Minkowski 3-uzayda rektifiyen eğrilerin yeni bir karakterizasyonu
A new characterization of rectifiying curves in Minkowski 3-space
- Tez No: 856679
- Danışmanlar: PROF. DR. AHMET YÜCESAN
- Tez Türü: Yüksek Lisans
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2024
- Dil: Türkçe
- Üniversite: Süleyman Demirel Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Geometri Bilim Dalı
- Sayfa Sayısı: 34
Özet
Rektifiyen eğri, tüm rektifiyen düzlemlerinin sabit bir noktadan geçmesi özelliğine sahip kıvrımlı bir eğridir. Bu nokta kartezyen koordinat sisteminin orijini ise, rektifiyen eğrinin konum vektörü her zaman rektifiyen düzlemde bulunur. Bu eğrilerin dikkate değer bir özelliği, burulma ve eğrilik arasındaki oranın, yay uzunluğu parametresinin sabit olmayan doğrusal bir fonksiyonu olmasıdır. Diğer taraftan, involüt-evolüt eğri çifti matematik ve mühendislikte önemli bir yere sahip olan eğri kavramlarıdır. Örneğin, dişlilerin yapımında önemli rol oynarlar ve bu da dişlilerin birbirine geçmesini kolaylaştırabilir. Böylece, trafik kazalarını azaltmak için aracın güvenli bir şekilde dönmesini sağlayabilirler. Bu tez çalışmasında, Minkowski 3-uzayda rektifiyen eğriler ile involüt-evolüt eğri çifti arasındaki ilişki incelendi ve rektifiyen eğrilerin yeni bir karakterizasyonu bu eğri çifti yardımıyla karakterize edildi. Minkowski 3-uzay üzerindeki metrik yapısından dolayı eğriler üç farklı causal karaktere sahiptir ve bu tezde spacelike ve timelike rektifiyen eğriler düşünüldü. İlk olarak timelike rektifiyen eğriler ele alındı. Bir timelike rektifiyen eğrinin pseudo-küre üzerinde bulunması için eğrilik ve burulmasına bağlı gerek ve yeter şart verildi. Timelike rektifiyen eğrinin herhangi bir spacelike involütünün referans noktasını merkez kabul eden hiperkuadrikler (pseudo-küre veya pseudo-hiperbolik uzay) üzerinde bulunduğu gösterildi. Timelike rektifiyen eğrinin spacelike involütünün de aynı zamanda bir rektifiyen eğri olması için gerek ve yeter şartın eğrinin eğriliğinin bir Bernoulli diferansiyel denklemi sağlaması gerektiği gösterildi ve bu diferansiyel denklem çözüldü. Son olarak, hiperkuadrikal (pseudo-küre veya pseudo-hiperbolik uzay üzerinde bulunan) düzlemsel olmayan bir spacelike eğrinin evolütünün referans noktası hiperkuadriklerin merkezi olan bir timelike rektifiyen eğri olduğu verildi. Daha sonra, spacelike rektifiyen eğriler ele alındı ve bir spacelike rektifiyen eğrinin hiperkuadrik üzerinde bulunması için eğrinin asli normalinin causal karakterinin işaretini içeren eğrilik ve burulmaya bağlı gerek ve yeter şart elde edildi. Bir spacelike rektifiyen eğrinin herhangi bir spacelike veya timelike involütünün referans noktasını merkez kabul eden hiperkuadrikler üzerinde bulunduğu gösterildi. Spacelike rektifiyen eğrinin spacelike veya timelike involütünün de aynı zamanda bir rektifiyen eğri olması için gerek ve yeter şartın eğrinin eğriliğinin bir Bernoulli diferansiyel denklemi sağlaması gerektiği gösterildi ve bu diferansiyel denklem çözüldü. Son olarak, hiperkuadrikal düzlemsel olmayan bir spacelike veya timelike eğrinin evolütünün referans noktası hiperkuadriklerin merkezi olan spacelike rektifiyen egri olduğu elde edildi ve pseudo-küre üzerinde bulunan bir timelike helisin ˘ evolütü olan bir spacelike rektifiyen eğrinin inşa edildiği bir örnek verildi.
