incelenmi¸s ve verilen bir teorem ile bu duruma kesin bir sonuç getirilmi¸stir. Son bölümde elde edilen sonuçlar payla¸sılmı¸s ve problemlerin gelecegi hakkında ˘ önerilerde bulunulmu¸stur.
Özet (Çeviri)
In 1964, Eells and Sampson gave the definition of biharmonic maps as a generalization of harmonic maps during they were studying on the energy functional E between Riemannian manifolds which has geometrical and physical interest. Later, many geometers interested in biharmonic maps. By the definition, a biharmonic map φ : M → N between two Semi-Riemannian manifolds is a critical point of the bienergy functional E2(φ) = 1 2 Z M ∥τ(φ)∥ 2 vg, where τ(φ) = trace∇dφ is the tension field of φ that vanishes for harmonic maps. If φ is a biharmonic isometric immersion into N then M is said to be biharmonic submanifold of N. In the middle of 1980's, Chen studied biharmonic submanifolds in Euclidean spaces as a part of his program of understanding finite type submanifolds in Euclidean spaces. He gave an alternative definition of biharmonic submanifolds in Euclidean spaces. That definition is also same for pseudo-Euclidean spaces: If the position vector field x : M → E n satisfies ∆ 2 x = 0 then M is called biharmonic submanifold, where ∆ denote the Laplacian of M. By the well known Laplace-Beltrami identity this equation is equivalent to ∆H = 0, where H is the mean curvature vector of M. In the mean time, independently, Jiang showed that a smooth map φ is biharmonic if and only if its bitension field τ2(φ) (which corresponds the Euler-Lagrange equation of bienergy functional) vanishes identically, i.e., τ2(φ) = 0. Jiang also showed that τ2(φ) = 0 if and only if ∆H = 0 for an isometric immersion φ : M → E n . As a result, definitions given by Chen and Jiang coincide for the class of Euclidean and pseudo-Euclidean submanifolds. Biconservative submanifolds arose from the theory of biharmonic submanifolds. Stress-energy tensor for the energy function described by Hilbert was expanded for the bienergy function as follows S2(X,Y) = 1 2 ∥τ(φ)∥ 2 ⟨X,Y⟩+⟨dφ,∇τ(φ)⟩⟨X,Y⟩ −⟨dφ(X),∇Y τ(φ)⟩ − ⟨dφ(Y),∇Xτ(φ)⟩ xxi satisfying divS2 = −⟨τ2(φ),dφ⟩ . In general, a submanifold is called biconservative if divS2 = 0. It means (τ2(φ))T = 0. Indeed, this is equivalent to (∆H) T = 0 when the ambient space is pseudo-Euclidean. Because, for the isometric immersion into E n 1 , τ(φ) = −mH and τ2(φ) = m∆H. In this thesis we study on the biconservative submanifolds and biconservative hypersurfaces of the Lorentzian space forms and we also obtained some results related biharmonic ones. This work consists of seven sections and these sections were planned as follows: In the first section, we give a brief history and philosophy of biharmonic and biconservative submanifolds and studies has been done so far. In the second section, we give some basic notions of the submanifold theory on Lorentzian inner product space and biharmonic submanifolds. In the third section, biconservative surfaces with constant mean curvature (CMC) in Minkowski 4-space E 4 1 is studied. Firstly, we determine the canonical forms of the shape operator and then we give some examples of such submanifolds in E 4 1 . Later, we classify biconservative CMC submanifolds in E 4 1 . Then, we generalize all results to the CMC surfaces of S 4 1 and H4 1 . In the fourth section, we examine the biconservative hypersurfaces in Minkowski 4-space E 4 1 . In particular, we study hypersurfaces with non-diagonalizable shape operator A satisfying A(∇H) = − nH 2 ∇H, where n and H are the dimension and the mean curvature of the hypersurface, respectively. We determine the canonical forms of the shape operator, the mean curvature, sectional curvature and Levi-Civita connection of this hypersurface. Afterwards we give the necessary and sufficient condition for this hypersurface to be biconservative. Later we classify the biconservative hypersurface in E 4 1 and show the uniquniess of them. In fifth section, we examine the biconservative hypersurfaces with certain shape operator in Minkowski 5 space E 5 1 . We give some non-existence theorems. In the sixth section, we examine the biconservative submanifolds with mean curvature whose gradient is light-like in E n 1 . We give some non-existence results. In the last section, the obtained conclusions are shared and recommendations are made about the future of the problems.
Benzer Tezler
- Biconservative and biharmonic surfaces in Euclid and Minkowski spaces
Öklid ve Minkowski uzaylarındaki bikonzörvatif ve biharmonik yüzeyler
HAZAL YÜRÜK
Yüksek Lisans
İngilizce
2024
Matematikİstanbul Teknik ÜniversitesiMatematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. NURETTİN CENK TURGAY
DOÇ. DR. RÜYA ŞEN
- Biharmonik imersiyonların bir karakterizasyonu
A characterization of biharmonic imersions
YILMAZ AYDIN
- Grating based plasmonic cavities
Kırınım ağı tabanlı plazmonik kovuklar
SERVET SEÇKİN ŞENLİK
Yüksek Lisans
İngilizce
2009
Fizik ve Fizik Mühendisliğiİhsan Doğramacı Bilkent ÜniversitesiFizik Bölümü
PROF. DR. ATİLLA AYDINLI
