Butson-hadamard codes and related quantum codes
Butson-hadamard kodlar ve ilgili kuantum kodlar
- Tez No: 898309
- Danışmanlar: PROF. DR. BÜLENT SARAÇ, DOÇ. DR. OĞUZ YAYLA
- Tez Türü: Doktora
- Konular: Matematik, Mathematics
- Anahtar Kelimeler: Belirtilmemiş.
- Yıl: 2024
- Dil: İngilizce
- Üniversite: Hacettepe Üniversitesi
- Enstitü: Fen Bilimleri Enstitüsü
- Ana Bilim Dalı: Matematik Ana Bilim Dalı
- Bilim Dalı: Belirtilmemiş.
- Sayfa Sayısı: 112
Özet
Bu tez çalışmasının birinci kısmında Butson-Hadamard matrislerinden elde edilen kodlar ve bu kodların minimum uzaklığı üzerine bazı sınırlar kanıtlanmıştır. Ayrıca yarı-homojen ağırlık kavramı tanımlanıp bu ağırlık altında BH-matrislerden elde dilen kod ailelerinin minimum uzaklıkları incelenmiştir. Modifiye Butson-Hadamard matrislerinden elde edilen kodların parametreleri homojen olmayan Gray dönüşüm altında verilmiş ve bu kodların Plotkin optimal olduğu sonucuna ulaşılmıştır. Tezin ilk kısmında, BH matrislerinden elde edilen, BH kodları olarak adlandırılan kodlar ele alınarak bu kodların minimum uzaklıkları ile ilgili sonuçlar elde edilmiştir. İlk olarak, bilinen Hamming uzaklığı ele alınarak BH kodlarının uzaklıkları için alt sınırlar verilmiştir. Ardından homojen ağırlıklar göz önüne alınıp bu ağırlıklar altında BH kod ailelerinin uzaklıkları incelenmiştir. Daha sonra, homojen ağırlıkların genelleştirmesi olarak kabul edilen yarı-homojen ağırlık kavramı tanıtılmıştır. Ayrıca bu ağırlıklar altında belirli BH kodlarının Plotkin-optimal olduğu gösterilmiştir. Daha sonra belirli yarı-homojen ağırlıklar altında BH kodlarının mimimum uzaklıkları elde edilmiştir. Elde edilen sonuçlar $p$ asal sayısı $e\ge 2$ için $\Z_{p^e}$ üzerindeki BH kodlarından Gray dönüşümü altında $p$-ary kodların parametrelerini belirlemek için uygulanmıştır. İkinci kısımda ise BH matrisler ile kuantum kodları arasındaki bağlantıyı belirlemek adına kuantum sabitleyen kodları çalışılarak iki kuantum kod yapısı verilmiştir. $p$ bir asal sayı ve $q$, $p$'nin bir kuvveti olsun. Sırasıyla $\codec\subset\mathbb{F}_{q}^{n}$ ve $\coded\subset\mathbb{F}_{q^{k}}^{m}$ $k$ ve $s$ boyutlu iki lineer kod ise o zaman sabitleyen grubu ile tanımlanan ve $\codec,\coded$ ile belirli $\delta$ ile bir $\llbracket nm,ks,\delta\rrbracket_{q}$ kuantum sabitleyen kodunun varlığı kanıtlanmıştır. Bu kodu oluşturuken $p$ boyutlu Fourier matrislerin Kronecker çarpımlarına denk olan Butson-Hadamard matrisler kullanılmıştır. Aynı zamanda genel bir normalleştirilmiş Butson-Hadamard matrisi için bir kuantum kodu yapısı ele alınarak kuantum kodunun sabitleyen bir kod olması için gerekli olan koşullar araştırılmıştır.
Özet (Çeviri)
A Butson-Hadamard (BH) matrix $H$ is a square matrix of dimension $n$ whose entries are complex roots of unity such that $HH^{*}= nI $. In the first part of this thesis, we deal with codes obtained from BH matrices, called BH codes, focusing on their minimum distances. We first consider the usual Hamming distance and find lower bounds for distances of BH codes. Then we turn our attention to homogeneous weights, and search for distances of BH code families under these weights. Next, we introduce the notion of quasi-homogeneous weights as a generalization of homogeneous weights and show that certain BH codes equipped with quasi-homogeneous weights are Plotkin optimal. In addition, we obtain distances of BH codes under certain quasi-homogeneous weights. Our results are applied to determine parameters of $p$-ary codes projected under Gray isometries from BH codes over $\Z_{p^e}$, where $p$ is a prime number and $e\ge 2$ is an integer. In the second part of this thesis, we study quantum stabilizer codes and give two constructions. In particular, we give a constructive proof to show that if there exist a classical linear code $\codec\subseteq\ff^n$ of dimension $k$ and a classical linear code $\coded\subseteq\fff^m$ of dimension $s$, where $q$ is a power of a prime number $p$, then there exists an $\llbracket nm,ks,\delta\rrbracket_q$ quantum stabilizer code with $\delta$ determined by $\codec$ and $\coded$ by identifying the stabilizer group of the code. In the construction, we use a particular type of Butson Hadamard matrices equivalent to multiple Kronecker products of the Fourier matrix of order $p$. We also consider the same construction of a quantum code for a general normalized Butson Hadamard matrix and search for a condition for the quantum code to be a stabilizer code.
Benzer Tezler
- γ-Butson-Hadamard matrices and their cryptographic applications
γ-Butson-Hadamard matrisleri ve onların kriptografik uygulamaları
SİBEL KURT
Yüksek Lisans
İngilizce
2017
MatematikHacettepe ÜniversitesiMatematik Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. OĞUZ YAYLA
- Sanatsal bir obje olarak düğme ve tasarımsal kullanımı
Button as an artistic object and its design use
GÜLİZAR NUR BOZ
Yüksek Lisans
Türkçe
2023
Güzel SanatlarÇankırı Karatekin ÜniversitesiSanat ve Tasarım Ana Bilim Dalı
DR. ÖĞR. ÜYESİ EMİNE KETENCİOĞLU
- Güneydoğu Anadolu bölgesinden toplanan buton yoncasının (Medicago orbicularis) morfolojik özellikleri ve moleküler karakterizasyonu
Determination of molecular characterizaction, with morphological taits and adaptations of button medic (Medicago orbicularis) collected from Southeastern Turkey
SAADET ALINCA
- İ-Button geçiş sistemi tasarımı
Design and production of access control system with i-button
İSMAİL TÜLÜCE
Yüksek Lisans
Türkçe
2008
Elektrik ve Elektronik MühendisliğiSakarya ÜniversitesiElektronik-Bilgisayar Eğitimi Ana Bilim Dalı
YRD. DOÇ. DR. A. TURAN ÖZCERİT
- Kapasitif yaklaşım sensörlü asansör buton tasarımı
Elevator button design with capacitive proximity sensor
SİNAN DEMİR
Yüksek Lisans
Türkçe
2022
Makine Mühendisliğiİstanbul Aydın ÜniversitesiMakine Mühendisliği Ana Bilim Dalı
DR. ÖĞR. ÜYESİ REŞİT ERÇETİN