Özet (Çeviri)
A rectifying curve is a twisted curve with the property that all rectifying planes pass through a fixed point. If this point is the origin of the Cartesian coordinate system, the position vector of the rectifying curve always lies in the rectifying plane. A notable feature of these curves is that the ratio between torsion and curvature is a non-constant linear function of the arc length parameter. On the other hand, involute-evolute curve pair are curve concepts that have an important place in mathematics and engineering. For example, they play an important role in the construction of gears, which can make it easier for gears to mesh. Thus, they can ensure that the vehicle turns safely to reduce traffic accidents. In this thesis study, the relationship between rectifying curves and involute-evolute curve pair in Minkowski 3-space is examined and a new characterization of rectifying curves is characterized with the help of this curve pair. Due to the metric structure on Minkowski 3-space, curves have three different causal characters, and in this thesis, spacelike and timelike rectifying curves are considered. First, timelike rectifying curves are discussed. The necessary and sufficient condition for a timelike rectifying curve to lie on the pseudo-sphere is given depending on the curvature and torsion of the curve. It has been shown that any spacelike involute of a timelike rectifying curve lies on hyperquadrics (pseudo-sphere or pseudo-hyperbolic space) that consider the reference point as the center. It is shown that for the spacelike involute of a timelike rectifying curve to also be a rectifying curve, a necessary and sufficient condition is that the curvature of the curve satisfies a Bernoulli differential equation, and this differential equation is solved. Finally, it is given that the evolute of a hyperquadric (located on a pseudo-sphere or pseudo-hyperbolic space) non-planar spacelike curve is a timelike rectifying curve whose reference point is the center of the hyperquadratics. Then, spacelike rectifying curves are discussed and the necessary and sufficient condition for a spacelike rectifying curve to lie on the hyperquadrics is obtained based on curvature and torsion, which includes the sign of the causal character of the principal normal of the curve. It has been shown that any spacelike or timelike involute of a spacelike rectifying curve lies on hyperquadratics centered on the reference point. It is shown that for the spacelike or timelike involute of a spacelike rectifying curve to also be a rectifying curve, a necessary and sufficient condition is that the curvature of the curve should satisfy a Bernoulli differential equation, and this differential equation is solved. Finally, it has been ontained that the evolute of a hyperquadrical non-planar spacelike or timelike curve is a spacelike rectifying curve whose reference point is the center of the hyperquadrics, and an example is given in which a spacelike rectifying curve is constructed which is the evolute of a timelike helix located on the pseudo-sphere.
Benzer Tezler
- Minkowski 3-uzayda bazı özel frenet eğrilerin karakterizasyonları
The characterizatons of some special frenet curves in Minkowski 3-space
BAŞAK ÖZÜLKÜ ENGİN
Yüksek Lisans
Türkçe
2020
MatematikSüleyman Demirel ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. AHMET YÜCESAN
- Dual lorentz uzayında Frenet eğrilerinin bağlantılı eğrileri
Associated curves of Frenet curves in the dual Lorentzian space.
BAHAR ABALI
Yüksek Lisans
Türkçe
2019
MatematikSüleyman Demirel ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. AHMET YÜCESAN
- Dual Lorentz uzayında rektifiyan eğriler
Rektifying curves in the dual Lorentz space
MEHMET BOZKIR
Yüksek Lisans
Türkçe
2011
MatematikAfyon Kocatepe ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. DERYA SAĞLAM
- 4-boyutlu 2-ındeksli yarı öklidyen uzayda pseudo null ve partıally null rektifiyen eğrilerin karakterizasyonları
Characterizations of pseudo null and partially null rectifiying curves in 4 dimensional semi-euclidian space with indeks 2
NİHAL KILIÇ
Yüksek Lisans
Türkçe
2012
MatematikKırıkkale ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
PROF. DR. KAZIM İLARSLAN
- Minkowski 3-uzayda hiperkuadrikler üzerinde elastik eğriler
Elastic curves on hyperquadrics in Minkowski 3-space
MEHMET ORAL
Yüksek Lisans
Türkçe
2010
MatematikSüleyman Demirel ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
DOÇ. DR. AHMET YÜCESAN